Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,686

ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАТОРНОГО МЕТОДА И ИНТЕГРАЛА ДЮАМЕЛЯ ДЛЯ РАСЧЕТА УСРЕДНЕННЫХ ВО ВРЕМЕНИ ПАРАМЕТРОВ СКИН-СЛОЯ МАССИВНЫХ ПРОВОДНИКОВ ПРИ ДИФФУЗИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Носова М.Г. 1
1 ФГБОУ ВО «Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники»
Предложена методика определения усредненных во времени параметров скин-слоя массивных проводников при диффузии электромагнитного поля с заданной магнитной напряженностью на поверхности проводника. Эта методика основывается на операторном методе и интеграле Дюамеля, и может использоваться для расчета работающих в переходном режиме токоподводящих шин, электромагнитных экранов, роторов и обмоток электромашинных генераторов, обрабатываемых электромагнитным давлением металлических деталей. Методика получена на основе уравнений электромагнитного поля и может быть запрограммирована, например, в среде Mathcad для инженерного расчета усредненных во времени параметров массивных проводников электротехнических устройств при их автоматизированном проектировании. Толщины скин-слоя, активное сопротивление и внутренняя индуктивность проводника, максимальное давление поля на проводник зависят от амплитуды, длительности и формы импульса магнитной напряженности на поверхности проводника.
операторный метод
интеграл Дюамеля
скин-слой
сопротивление
индуктивность
давление
1. Дьяконов В.П. Mathcad 8/2000: специальный справочник. – СПб.: Изд-во Питер, 2000. – 592 с.
2. Корн Г. Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн. – М.: Наука, 1974. – 832 с.
3. Немков В.С. Теория и расчет устройств индукционного нагрева / В.С. Немков, В.Б. Демидович. – Л.: Энергоатомиздат, 1988. – 280 с.
4. Носов Г.В., Косилова Д.Ю. Применение частотного метода для расчета эквивалентных параметров скин-слоя массивных проводников при импульсном электромагнитном поле // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 2; URL: http://www.science-education.ru/116–12326 (дата обращения: 11.03.2014).
5. Носов Г.В. Эквивалентные параметры скин-слоя массивных проводников: расчет и анализ. – Saarbrücken: LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, 2012. – 195 с.
6. Петров С.Р. Расчет эквивалентных параметров скин-слоя с учетом джоулева нагрева // Электричество. – 1987. – № 6. – С. 61–63.
7. Сборник задач по теоретическим основам электротехники / под ред. Л.А. Бессонова. – М.: Высшая школа, 1988. – 543 с.
8. Теоретические основы электротехники: учебник для вузов / К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин. – СПб.: Питер, 2003. – Т. 2. – 576 с.
9. Теоретические основы электротехники: учебник для вузов / К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин. – СПб.: Питер, 2003. – Т. 3. – 377 с.
10. Электротехнический справочник / под общ. ред. проф. МЭИ В.Г. Герасимова и др. – М.: Энергоатомиздат, 1985. – Т. 1. – 488 с.

Многие электротехнические устройства, работающие в переходном режиме, имеют такие массивные проводники как токоподводящие шины, электромагнитные экраны, обрабатываемые электромагнитным давлением металлические детали, роторы и обмотки электромашинных генераторов. При исследовании таких устройств возникает необходимость расчета диффузии (проникновения) электромагнитного поля в массивные проводники. для решения уравнений электромагнитного поля в переходном режиме могут быть использованы операторный метод и интеграл Дюамеля [7, 8] с целью определения магнитной напряженности и плотности тока в поверхностном слое (скин-слое) массивных проводников. На основании найденных магнитной напряженности и плотности тока рассчитываются такие усредненные во времени параметры скин-слоя как толщина скин-слоя, активное сопротивление и внутренняя индуктивность, максимальное давление электромагнитного поля на проводник. Применение усредненных во времени параметров скин-слоя значительно упрощает расчет, исследование и оптимизацию электротехнических устройств с массивными проводниками [3–6, 9]. Однако частотный метод вычисления параметров скин-слоя требует большого объема автоматизированных расчетов при больших затратах времени [4].

Поэтому разработка методики расчета диффузии электромагнитного поля операторным методом и интегралом Дюамеля для определения параметров скин-слоя массивных проводников с целью сокращения объема и времени расчетов представляется актуальной задачей.

