Научный журнал

Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955

ИФ РИНЦ = 0,593

(2)

где E и k − произвольные постоянные.

Пусть θ,φ,ψ − углы Эйлера, введенные таким образом, что θ=<(e,v), φ − скорость собственного вращения вокруг вектора e, ψ – скорость прецессии вокруг вектора v. Тогда [8]

(3)

(4)

Если известно решение уравнений (1)

(5)

то углы Эйлера можно определить из (3), (4)

(6)

Параметры Р.-Г. выражаются через переменные (6) следующим образом [8]:

(7)

Они удовлетворяют соотношению

(8)

Если известны параметры Р.-Г., то углы Эйлера определим из формул

(9)

а vi из равенств

(10)

Для записи уравнений (1) в параметрах Р.-Г. необходимо в эти уравнения подставить значения (10). Например, в главной подвижной системе координат уравнения Эйлера-Пуассона (1) принимают вид

(11)

(12)

Уравнения (11) с помощью формул

(13)

можно привести к системе трех дифференциальных уравнений на параметры λ1, λ2, λ3 [5,7].Интегралы (2) преобразуются очевидным образом на основе (10).

2. Решение Бобылева-Стеклова

Пусть в уравнениях (1) e=(1,0,0), A=diag(2A2,A2,A3), а в интегралах (2) значения постоянных таковы:

где x, H − параметры.Тогда уравнения (1) допускают решение [9] (поскольку формулы (3), (10) для параметров Р.-Г. записаны в другой системе координат по сравнению с рассматриваемым решением, то для новых переменных используем “~”)

(14)

где

(15)

Из (14) следует, что подвижный годограф вектора угловой скорости − отрезок прямой.

Опуская знак “~” представим решение (14), (15) в эллиптических функциях, используя систему координат, в которой записаны соотношения (3)– (6):

(16)

где

(17)

а переменная v3 изменяется в промежутке , где эти значения указаны в формулах (17).Эллиптические функции (16) имеют модуль

(18)

Для нахождения параметров Р.-Г. в решении Бобылева-Стеклова воспользуемся соотношениями (6) и (16)

(19)

(20)

(21)

Зависимость параметров от времени найдем из соотношений (7) с учетом формул (19)-(21).Обозначим

(22)

С помощью (22) из равенств (19), (20) определим ИС на параметры Р.-Г. для случая Бобылева-Стеклова:

(23)

где − сопряженный к k1 модуль эллиптических функций.Итак ИС (23) является многочленом по параметрам Р.-Г. восьмого порядка.

Последняя формула из системы (21) представляет интерес, поскольку из неё следует достаточно наглядное представление скорости прецессии от угла собственного вращения тела

ИС для компонент вектора угловой скорости в силу (14) имеет линейный характер.

3. Сферический гороскоп (изоконические движения)

Рассмотрим тяжелое твердое тело, эллипсоид инерции которого является сферой: A3=A2=A1 Выбором системы координат можно принять s2=s1=0. Тогда из (1), (2) имеем

(24)

(25)

(26)

(27)

Изучим изоконические движения сферического гироскопа [2,4].Для этих движений подвижный и неподвижный годографы вектора угловой скорости симметричны относительно касательной плоскости к аксоидам. При этом необходимым и достаточным условием является ИС

(28)

где c − единичный вектор, неизменно связанный с телом. Положим c=(0,0,1)[4]. Тогда из (28) следует

(29)

Уравнения (24), (25) и интегралы (26) описывают движение гироскопа Лагранжа для случая сферического распределения масс. Из третьего уравнения системы (24) получим ω3=c*, где c* − произвольная постоянная. Потребуем, чтобы (29) было следствием (27). Тогда для ω3 имеем следующее значение

(30)

В [4] показано, что, если компоненты угловой скорости заданы в виде (3), то (29) выполняется при условии, когда в соотношениях (3) ψ=φ. Сравнивая (3) и (30), получим

(31)

Для получения уравнения на функцию θ(t) воспользуемся первым уравнением из (26) и соотношениями (3)

(32)

где , ,

.

При преобразовании решения уравнения (32) к эллиптическим функциям запишем его в виде

(33)

Без ограничения общности считаем s>0. Тогда переменная v3 изменяется в промежутке

(34)

Из уравнения (33) в силу (31) получим

(35)

где sn(ɡt) − эллиптическая функция с модулем k2 и параметром ɡ, имеющими следующие значения

(36)

Таким образом, на основании (35) и равенства v3 =cos θ можно записать

(37)

Функцию φ(t) определим из (31) в силу (35)

(38)

В случае изоконичных движений сферического гироскопа для параметров Р.-Г. из (7) получим

(39)

где функции находятся из (37), а функция φ(t) из (38), в которых необходимо учесть равенства (36). Таким образом для рассматриваемых движений найдены зависимости параметров Р.-Г. от времени − соотношения (39). Из них следует, что одно ИС имеет линейный вид. Другое ИС для уравнений (11) тоже линейное, но оно линейно по отношению к компоненте ω3. Следовательно, в случае сферического гиростата для этих уравнений имеем два линейных ИС по отношению к переменным задачи.

