Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,570

ВОЗБУЖДЕНИЕ ПРЕЦЕССИРУЮЩИХ СОЛИТОНОВ В ФЕРРОМАГНЕТИКЕ С АНИЗОТРОПИЕЙ ТИПА «ЛЕГКАЯ ОСЬ»

Расковалов А.А. 1 Баталов С.В. 1
1 Институт физики металлов им. М.Н. Михеева УрО РАН
В рамках модели Ландау-Лифшица для квазиодномерного ферромагнетика с анизотропией типа “легкая” ось исследуется генерация прецессирующих солитонов из начального локализованного импульса намагниченности. Представлены результаты численного моделирования. Согласно им, локализованное возмущение малой ширины не порождает солитона: в этом случае начальный импульс произвольной высоты расплывается на диспергирующие спиновые волны. С ростом ширины импульса из него пороговым образом зарождается неподвижный солитон, во всех точках которого намагниченность совершает круговую прецессию с одной и той же фазой. Численный эксперимент подкреплен аналитическим расчетом. На основе формализма обратной задачи рассеяния установлена связь физических характеристик солитонов с параметрами начального возмущения, что позволяет генерировать неподвижные солитоны с требуемыми свойствами.
ферромагнетик
солитоны
обратная задача рассеяния
модель Ландау-Лифшица
бризер
1. Косевич А.М., Иванов Б.А., Ковалев А.С. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. – Киев: Наукова Думка, 1983. – 189 с.
2. Борисов А.Б., Киселев В.В. Квазиодномерные магнитные солитоны. – М.: Физматлит, 2014. – 520 с.
3. Киселев В.В., Расковалов А.А. Солитоны электрической поляризации в мультиферроиках // ЖЭТФ. – 2016. – Т. 149, № 6. – С. 1260–1269.
4. Киселев В.В., Расковалов А.А. Солитоны электрической поляризации в мультиферроиках // ФТТ. – 2016. – Т. 58, № 3. – С. 485–489.
5. Kiselev V.V., Raskovalov A.A. Solitons and nonlinear waves in the spiral magnetic structures // Chaos, Solitons&Fractals. – 2016. – V. 84. – P. 88–103.

В ферромагнетике с анизотропией типа «легкая ось» нелинейная динамика намагниченности M (r, t) определяется уравнением Ландау–Лифшица [1–2]:

r1.wmf,

r2.wmf, (1)

где r3.wmf, r4.wmf – постоянные обменного взаимодействия и магнитной анизотропии вдоль выделенной оси r5.wmf; γ – магнитомеханическое отношение, t – время. Далее рассматривается квазиодномерный ферромагнетик:

r6.wmf,

где x – пространственная координата.

С помощью масштабных преобразований:

r7.wmf, r8.wmf, r9.wmf

уравнение (1) сводится к виду

r10.wmf, r11.wmf. (2)

«Штрихи» над новыми переменными далее опускаем.

Решение уравнения Ландау–Лифшица (2), описывающее простейший прецессирующий солитон на фоне однородного основного состояния легкоосного ферромагнетика, хорошо известно: оно впервые получено непосредственным интегрированием в классической монографии [1]. В книге [2] изложена процедура нахождения точных солитонных решений уравнения (2) на основе метода обратной задачи рассеяния. В основе метода лежит задача сопряжения матричных аналитических функций комплексного переменного.

В данной работе представлены результаты численного эксперимента по возбуждению солитонов в рассматриваемой модели из локализованного начального распределения намагниченности. В рамках формализма обратной задачи аналитически установлена связь физических характеристик солитонов с параметрами исходного распределения, что позволяет генерировать солитоны с требуемыми свойствами.

Основные соотношения. Уравнение (2) равносильно условию совместности вспомогательной линейной системы [2]:

r12.wmf (3)

r13.wmf

r14.wmf

Здесь r15.wmf – матрицы Паули, ψ – матрица r16.wmf, коэффициенты r17.wmf подчинены ограничению: r18.wmf. Удобно использовать параметризацию:

r19.wmf, r20.wmf.

Нас интересуют решения уравнения Ландау – Лифшица (2) с граничными условиями:

r21.wmf при r22.wmf. (4)

Условия (4) соответствуют однородному равновесному распределению намагниченности:

r23.wmf.