Допущения

Для получения расчетных формул сделаем следующие допущения.

1. Скин-слой проводника характеризуется постоянными величинами магнитной проницаемости µ (Гн/м) и удельной проводимости γ (1/Ом·м).

2. Размеры массивных проводников и радиусы кривизны их поверхностей существенно превосходят глубину проникновения в них электромагнитного поля, поэтому будем исходить из представления о плоской одномерной электромагнитной волне, проникающей в проводник как в проводящее полупространство перпендикулярно его поверхности и полностью затухающей в его теле [3, 9].

3. Электромагнитное поле задается магнитной напряженностью на поверхности проводника HS(t).

4. Электромагнитное поле в проводнике имеет нулевые начальные условия, т.е. при времени t=0 поле в проводнике полностью отсутствует даже если nosova001.wmf.

Методика расчета

Совместим внешнюю поверхность проводника как поверхность проводящего полупространства с плоскостью x0y в декартовой системе координат (рис. 1), так что для плоской одномерной электромагнитной волны векторы напряженностей электрического nosova002.wmf и магнитного nosova003.wmf полей имеют по одной составляющей, зависящих от координаты z и времени t [3, 9]:

nosova004.wmf; nosova005.wmf,

где nosova006.wmf – единичные векторы, направленные по осям x и y соответственно.

nos1.tiff

Рис. 1. Проводящее полупространство: nosova007.wmf – магнитная напряженность на поверхности проводника

В этом случае процесс проникновения электромагнитного поля в проводник описывается следующим уравнением [3, 9]

nosova008.wmf (1)

при плотности тока

nosova009.wmf. (2)

Примем, что при nosova010.wmf электромагнитная волна полностью затухает, тогда граничные условия имеют вид:

nosova011.wmf (3)

Запишем при нулевых начальных условиях

nosova012.wmf (4)

уравнения (1) и (2) в операторном виде [5, 7]:

nosova013.wmf (5)

Если на поверхности проводника задана напряженность

nosova014.wmf (6)

тогда решением уравнений (5) будут операторные изображения напряженности [5, 7]

nosova015.wmf (7)

и плотности тока

nosova016.wmf. (8)

Оригиналы (7, 8) будут такими [2, 5]:

nosova017.wmf; (9)

nosova018.wmf, (10)

где указан дополнительный интеграл вероятностей:

nosova019.wmf;

nosova020.wmf.

Далее если полагать, что на проводник при z=0 и nosova021.wmf воздействует бесконечно малая постоянная напряженность nosova022.wmf, тогда на основании (9, 10) с использованием интеграла Дюамеля [8] можно записать напряженность

nosova023.wmf (11)

и плотность тока

nosova024.wmf (12)

где nosova025.wmf – производная напряженности на поверхности проводника при z=0 и nosova026.wmf.

Затем находим усредненную во времени мощность тепловых потерь [3–5, 9]

nosova027.wmf (13)

и усредненную энергию магнитного поля

nosova028.wmf, (14)

lx и ly – размеры проводника по осям x и y соответственно (рис. 1).

При среднеквадратичной напряженности на поверхности проводника

nosova029.wmf (15)

согласно закону полного тока [9] имеем для тока i(t) в проводнике среднеквадратичную функцию времени:

nosova030.wmf. (16)

При активном сопротивлении

nosova031.wmf (17)

и внутренней индуктивности проводника

nosova032.wmf (18)

запишем усредненные во времени мощность тепловых потерь

nosova033.wmf, (19)

и энергию магнитного поля

nosova034.wmf, (20)

где nosova035.wmf – усредненные во времени толщины скин-слоя для расчета сопротивления и внутренней индуктивности соответственно.

Из равенства (13, 19) и (14, 20), с учетом (15–18), определяем усредненные во времени толщины скин-слоя для расчета сопротивления и внутренней индуктивности:

nosova036.wmf;

nosova037.wmf. (21)

Давление электромагнитного поля на проводник, которое направлено вдоль оси z (рис. 1), найдем следующим образом [3, 4]:

nosova038.wmf, (22)

причем это давление имеет некоторое максимальное значение sm, которое должно быть меньше допустимого значения sдоп , исходя из механической прочности проводника.

