Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,686

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЕРТИКАЛЬНОГО СОСРЕДОТОЧЕННОГО УПРУГОГО ИМПУЛЬСНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ В ВИДЕ ДЕЛЬТА ФУНКЦИИ НА ГРАНИЦЕ ВОЗДУШНОЙ И ТВЕРДОЙ СРЕДЫ С ПОЛОСТЬЮ В ВИДЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКА (СООТНОШЕНИЕ ШИРИНЫ К ВЫСОТЕ ОДИН К ПЯТНАДЦАТИ)

Мусаев В.К. 1
1 МЭСИ
Для прогноза безопасности сложной системы, находящейся в воздушной и твердой среде, при вертикальном сосредоточенном воздействии применяется численное моделирование. На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны методика, алгоритм и комплекс программ для решения линейных двумерных плоских задач, которые позволяют решать линейные задачи при импульсных воздействиях на сложные системы. Решена задача о сосредоточенном упругом воздействии на границе воздушной и твердой среды с полостью в виде прямоугольника (соотношение ширины к высоте один к пятнадцати). Исследуемая расчетная область имеет 20862 узловые точки. Решается система уравнений из 83448 неизвестных. Получены напряжения в точках, которые находятся в твердой среде.
численный метод
напряжение
динамическая теория упругости
волновая теория взрывной безопасности
сложная система
краевая задача
задача с начальными условиями
задача Коши
методика
алгоритм
однородный алгоритм
комплекс программ
продольная волна
поперечная волна
коническая волна
волна Релея
поверхностная волна
упругая полуплоскость
воздушная среда
твердая среда
напряжения на свободной поверхности
полость.
1. Мусаев В.К. Численное решение волновых задач теории упругости и пластичности // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия прикладная математика и информатика. – 1997. – № 1. – С. 87–110.
2. Мусаев В.К. Численное моделирование распространения плоских продольных волн напряжений в виде треугольного импульса с большой линейной нисходящей частью в упругой полуплоскости // Проблемы безопасности российского общества. – 2014. – № 2. – С. 102–112.
3. Мусаев В.К. Математическое моделирование пластических контурных напряжений в свободном квадратном отверстии при нестационарном сейсмическом воздействии // Проблемы безопасности российского общества. – 2014. – № 2. – С. 113–124.
4. Мусаев В.К. Математическое моделирование интерференции нестационарных упругих волн напряжений в виде треугольного импульса от свободной поверхности пластинки / В.К. Мусаев, С.В. Ситник, А.А. Тарасенко, В.Г. Ситник, М.В. Зюбина // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 4; URL: www.science-education.ru/118-14118 (дата обращения: 21.09.2014).
5. Мусаев В.К. О достоверности компьютерного моделирования нестационарных упругих волн напряжений в деформируемых телах сложной формы // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2014. – № 11 – С. 10–14.
6. Мусаев В.К. Определение упругих напряжений в плотине Койна с основанием с помощью волновой теории сейсмической безопасности // Успехи современного естествознания. – 2014. – № 12 (3). – С. 235–240; URL: www.rae.ru/use/?section=content&op=show_article&article_id= 10003415 (дата обращения: 01.01.2015).
7. Мусаев В.К. Моделирование нестационарных упругих волн напряжений в деформируемых областях с помощью метода конечных элементов в перемещениях // Современные наукоемкие технологии. – 2014. – № 12 (1). – С. 28–32; URL: www.rae.ru/snt/?section=content&op=show_article&article_id= 10003413 (дата обращения: 01.01.2015).
8. Мусаев В.К. Моделирование безопасности по несущей способности дымовых труб с основанием при взрыве атомной бомбы в Нагасаки // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2014. – № 12. – С. 198–203; URL: www.rae.ru/upfs/?section=content&op=show_ article&article_id=6297 (дата обращения: 01.01.2015).
9. Мусаев В.К. О достоверности компьютерного моделирования нестационарных упругих волн напряжений в деформируемых телах сложной формы // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2014. – № 11. – С. 10–14; URL: www.rae.ru/upfs/?section=content &op =show_article&article_id=6064 (дата обращения: 01.01.2015).
10. Мусаев В.К. Математическое моделирование отражения нестационарных упругих волн напряжений в виде треугольного импульса от свободной поверхности пластинки / В.К. Мусаев, С.В. Ситник, А.А. Тарасенко, В.Г. Ситник, М.В. Зюбина // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 11–11. – С. 2375–2379; URL: www.rae.ru/fs/?section=content &op= show_article&article_id=10005217 (дата обращения: 01.01.2015).

Постановка задачи

Рассматриваемые физические процессы решаются с помощью методов математического моделирования.

missing image file

Рис. 1. Некоторое тело, состоящее из двух разных областей Г(1) и Г(2) в прямоугольной декартовой системе координат XOY

Рассмотрим некоторое тело, состоящее из двух разных областей Г(1) (воздушная среда) и Г(2) (твердая среда) (рис. 1) в прямоугольной декартовой системе координат XOY, которому в начальный момент времени t = 0 сообщается механическое воздействие. Предположим, что тело Г(1) изготовлено из деформируемой воздушной среды и является однородным изотропным материалом, подчиняющегося упругому закону Гука при малых упругих деформациях. Если в деформируемом твердом теле предположим, что поперечная скорость распространения равна нулю, то можно получить уравнения состояния для воздушной среды.