Им отвечают фундаментальные решения вспомогательной линейной системы (3) с асимптотическим поведением:

r24.wmf при r25.wmf, (5)

r26.wmf при r27.wmf,

где

r28.wmf.

Множество Г={u : Im u = 0}, mod (2 π i) соответствует непрерывному спектру задачи (3), (5) [2]. На контуре Г фундаментальные решения Ψ1, 2(u) имеют осциллирующее поведение. Они определены одновременно и связаны между собой матрицей перехода:

r29.wmf r30.wmf

Матрица перехода T(u) унимодулярна (det T = 1) и не зависит от x [2]. Для нее справедливо представление

r31.wmf (6)

Прецессирующий солитон в легкоосном ферромагнетике. Для солитонных решений модели (2) коэффициенты r32.wmf, в то время, как a(u) и r33.wmf являются мероморфными функциями в u – плоскости. Простейший прецессирующий солитон параметризуется комплексным нулем r34.wmf функции r35.wmf. Соответствующее точное решение можно записать в виде:

r36.wmf

r37.wmf (7)

где r38.wmf, r39.wmf, r40.wmf, и для краткости введены обозначения:

r41.wmf, r42.wmf, r43.wmf, r44.wmf, r45.wmf, r46.wmf.

Ширина области резкого изменения намагниченности солитона l0 , скорость его движения V, волновой вектор p прецессии намагниченности в области локализации солитона, частота ω прецессии в лабораторной системе отсчета и частота Ω в системе отсчета, связанной с солитоном, имеют вид

r47.wmf,

r48.wmf

r49.wmf

r50.wmf

r51.wmf

При этом выполняются тождества

r52.wmf r53.wmf

r54.wmf,

позволяющие выразить все физические характеристики солитона через два параметра: p и l0.

Комплексный параметр r55.wmf; r56.wmf, r57.wmf. Наиболее удобны для наблюдения неподвижные солитоны. Солитон (7) неподвижен в двух случаях: r58.wmf и r59.wmf. Случай r60.wmf следует считать выделенным. В центре такого солитона намагниченность не прецессирует и направлена в точности вдоль оси r61.wmf. При этом фазы вращения намагниченности левее и правее центра различаются на π [1, 2]. Это обстоятельство затрудняет его возбуждение.

При r62.wmf решение (7) принимает вид:

r63.wmf

r64.wmf

r65.wmf

r66.wmf (8)

На всей протяженности солитона (8) фаза вращения намагниченности одна и та же. Компонента намагниченности S3 в центре солитона не достигает предельных значений ±1: r67.wmf (см. рис. 1).

rask1.tiff

Рис. 1. Компонета S3 и характер прецессии вектора S для неподвижного солитона (8)

Солитон (8) наиболее естественен: его проще всего возбудить в численном эксперименте.

Условие возбуждения неподвижного солитона. Формализм обратной задачи рассеяния позволяет получить условие возбуждения солитона (8). Зададим начальное возмущение в виде ступенчатого распределения намагниченности:

r68.wmf при r69.wmf,

r70.wmf

при r71.wmf, (9)

r72.wmf при r73.wmf.

Подобное распределение можно задать кратковременным включением внешнего магнитного поля вдоль направления r74.wmf,

r75.wmf.

Параметр γ=const задает амплитуду намагниченности в перемагниченной области шириной r76.wmf.

Следуя той же схеме, что и в работах [3–5], запишем решение первого уравнения (3), соответствующее распределению намагниченности (9). Оно имеет вид

r77.wmf при r78.wmf,

r79.wmf

при r80.wmf,

r81.wmf при r82.wmf,

где

r83.wmf,

r84.wmf, r85.wmf

Постоянные матрицы С1, С2 находятся из условия непрерывности функции r86.wmf в точках r87.wmf.

