Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,686

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА АКУСТИКИ И ЕЕ СВЕДЕНИЕ К ОПЕРАТОРНОМУ ВИДУ

Тюлепбердинова Г.А. 1 Адилжанова С.А. 1
1 РГП «Казахский национальный университет им. Аль-Фараби»
В этой статье рассматривается динамическая обратная задача для уравнения акустики. Для исследования свойства оператора производной Фреше и сопряженного к нему оператора сведем дифференциальную постановку обратной задачи акустики к операторному виду. В обратной задачу введем новую переменную и получаем обратную задачу в которой по дополнительной информации надо найти решение и акустическую жесткость среды. А еще, обратную задачу можно будет свести к системе нелинейных интегральных уравнений вольтерровского типа, для которой можно будет получить серию результатов, включая теоремы о корректности и о сходимости метода итераций Ландвебера. Дальше уравнения образует систему нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода. И дальше сведем обратную задачу для уравнения акустики к операторому виду.
обратная задача
уравнение акустики
производная Фреше
сопряженный оператор
уравнение Вольтерра
акустическая жесткость
метод итераций Ландвебера
1. Kabanikhin S.I., Iskakov К.Т., Yamamoto М. H1-conditional stability with explicit Lipschitz constant for a one-dimentional inverse acoustic problem // J. Inv. Ill-Posed Problems. – 2001. – Vol. 9, № 3. – P. 249-267.
2. Кабанихин С.И., Бектемесов М.А., Нурсеитова А.Т. Итерационные методы решения обратных и некорректных задач с данными на части границы. – Алматы: Международный фонд обратных задач, 2006. – 432 c.
3. Тюлепбердинова Г.А. Сходимость метода наискорейшего спуска в дискретной обратной задаче для уравнения акустики // Материалы международной научной конференции «Теоретические и прикладные проблемы математики, механики и информатики». – Караганда: КарГУ, 2010. – № 6. – С. 165-166
4. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. – М.: Наука, 1984. – 264 c.

В статье рассматривается обратная задача акустики в случае сосредоточенного источника. Исходная задача сводится к системе нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Для этого с начало рассмотрим обратную задачу акустики [1, 2]

tule1.wmf (1)

tule2.wmf (2)

tule3.wmf (3)

tule4.wmf (4)

где tule5.wmf – плотность среды; tule6.wmf – скорость распространения волн в среде. Прямая (обобщенная начально-краевая) задача (1)–(3) заключается в определении акустического давления tule7.wmf по известным tule8.wmf и tule9.wmf. Прямая задача (1)–(3) корректна, подробнее исследование этой задачи можно найти в работах [3, 4].

Материалы и методы исследования

В обратной задаче (1)–(4) по дополнительной информации (4) надо найти либо tule10.wmf, либо tule11.wmf, либо некоторую их комбинацию. Покажем, что одновременно отыскать функции tule12.wmf и tule13.wmf в одномерной постановке невозможно, но их произведение можно найти.

Введем новую переменную

tule14.wmf.

Поскольку tule15.wmf неотрицательна, то для tule16.wmf существует обратная функция tule17.wmf такая, что

tule18.wmf.

Обозначим

tule19.wmf

Запишем обратную задачу (1)–(4) в переменных tule20.wmf, обозначая tule21.wmf

tule22.wmf

tule23.wmf

tule24.wmf

Обозначая tule25.wmf и учитывая, что

tule26.wmf,

получим обратную задачу

tule27.wmf (5)

tule28.wmf (6)

tule29.wmf (7)

tule30.wmf (8)

в которой по дополнительной информации (8) надо найти решение tule31.wmf и акустическую жесткость среды tule32.wmf

Нетрудно показать, что решение прямой задачи (5)–(7) имеет вид

tule33.wmf, (9)

где tule34.wmf – непрерывная при tule35.wmf и достаточно гладкая при tule36.wmf функция, tule37.wmf q – тэта-функция Хевисайда.