4. Решения, описывающие прецессионные движения тела

В динамике твердого тела особую роль играют решения, которые характеризуются прецессионными движениями тела. В книге [4] показано существование прецессий тела относительно оси, не совпадающей с вектором v.

Пусть ось l1 с единичным вектором a и с началом в неподвижной точке неизменна по отношению к телу и составляет постоянный угол θ0 с осью l2, которая неподвижна в пространстве. Обозначим через γ − вектор, принадлежащий оси l2. Для прецессий выполнятся следующие кинематические уравнения [4]

(40)

где

(41)

Класс прецессий твердого тела, имеющего неподвижную точку, характеризуется инвариантными соотношениями [4]

(42)

Если неподвижную систему координат связать с вектором a, то есть третью ось её направить по вектору a=(0,0,1), то имеют место cоотношения

(43)

Они удовлетворяют кинематическому уравнению для вектора γ из (40) и соотношению γ2=1 из (41). Для вектора v в [4] получено следующее разложение

(44)

Когда вектор v имеет вид (44), а вектор γ − (43), то кинематическое уравнение для v из (40) становится тождеством.

При рассмотрении прецессий относительно наклонной оси параметры Р.-Г. можно найти по аналогии с (3), (4), (7). То есть в дальнейшем полагаем

(45)

где углы θ0, ψ, φ − углы Эйлера, введенные с помощью неподвижной системы координат, которая связана с вектором γ, (но не с вектором v, как ранее).

Пример 1 − Решение Д. Гриоли. Пусть в уравнениях (1) e=(0,0,1), компоненты тензора A удовлетворяют равенствам

(46)

параметр S имеет значение

(47)

Тогда при выполнении (46), (47) уравнения (1) допускают решение Д. Гриоли[13], которое запишем в обозначениях [4]

(48)

(49)

характеризующееся регулярной прецессией тела относительно наклонной оси (угол между этой осью и вектором γ приведен выше, а угол θ0 = π/2).

Указанное свойство можно доказать следующим образом. На основании решения (48), (49) получим, что вектор γ с компонентами в подвижном пространстве

(50)

не изменяет своего положения в неподвижном пространстве. В процессе движения выполняется инвариантное соотношение e·γ=0, то есть вектор e перпендикулярен вектору γ (θ0 = π/2). Угловая скорость тела в силу соотношений (50) в векторном виде такова:

(51)

Из формулы (51) следует, что в (42), (45) ϕ=ψ=m. Выберем неподвижную систему так, что ϕ=ψ=mt (t − время). Подставив θ0 = π/2, ϕ=ψ=mt в соотношения (45) имеем

(52)

Из (52) следует, что имеют место два линейных ИС на параметры (45). Для получения зависимостей компонент вектора v от параметров Р.-Г. подставим cosmt, sinmt из (52)в (49):

(53)

при этом компоненты ωi из (48) выражаются через параметры Р.-Г. следующим образом

(54)

Соотношения (53), (54) являются решением уравнений (1), если в них учесть условия (46), (47).

Пример 2 − Решение В. Гесса. Как показал А. Брессан[12], в решении В. Гесса[14] при нулевом значении постоянной интеграла моментов из (2) имеет место прецессия относительно горизонтальной оси. То есть

(55)

и в формуле (44) χ0=π/2, θ0 = π/2. Для записирешения, описывающего данную прецессию, воспользуемся введенной выше системой координат e=(0,0,1). Пусть компоненты тензора Aij удовлетворяют условиям [4]

(56)

Следуя обозначениям [4], имеем

(57)

(58)

(59)

где

(60)

Выпишем решение уравнений (60). Из первого уравнения данной системы имеем [4]

(61)

где c − произвольная постоянная. Формулы (57) − (59) характеризуют все переменные задачи (1).

Для нахождения решения ψ(t) из второго уравнения системы (60) положим

(62)

Тогда из (60), (62) получим

(63)

где μt, snμt, cnμt − эллиптические функции, имеющие модуль k3 из (62). Параметры Р.-Г. имеют вид

(64)

где функции ψ(t), φ(t) выражаются из формул (61), (63). Представляет интерес вид ИС для прецессий Брессана-Гесса. Используя (9), (64) и (61), (63) найдем

(65)

(66)

Таким образом, в случае прецессии относительно горизонтальной оси гироскопа Гесса для параметров Р.-Г. имеет место два квадратичных ИС (65) и одно ИС трансцендентного вида (66).

Заключение

Исследованы свойства параметров Р.-Г. в решениях уравнений Эйлера-Пуассона, моделирующего движение тяжелого твердого тела, в случаях Бобылева-Стеклова, Лагранжа, Гриоли и Гесса. Полученные результаты могут быть применены в истолковании движения тела.

Автор выражает благодарность профессору Г.В. Горру за внимание к работе.