Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,686

КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНЫ, ШАРНИРНО ЗАКРЕПЛЁННОЙ И УПРУГО ПОДВЕШЕННОЙ НА ВИНКЛЕРОВОМ ОСНОВАНИИ

Агаларов Дж.Г. 1 Мамедова Г.А. 1
1 Институт математики и механики национальной академии наук Азербайджана
На практике часто встречаются пластины, подвешенные различными способами. Явно выраженные решения, как правило, определяются при равновесии пластин. При колебании пластины частота явно аналитически не представляется. В данной работе рассматривается колебание круговых упругих пластин на Винклеровом основании при сложном креплении. По контуру имеет место шарнирное закрепление. В это же время шарнир опирается упруго. Это объясняется тем, что при колебаниях пластины опора поддаётся, что может иметь место при недостаточной жёсткости опоры. Здесь рассчитывается жёсткость опоры как функция частоты, т.е. решается обратная задача. Решение задачи представляется в виде функций Кельвина или Бесселя. Результаты расчёта представлены в виде графиков. В зависимости от частоты может иметь место решение в виде Бесселевых функций при больших частотах либо в виде функций Кельвина при меньших частотах. Здесь частота колебаний качественно влияет на картину движения. При превышении частотой определенного значения картина движения, определяемая Бесселевыми функциями, принимает форму, определяемую функциями Кельвина. Это связано с превалированием усилий. При определённых соотношениях цилиндрической жёсткости пластины и частоты свободных колебаний имеет место граница качественной картины колебаний: по одну сторону этой границы колебания определяются Бесселевыми функциями, по другую – функциями Кельвина.
колебания
частота
радиус
жёсткость
пластины
1. Kurktchiev R., Vaisilov I. Vibration of circular plates on elastic foundation with in-plane loading. J. of Theor. and Appl. Mech. Sofia. 1994–95. V. XXV. № 1–2. P. 27–33.
2. Wang Jt. Free vibration of stepped circular plates on elastic foundations. J. of Sound and Vibration. 1992.V. 159. № 1. P. 175–181.
3. Доронин А.М. Собственные колебания круглой пластинки, лежащей на переменном упругом основании типа Винклера / А.М. Доронин, В.А. Соболева // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. – 2014. – № 4 (1). – С. 254–258.
4. Крутий Ю.С. Аналитическое решение задачи о свободных колебаниях пластины, лежащей на упругом основании переменной / Ю.С. Крутий, Н.Г. Сурьянинов // Межвузовский сборник «Научные заметки». – 2016. – № 53. – С. 84–92.
5. Witt M. Roz wiaszanie ptyty spoczywajacej na podtozu spezystym o zmiennym wspotczynniku podatnosci metoda elementow skonczonych. Pr. nauk. Inst. inz. Lad. Pwr. 1974. No. 13. P. 143–149.
6. Mofid M., Noroozi M. A plate on Vinkler foundation with variable coefficient // Transaction A: Civil Engineering. 2009. V. 16. № 3. P. 249–255.
7. Колебания круговой металлополимерной пластины, связанной с упругим основанием, при тепловом ударе / Ю.М. Плескачевский [и др.] // Механика машин, механизмов и материалов. – 2009. – № 4 (9). – С. 50–54.
8. Леоненко Д.В. Тепловой удар по круглой трехслойной пластине на упругом основании / Д.В. Леоненко, Э.И. Старовойтов // Изв. РАН. МТТ. – 2012. – № 1. – С. 141–149.
9. Леоненко Д.В. Термопластическое деформирование круговых трехслойных пластин на упругом основании / Д.В. Леоненко, Э.И. Старовойтов // Изв. РАН. МТТ. – 2009. – № 5. – С. 106–119.
10. Старовойтов Э.И. Колебания круглых трехслойных пластин, связанных с упругим основанием / Э.И. Старовой-тов, В.Д. Кубенко, Д.В. Тарлаковский // Изв. вузов. Авиационная техника. – 2009. – № 2. – С. 16–19.
11. Егорычев О.А. Собственные колебания лежащей на деформируемом основании трансверсально-изотропной пластины, три края которой шарнирно оперты, а четвертый жестко закреплен. Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики и строительство / О.А. Егорычев, Р.Н. Степанов, Е.В. Запольнова // Вестник «МГСУ». – 2013. – № 7. – С. 27–33.
12. Jafar H. Agalarov, Guldasta A. Mamedova, Free fluctuations of the plates suspend in the various ways. Transactions of NAS of Azerbaijan, Issue Mechanics, Series of Physical-Technical and Mathematical Sciences, 2017, 37 (7), pр. 3–10.
13. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. – М.: Машиностроение, 1970. – 736 c.

Круговые пластины широко применяются в различных отраслях техники в качестве рабочих элементов в нефтеперерабатывающей промышленности, авиастроении, в гражданском строительстве и др.

