Научный журнал

Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955

ИФ РИНЦ = 0,593

• Авторы
• Файлы
• Литература

Митрохин С.И. 1

---

1 НИВЦ МГУ им. М.В. Ломоносова

Статья в формате PDF

1067 KB

1. Митрохин С.И. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов второго порядка с разрывной весовой функцией // Доклады РАН. – 1997. – Т.356, № 1. – С.13-15.

2. Митрохин С. И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвёртого порядка с суммируемыми коэффициентами // Вестник Московского ун-та. Сер.1, математика, механика. – 2009. № 3 – С. 14-17.

3. Митрохин С. И. О «расщеплении» кратных в главном собственных значений многоточечных краевых задач // Известия ВУЗов. Серия: математика. – 1997. – № 3(418). – С. 38-43.

4. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. – М.: Мир, 1967.

В этой статье изучим спектральные свойства многоточечной краевой задач и для дифференциального оператора четвёртого порядка:

(1)

с граничными условиями вида:

(2)

Потенциал q(x) может быть гладким (, как это было в работе [1], а может быть интегрируемым на отрезке (, как это было в работе [2]. Основной вопрос нашего исследования: когда будет наблюдаться эффект «расщепления» кратных в главном собственных значений дифференциального оператора (1) – (2)? Этот эффект впервые был отмечен и изучен автором в работе [3]. Пусть , причем для корректности наших дальнейших вычислений зафиксируем ту ветвь арифметического корня, для которой . Пусть – различные корни четвёртой степени из единицы:

, при этом (3)

Основное приближение краевой задачи (1) – (2) получается при . В этом случае решение дифференциального уравнения (1) имеет следующий вид:

(4)

Подставляя формулы (4) в первые два из условий (2), получим формулу:

(5)

Подставляя формулу (5) в граничные условия (3) получаем следующее утверждение.

Теорема 1. Уравнение на собственные значения краевой задачи (1) – (2) имеет вид:

(6)

Произведя замену , уравнение (6) можно привести к виду:

(7)

Индикаторная диаграмма (см. [4, глава 12]) уравнение (7) представляет собой квадрат с вершинами , при этом на сторонах квадрата лежат точки .

Все эти точки влияют на асимптотику корней уравнения (7) (т.е. влияют на асимптотику собственных значений краевой задачи (1) – (2)).

Самый интересный эффект наблюдается в случае, если (т.е. α – любое действительное число, ). В этом случае после замены уравнение на собственные значения перепишется (для сектора ) в виде:

(8)

т.е. оно имеет корни (кратность корня равна 3) и (кратность 1).

Теорема 2. В случае асимптотика собственных значений краевой задачи (1) – (2) имеет вид:

(9)

коэффициенты выписываются в явном виде в зависимости от потенциала q(x).

Библиографическая ссылка