Начальное возмущение (9) распадается на солитоны, только если элемент r88.wmf матрицы перехода (6) имеет нули в области своей аналитичности. В этом случае матрица T(u) не зависит от времени [2]. Потому, согласно (6), имеем:

r89.wmf. (10)

Из (10) следует, что требование обращения в нуль функции r90.wmf сводится к трансцендентному уравнению

r91.wmf (11)

Значения d, γ, при которых уравнение (11) имеет вещественный корень r92.wmf, r93.wmf, соответствуют условиям формирования неподвижного солитона (8). Величина ρ определяет физические характеристики такого солитона – его ширину, частоту пульсаций и отклонение намагниченности в его центре от равновесного значения r94.wmf. Выражение (11) дает качественную оценку зависимости ρ от параметров начального возмущения, близкую к результатам численного эксперимента.

Связь характеристик солитона с параметрами начального возмущения. Будем понимать под высотой начального импульса (9) h отклонение компоненты r95.wmf от равновесного значения +1:

r96.wmf.

На рис. 2, рис 3 приведены численные и аналитические зависимости r97.wmf. Жирные точки на рис. соответствуют данным численного эксперимента, сплошные линии построены по формуле (11).

Результаты численного счета говорят о том, что с изменением ширины d начального импульса при его фиксированной высоте h солитон (8) рождается из распределения (9) пороговым образом. Локализованное возмущение малой ширины не порождает солитона: при r98.wmf начальный импульс (8) произвольной высоты расплывается на диспергирующие спиновые волны. С ростом ширины возмущения (в интервале значений r99.wmf) из начального импульса (9) формируется неподвижный солитон (8) с центром в его середине. Высота такого импульса r100.wmf может быть сколь угодно малой: в пределах погрешности счета не удалось обнаружить ее минимальное значение.

Изображенная на рис. 2 зависимость ρ от высоты r101.wmf начального возмущения при его фиксированной ширине r102.wmf почти линейна. При фиксированной высоте h величина ρ монотонно возрастает с ростом ширины начальной ступеньки, меняясь в пределах:

r103.wmf.

Задание начального импульса небольшой высоты (r104.wmf) и значительной ширины (r105.wmf) ведет к интересному результату. Тогда возмущение (9) сначала сужается до значения r106.wmf, сбрасывая излишек энергии в виде диспергирующих волн, а затем из него также формируется неподвижный солитон (8). В соответствии с этим, при больших r107.wmf зависимость

r108.wmf

на рис. 3 становится пологой.

rask2.tiff

Рис. 2. Зависимость r109.wmf при значениях r110.wmf

rask3.tiff

Рис. 3. Зависимость r111.wmf при значениях r112.wmf

Заключение

Численное моделирование показывает, что при условии r113.wmf значение r114.wmf r115.wmf является порогом, по превышении которого (при r116.wmf) начальное возмущение (9) порождает два одинаковых солитона (7), движущихся в противоположных направлениях. С дальнейшим увеличением ширины импульса d значение его высоты h, необходимое для формирования двух солитонных состояний, несколько снижается: так при r117.wmf два солитона формируются из начального возмущения высотой r118.wmf, что соответствует значениям r119.wmf.

Уравнение (11) не позволяет установить пороговое значение h , при котором рождаются два солитона (7). Вместе с тем, рис. 2, 3 убеждают нас, что полученная оценка (11) зависимости параметра ρ солитона (8) от высоты и ширины начального импульса находится в хорошем согласии с численным экспериментом и может быть использована для генерации неподвижных солитонов с требуемыми характеристиками.

В заключение заметим, что при формировании прецессирующих солитонов в легкоосном ферромагнетике энергия начального возмущения (9) перераспределяется между компонентами намагниченности. Это приводит к тому, что ни ширина d, ни проекция r120.wmf начального возмущения в области r121.wmf не совпадают с таковыми у результирующего солитона.

Авторы выражают благодарность В.В. Киселеву за обсуждение результатов работы и полезные замечания.

Работа выполнена в рамках проекта УрО РАН №15–8–2–7 «Локализованные структуры, солитоны и их возбуждение в конденсированных средах».


Библиографическая ссылка

Расковалов А.А., Баталов С.В. ВОЗБУЖДЕНИЕ ПРЕЦЕССИРУЮЩИХ СОЛИТОНОВ В ФЕРРОМАГНЕТИКЕ С АНИЗОТРОПИЕЙ ТИПА «ЛЕГКАЯ ОСЬ» // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2017. – № 11-1. – С. 32-36;
URL: http://applied-research.ru/ru/article/view?id=11925 (дата обращения: 14.10.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074