Точные уравнения двумерной плоской динамической теории упругости для области Г(1) имеют вид

missing image file

где σx(1) и σy(1) – компоненты тензора упругих напряжений; εx(1) и εy(1) – компоненты тензора упругих деформаций; u(1) и v(1) – составляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно; ρ(1) – плотность материала; Cp(1) – скорость продольной упругой волны; S(1) (S(1)1 ∪ S(1)2) – граничный контур тела Г(1).

Систему (1) в области, занимаемой телом Г(1), следует интегрировать при начальных и граничных условиях.

Точные уравнения двумерной плоской динамической теории упругости для области Г(2) имеют вид

missing image file

где σx(2), σy(2) и τxy(2) – компоненты тензора упругих напряжений; εx(2), εy(2), и γxy(2) – компоненты тензора упругих деформаций; u(2) и v(2) – составляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно; ρ(2) – плотность материала; Cp(2) – скорость продольной упругой волны; Cs(2) – скорость поперечной упругой волны; S(2) (S(2)1 ∪ S(2)2) – граничный контур тела Г(2).

Систему (2) в области, занимаемой телом Г(2), следует интегрировать при начальных и граничных условиях. Для решения краевой задачи используется метод конечных элементов в перемещениях.

На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны алгоритм и комплекс программ для решения линейных плоских двумерных задач, которые позволяют решать сложные задачи при нестационарных динамических воздействиях на уникальные сооружения. При разработке комплекса программ использовался алгоритмический язык Фортран-90.

В работах [1–10] приведена информация о моделировании волн напряжений в деформируемых телах с помощью применяемого численного метода.

Решение задачи
о сосредоточенном упругом воздействии в виде дельта функции

Рассмотрим задачу о сосредоточенном упругом импульсном воздействии (рис. 2) на границе воздушной и твердой среды с полостью (рис. 3). Некоторая информация о достоверности применяемого численного метода приведена в следующих работах [1–2, 4–5, 9–10]. В точке В приложено нормальное нестационарное воздействие σy , которое при 0 ≤ n ≤ 10 (n = t / ∆t) изменяется линейно от 0 до P, при 11 ≤ n ≤ 20 изменяется P до 0 (P = σ0, σ0 = - 0,1 МПа). Граничные условия для контура ABCJKI при t > 0 missing image file. Отраженные волны от контура ABCJKI не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 200. На границе IHGFEDC приняты условия непрерывности перемещений.

missing image file

Рис. 2. Воздействие в виде
треугольного импульса

Для области ABCDEFGHI приняты следующие исходные данные:

H = ∆x = ∆y; ∆t = 0,147×10 -4 с; Cp = 340 м/с; ρ = 1,22 кг/м3.

Для области IHGFEDCJK приняты следующие исходные данные:

H = ∆x = ∆y; ∆t = 0,125×10 -4 с; Cp = 400 м/с; Cs = 250 м/с; ρ = 1,469×10 3 кг/м3.

missing image file

Рис. 3. Постановка задачи о сосредоточенном упругом импульсном воздействии
на границе воздушной и твердой среды с полостью в виде прямоугольника
(соотношение ширины к высоте один к пятнадцати)

missing image file

Рис.4. Изменение упругого нормального напряжения ̅σx во времени t / ∆t в точке B1:
1 – в задаче без полости; 2 – в задаче полостью
(соотношение ширины к высоте
один к пятнадцати)

В расчетах принимается минимальный шаг по времени, то есть ∆t = 0,125×10 -4 с. Исследуемая расчетная область имеет 20862 узловых точек. Решается система уравнений из 83448 неизвестных. На рис. 4-7 представлено изменение нестационарного упругого нормального напряжения ̅σх ( ̅σх = σх / |σ0| ) во времени n в точках B1-B4 (рис. 3) находящихся около границы воздушной и твердой среды (расстояние между точками: B1 и B2 равно H; B2 и B3 равно H; B3 и B4 равно H).

missing image file

Рис. 5. Изменение упругого нормального напряжения ̅σx во времени t / ∆t в точке B2:
1 – в задаче без полости; 2 – в задаче полостью (соотношение ширины к высоте
один к пятнадцати)

missing image file

Рис.6. Изменение упругого нормального напряжения ̅σx во времени t / ∆t в точке B3:
1 – в задаче без полости; 2 – в задаче полостью (соотношение ширины к высоте
один к пятнадцати)

missing image file

Рис.7. Изменение упругого нормального напряжения ̅σx во времени t / ∆t в точке B4:
1 – в задаче без полости; 2 – в задаче полостью (соотношение ширины к высоте
один к пятнадцати)

Выводы

Полость, с соотношением ширины к высоте один к пятнадцати, уменьшает величину упругого растягивающего нормального напряжения ̅σx в 7,833 раза.

Полость, с соотношением ширины к высоте один к пятнадцати, уменьшает величину упругого сжимающего нормального напряжения ̅σx в 16,0 раз.


Библиографическая ссылка

Мусаев В.К. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЕРТИКАЛЬНОГО СОСРЕДОТОЧЕННОГО УПРУГОГО ИМПУЛЬСНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ В ВИДЕ ДЕЛЬТА ФУНКЦИИ НА ГРАНИЦЕ ВОЗДУШНОЙ И ТВЕРДОЙ СРЕДЫ С ПОЛОСТЬЮ В ВИДЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКА (СООТНОШЕНИЕ ШИРИНЫ К ВЫСОТЕ ОДИН К ПЯТНАДЦАТИ) // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2015. – № 2-2. – С. 220-223;
URL: http://applied-research.ru/ru/article/view?id=6437 (дата обращения: 18.07.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252