Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,618

ЭФФЕКТ «РАСЩЕПЛЕНИЯ» ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ ЧЕТВЁРТОГО ПОРЯДКА

Митрохин С.И. 1
1 НИВЦ МГУ им. М.В. Ломоносова
1. Митрохин С.И. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов второго порядка с разрывной весовой функцией // Доклады РАН. – 1997. – Т.356, № 1. – С.13-15.
2. Митрохин С. И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвёртого порядка с суммируемыми коэффициентами // Вестник Московского ун-та. Сер.1, математика, механика. – 2009. № 3 – С. 14-17.
3. Митрохин С. И. О «расщеплении» кратных в главном собственных значений многоточечных краевых задач // Известия ВУЗов. Серия: математика. – 1997. – № 3(418). – С. 38-43.
4. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. – М.: Мир, 1967.

В этой статье изучим спектральные свойства многоточечной краевой задач и для дифференциального оператора четвёртого порядка:

m1.wmf (1)

с граничными условиями вида:

m2.wmf (2)

Потенциал q(x) может быть гладким (m3.wmf, как это было в работе [1], а может быть интегрируемым на отрезке m4.wmf (m5.wmf, как это было в работе [2]. Основной вопрос нашего исследования: когда будет наблюдаться эффект «расщепления» кратных в главном собственных значений дифференциального оператора (1) – (2)? Этот эффект впервые был отмечен и изучен автором в работе [3]. Пусть m6.wmf, причем для корректности наших дальнейших вычислений зафиксируем ту ветвь арифметического корня, для которой m7.wmf. Пусть m8.wmf – различные корни четвёртой степени из единицы:

m9.wmf, при этом m10.wmf (3)

Основное приближение краевой задачи (1) – (2) получается при m11.wmf. В этом случае решение дифференциального уравнения (1) имеет следующий вид:

m12.wmf (4)

Подставляя формулы (4) в первые два из условий (2), получим формулу:

m13.wmf (5)

Подставляя формулу (5) в граничные условия (3) получаем следующее утверждение.

Теорема 1. Уравнение на собственные значения краевой задачи (1) – (2) имеет вид:

m14.wmf (6)

Произведя замену m15.wmf, уравнение (6) можно привести к виду:

m16.wmf (7)

Индикаторная диаграмма (см. [4, глава 12]) уравнение (7) представляет собой квадрат m17.wmf с вершинами m18.wmf, при этом на сторонах квадрата лежат точки m19.wmf.

Все эти точки влияют на асимптотику корней уравнения (7) (т.е. влияют на асимптотику собственных значений краевой задачи (1) – (2)).

Самый интересный эффект наблюдается в случае, если m20.wmf (т.е. α – любое действительное число, m22.wmf). В этом случае после замены m23.wmf уравнение на собственные значения перепишется (для сектора m24.wmf) в виде:

m25.wmf (8)

т.е. оно имеет корни m26.wmf (кратность корня равна 3) и m27.wmf (кратность 1).

Теорема 2. В случае m28.wmf асимптотика собственных значений краевой задачи (1) – (2) имеет вид:

m29.wmf (9)

m30.wmf коэффициенты m31.wmf выписываются в явном виде в зависимости от потенциала q(x).


Библиографическая ссылка

Митрохин С.И. ЭФФЕКТ «РАСЩЕПЛЕНИЯ» ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ ЧЕТВЁРТОГО ПОРЯДКА // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2014. – № 1-2. – С. 217-218;
URL: http://applied-research.ru/ru/article/view?id=4629 (дата обращения: 21.07.2018).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252