В том случае, когда некоторое явление моделируется дифференциальным уравнением, влияние малых параметров на данное явление сводится к изучению зависимости решений уравнения от малых параметров. Сложная ситуация возникает тогда, когда малые параметры содержатся в коэффициентах при старших производных, а при обращении в нуль этих параметров уравнение вырождается. Для уравнений с частными производными обращение в нуль некоторых параметров в главной части уравнения может приводить не к обращению в нуль всей главной части уравнения, а к изменению типа уравнения. Т.к. для уравнений в частных производных для каждого типа уравнений корректны свои задачи, то представляет интерес исследование перехода решения некоторой задачи для уравнения с малым параметром в решение для предельного уравнения. В работе [3] приведен ряд примеров, иллюстрирующих эффекты, возникающие при предельном переходе в уравнении с частными производными.
Рассмотрим задачу Дирихле в полупространстве для уравнения эллиптического типа в следующей постановке:
(1)
(2)
ε – малый параметр, ε > 0, 
– непрерывная в некоторой области 
,
– стремятся к нулю на бесконечности, c const, коэффициенты 
ограничены в полупространстве t > 0 и там же удовлетворяют условию Гёльдера с показателем λ. Это означает, что отношения:
ограничены сверху при любых X и X0, принадлежащих полупространству t > 0.
Предельная задача
Прежде, чем построить решение задачи (1), (2), в уравнении (1) положим ε = 0 и рассмотрим соответствующее ему предельное уравнение:
(3)
Заметим, что уравнение (3) является уравнением параболического типа. Т.е. при ε = 0 порядок уравнения не понизился, но изменился тип уравнения.
Обозначим 
, 
. Норму определим равенством 
. Будем предполагать, что оператор удовлетворяет следующим условиям:
1. оператор L0 – равномерно параболический в
D – неограниченная область 
, т.е. существуют положительные постоянные λ0 и λ1 такие, что для любого вещественного вектора 
для всех 
.
2. коэффициенты L0 – непрерывные функции в 
и для всех 
, 
, и некоторого α из интервала 
, существует постоянная A, такая, что
Согласно работе [2], фундаментальное решение уравнения (3) построим методом параметрикса. Для уравнения (3) функция параметрикса имеет вид:
(4)
Для любых фиксированных 
функция 
удовлетворяет уравнению с постоянными коэффициентами:
Чтобы построить фундаментальное решение 
уравнения (3), будем считать 
«первым приближением» к L0 и рассматривать Z, как «главную часть» фундаментального решения этого уравнения. Фундаментальное решение 
будем искать в виде
(5)
где Ф определяется из условия, что 
должно удовлетворять уравнению 
. Этот процесс и называется методом параметрикса. Тогда согласно [2] имеет место соотношение:
(6)
где
(7)
Таким образом, для каждых фиксированных 
функция 
является решением интегрального уравнения Вольтерра с особым ядром 
В [2] показано, что особенность ядра интегрируема, а уравнение (6) имеет решение вида:
(8)
где
и
(9)
Рассмотрим предельную задачу, соответствующую задаче (1), (2):
(10)
(11)
Задача (10), (11) есть задача Коши в полупространстве для уравнения параболического типа. Согласно [1], её решение даётся формулой:
(12)
где Г – фундаментальное решение, определяемое (5).
Решение задачи Дирихле (1), (2)
В уравнении (1) введём новую неизвестную функцию 
по формуле:
(13)
В результате получим уравнение:
(14)
Для того чтобы построить фундаментальное решение уравнения (14) в полупространстве t > 0, необходимо знать функцию Леви для этого уравнения. Согласно определению функции Леви, данному в работе [1], надо построить функцию 
непрерывную вместе со своими производными первого и второго порядка включительно по x, y, t, когда X и Y изменяются в некоторой области С и , и чтобы она при некотором α > 0 удовлетворяла оценкам вида:
(15)
равномерно в каждой замкнутой области, содержащейся в C.
Здесь r – расстояние между точками X и Y, 
Следуя методике работы [1], построим функцию 
в виде:
где 
– функция Макдональда, которая есть 
при 
и 
, где a < 1, при t > 1.
Функция 
есть функция Леви для уравнения (14) и для достаточно больших r справедливы оценки:
С учетом замены (13), получим функцию Леви для уравнения (1):
Переходя к пределу, в последнем выражении, получим:
. (16)
Как видим, оно совпадает с формулой (4).
Следуя работе [1], фундаментальное решение для (14) будем искать как решение интегрального уравнения:
(17)
которое, в свою очередь, имеет решение вида:
(18)
где
Проведя несложные, но достаточно громоздкие преобразования, с учетом вида функции 
, получим, что:
Далее, принимая во внимание выражение (7) получим:
. (19)
А с учетом замены (13) и равенств (16), (19), получим:
(20)
Решение задачи (1), (2) будем искать в виде:
(21)
где 
– главное фундаментальное решение уравнения (1). Согласно [1], функция 
, заданная формулой (21), будет являться регулярным решением задачи (1), (2) в том и только том случае, если для из ∂D
(22)
С учетом того, что вектор нормали v, выходящий из полупространства D+, имеет направление, противоположное оси , оператор 
в формуле (22) в данном конкретном случае будет иметь вид:
. (23)
Принимая во внимание выражения (20), (23) получим, что ядро интегрального уравнения (22) при t = 0 и при > 0 равно 0.
Таким образом, искомое решение задачи (1), (2) примет вид:
(24)
Выполнив вычисления под знаком интеграла в (24) с учетом выражений (17), (20), (23), получим, что:
Полученный результат сформулируем в виде теоремы:
Теорема. Если в уравнении (1) c > 0, а остальные коэффициенты ограничены в полупространстве t > 0 и удовлетворяют в этом полупространстве условию Гёльдера с показателем λ, то решение задачи Дирихле для уравнения (1) в полупространстве t > 0 при ε → > 0 стремиться к решению задачи Коши для соответствующего предельного уравнения, которое получается из (1), если в нем положить ε = 0.
Библиографическая ссылка
Захарова И.В. ОДНА ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА, СОДЕРЖАЩЕГО МАЛЫЙ ПАРАМЕТР В ГЛАВНОЙ ЧАСТИ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2017. – № 5-2. – С. 235-239;URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=11578 (дата обращения: 24.04.2024).