Результаты расчета

При угловой частоте nosova041.wmf радиоимпульса напряженности с синусным заполнением

nosova042.wmf (23)

при nosova043.wmf (А/м); nosova044.wmf (с) по запрограммированным в среде Mathcad [1] формулам (1–23) проведены расчеты параметров массивного проводника из отожженной меди [10]: nosova045.wmf (Гн/м); nosova046.wmf (См/м); nosova047.wmf (МПа).

Рассчитанные параметры этого проводника приведены в таблице, где также указаны относительные толщины скин-слоя, найденные в [4] и [6] частотным и численным методами. В таблице обозначена для синусоидального электромагнитного поля с угловой частотой w в установившемся режиме эквивалентная глубина проникновения nosova049.wmf, причем во всех случаях максимум давления nosova050.wmf (МПа).

На рис. 2 и 3 при напряженности (23) и m=2 приведены расчетные графики относительных зависимостей магнитной напряженности и плотности тока от координаты nosova059.wmf, где Hm, nosova060.wmf – максимальные значения напряженности и плотности тока.

Параметры скин-слоя массивного медного проводника

Расчет

Из [4]

Из [6]

m

w

D

nosova053.wmf

nosova054.wmf

nosova055.wmf

nosova056.wmf

nosova057.wmf

nosova058.wmf

1/с

мм

0,5

157,1

14,2

1,235

0,332

1,155

0,352

1,35

0,25

1

314,2

10,0

1,446

0,570

1,366

0,585

1,55

0,50

1,5

471,2

8,2

1,059

0,513

0,996

0,538

1,15

0,45

2

628,3

7,1

1,120

0,542

1,057

0,572

1,20

0,50

2,5

785,4

6,4

1,034

0,499

0,971

0,529

1,07

0,50

3

942,5

5,8

1,094

0,53

1,032

0,553

1,05

0,50

3,5

1100

5,4

1,024

0,505

0,962

0,534

1,04

0,50

4

1257

5,0

1,061

0,523

1,001

0,553

1,03

0,50

4,5

1414

4,7

1,018

0,502

0,957

0,533

1,00

0,50

5

1571

4,5

1,052

0,519

0,994

0,544

1,00

0,50

nos2.tiff

Рис. 2. Расчетные графики относительных зависимостей магнитной напряженности nosova061.wmf от относительной координаты nosova062.wmf для различных моментов времени: 1 – nosova063.wmf; 2 – nosova064.wmf; 3 – nosova065.wmf; 4 – nosova066.wmf

nos3.tiff

Рис. 3. Расчетные графики относительных зависимостей плотности тока nosova067.wmf от относительной координаты nosova068.wmf для различных моментов времени: 1 – nosova069.wmf; 2 – nosova070.wmf; 3 – nosova071.wmf; 4 – nosova072.wmf

Заключение

1. Предложена методика определения усредненных во времени параметров скин-слоя массивных проводников при диффузии электромагнитного поля с заданной магнитной напряженностью на поверхности проводника, которая основывается на операторном методе и интеграле Дюамеля, и может использоваться для расчета работающих в переходном режиме токоподводящих шин, электромагнитных экранов, роторов и обмоток электромашинных генераторов, обрабатываемых электромагнитным давлением металлических деталей.

2. Разработанная методика получена на основе уравнений электромагнитного поля, которая может быть запрограммирована, например, в среде Mathcad для инженерного расчета усредненных во времени параметров массивных проводников электротехнических устройств при их автоматизированном проектировании. При этом объем и время вычислений существенно меньше объема и времени расчетов по сравнению с частотным методом.

3. Определяемые толщины скин-слоя, активное сопротивление и внутренняя индуктивность проводника, максимальное давление электромагнитного поля на проводник зависят от амплитуды, длительности и формы импульса магнитной напряженности на поверхности проводника.

4. Достоверность предлагаемой методики подтверждается удовлетворительным совпадением результатов расчета усредненных во времени толщин скин-слоя с результатами, полученными другими авторами.


Библиографическая ссылка

Носова М.Г. ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАТОРНОГО МЕТОДА И ИНТЕГРАЛА ДЮАМЕЛЯ ДЛЯ РАСЧЕТА УСРЕДНЕННЫХ ВО ВРЕМЕНИ ПАРАМЕТРОВ СКИН-СЛОЯ МАССИВНЫХ ПРОВОДНИКОВ ПРИ ДИФФУЗИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2016. – № 12-8. – С. 1382-1386;
URL: http://applied-research.ru/ru/article/view?id=11046 (дата обращения: 26.08.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252