Подставляя (9) в систему (5)–(8), получим эквивалентную обратную задачу относительно tule38.wmf и tule39.wmf

tule40.wmf; (5’)

tule41.wmf (6’)

tule42.wmf (7’)

tule43.wmf (8’)

Обратная задача (5’)–(8’) предпочтительнее первоначальной постановки (1)–(4) по нескольким причинам. Во-первых, прямая задача (5’)-(7’), в отличие от прямой задачи (1)–(3), не имеет сингулярных составляющих. Во-вторых, в обратной задаче (5’)-(8’) не два, а один неизвестный коэффициент s(x). Поэтому после доказательства локальной теоремы существования решения этой задачи станет ясно, что решение исходной обратной задачи (1)–(4) не является единственным, поскольку для одной функции tule44.wmf можно подобрать бесконечно много пар функций tule45.wmf удовлетворяющих исходной обратной задаче. В-третьих, обратную задачу (5’)–(8’) оказывается возможным свести к системе нелинейных интегральных уравнений вольтерровского типа, для которой получена серия результатов, включая теоремы о корректности и о сходимости метода итераций Ландвебера.

Сведение обратной задачи акустики к операторному виду. Сформулируем обратную задачу акустики в операторном виде, при этом оставим все обозначения принятые в работе [3].

Обозначим

tule46.wmf

tule47.wmf

tule48.wmf

Отметим, что поскольку

tule49.wmf

то

tule50.wmf. (10)

Используем формулу Даламбера для представления решения задачи Коши (5’), (6’), (8’)

tule51.wmf (11)

и дифференцируем (11) по x

tule53.wmf

tule54.wmf (12)

Положим в (11) по tule55.wmf

tule56.wmf

tule57.wmf

Умножив почленно на (10), получаем

tule58.wmf (13)

Уравнения (12), (10), (13) образуют систему нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Решение этой системы будем искать в классе tule59.wmf таком, что tule60.wmf и функции tule61.wmf Здесь

tule62.wmf

Заметим, что если решение задачи (12), (10), (13) существует и

tule63.wmf

то по формуле tule64.wmf мы можем найти решение обратной задачи (5’)-(7’), при условии, что σ(+0) известно.

Результаты исследования и их обсуждение

Исследовать обратную задачу для уравнения акустики (5)–(8) будем в операторной форме

tule65.wmf (14)

где, в соответствии с (12), (10), (13),

tule66.wmf (15)

tule67.wmf (16)

tule68.wmf tule69.wmf

tule70.wmf

tule71.wmf (17)

tule72.wmf

tule73.wmf tule74.wmf

tule75.wmf (18)

tule76.wmf

tule77.wmf

tule78.wmf

tule79.wmf

Заметим, что если tule80.wmf – решение задачи (5’)-(8’), то вектор-функция tule81.wmf, построенная по формуле (16), является решением задачи tule82.wmf

Введем обозначение прямого произведения пространств tule83.wmf и tule84.wmf. Будем говорить, что элемент tule85.wmf принадлежит пространству tule86.wmf, если

tule87.wmf

где tule88.wmf

Введем в пространстве tule89.wmf скалярное произведение

tule90.wmf (19)

и согласованную с ним норму

tule91.wmf (20)

Заключение, выводы. В статье рассмотрена обратная задача акустики в случае сосредоточенного источника. Исходная задача сведена к системе нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Получена операторная форма обратной задачи для исследования свойства оператора производной Фреше и сопряженного к нему оператора.


Библиографическая ссылка

Тюлепбердинова Г.А., Адилжанова С.А. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА АКУСТИКИ И ЕЕ СВЕДЕНИЕ К ОПЕРАТОРНОМУ ВИДУ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2015. – № 2-1. – С. 30-32;
URL: http://applied-research.ru/ru/article/view?id=6369 (дата обращения: 19.03.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252