Определению собственных частот колебаний круговых пластин, как свободных так и покоящихся на упругом основании типа Винклера, посвящён ряд работ [1–4]. Только для статических задач об изгибе прямоугольных пластинок, лежащих на упругом основании с переменным коэффициентом постели, известны решения. В статье [5] расчёт таких пластинок ведется методом конечных элементов, а в [6] – методом Галёркина.

В данной работе рассматриваются свободные колебания круглой пластины, подвешенной различными способами с Винклеровым основанием. Очевидно, вид подвески будет сказываться на частоте колебаний. На практике опора пластины может оказаться отличной от планируемой, и поэтому необходимо знание, как она влияет на частоту колебаний. В работе [7–10] исследованы симметричные поперечные колебания металлополимерной трехслойной круговой пластины, связанной с упругим основанием, при тепловом ударе. Для внешних слоев принимаются гипотезы Кирхгофа, в легком заполнителе деформированная нормаль прямолинейна и несжимаема по толщине. Получены аналитические решения, проведен их численный анализ.

В работе [11] представлено решение уравнения собственных колебаний лежащей на деформируемом основании трансверсально-изотропной пластины, один край которой жестко закреплен, а три других шарнирно оперты. Задача решается методом декомпозиций, получено частотное уравнение для определения собственных поперечных колебаний пластины.

В работе [12] рассматриваются задачи свободных колебаний круглых пластин при различных вариантах подвески.

При колебаниях пластины на его опоры действуют значительные усилия, в результате в которых они деформируются, и естественно, это влияет на частоту колебания пластины.

Цель работы: исследование колебаний пластины в случае податливости опоры. Выяснить особенности колебаний при наличии основания Винклера, а именно в одном случае решение представляется при помощи функций Бесселя, в другом – при помощи функций Кельвина.

Уравнение колебаний пластины имеет вид [13, с. 678]:

agal01.wmf

здесь подставляя agal02.wmf, тогда получим

agal03.wmf (1)

где agal04.wmf, β – функции частоты; agal05.wmf – цилиндрическая жёсткость пластины, Е – модуль упругости материала пластинки; agal06.wmf – масса пластины, h – толщина пластинки, ρ – плотность материала; k – сопротивление грунта оседанию, когда оседание, отнесённое к единице поверхности, равно единице; r0 – радиус пластины, ω – частота колебаний, ν – коэффициент Пуассона, Δ – оператор Лапласа.

Решение уравнения (1) имеет вид:

agal07.wmf, (1/)

где agal08.wmf.

Если agal09.wmf. (2)

Если agal10.wmf. (2/)

В дальнейшем понадобятся производные agal11.wmf, agal12.wmf Бесселевых и agal13.wmf, agal14.wmf Кельвин функций.

Пластина шарнирно закреплена по контуру и упруго опирается (рис. 1).

agal1.wmf

Рис. 1. Пластина шарнирно закреплена по контуру и упруго опирается

Условие шарнирного закрепления имеет вид

agal15.wmf (3)

Условие упругого опирания при r = ξ

agal16.wmf (4)

здесь λ – жесткость постели Винклера.

Подставляя (2) в (3) и (4), получаем, учитывая

agal17.wmf agal18.wmf;

agal19.wmf

agal20.wmf

agal21.wmf

agal22.wmf

agal23.wmf (5)

agal24.wmf (6)

Получим из (5)

agal25.wmf (7)

agal2.tif

Рис. 2. График I функции жесткости постели Винклера в зависимости от частоты (то есть обратное решение)

Подставляя (7) в (6), имеем

agal26.wmf (8)

На рис. 2 представлен график функции λ(β)

Если agal27.wmf.

Подставляя (2/) в (3) и (4), получаем, учитывая

agal28.wmf

agal29.wmf

agal30.wmf

agal31.wmf

agal32.wmf

agal33.wmf

agal34.wmf (9)

agal35.wmf (10)

Получим из (9)

agal36.wmf (11)

Подставляя (11) в (10), имеем

agal37.wmf (12)

На рис. 3 представлен график функции λ(β).

agal3.tif

Рис. 3. График II функции жесткости постели Винклера в зависимости от частоты (то есть обратное решение)

Представлены свободные колебания для различных возможных случаев закрепления круглых пластин.

Заключение

Впервые изучается влияние податливости опоры на колебания упругих систем, в частности, на свободные колебания пластины. Притом при наличии упругих оснований выявлено интересное явление: характер колебаний качественно зависит от соотношения параметров постели Винклера и упругости опоры. Учёт изученных явлений представляет интерес для применения на практике.

Следует учитывать, что постель Винклера ведёт к качественно изменяющемуся состоянию колебаний, характеризующемуся выражению решений различными классами функции, а именно Бесселевыми и функцией Кельвина.


Библиографическая ссылка

Агаларов Дж.Г., Мамедова Г.А. КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНЫ, ШАРНИРНО ЗАКРЕПЛЁННОЙ И УПРУГО ПОДВЕШЕННОЙ НА ВИНКЛЕРОВОМ ОСНОВАНИИ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2018. – № 7. – С. 48-53;
URL: http://applied-research.ru/ru/article/view?id=12328 (дата обращения: 17.07.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252