Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,570

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ В СОПРЯЖЕННОЙ ПОСТАНОВКЕ

Мадера А.Г. 1
1 ФГБУН Научно-исследовательский институт Системных исследований РАН
Математические модели конвективного теплообмена, используемые в при решении уравнений теплопроводности, основаны на концепции коэффициента теплоотдачи и линейном уравнении теплообмена Ньютона. Такой подход зачастую приводит к неадекватным адекватному моделированию реальных процессов теплопередачи. В статье предлагается подход, основанный на сопряженной формулировке математической модели конвективного теплообмена и приближенном аналитическом решении, достаточно точным для инженерной практики. Показано, что поток тепла с поверхности тела в среду пропорционален разности температур в степени 5/4, в то время как в законе теплообмена Ньютона поток тепла пропорционален первой степени температуры. Указанная зависимость вносит существенную погрешность в результаты расчетов. Включение предлагаемых моделей в программные комплексы теплового проектирования систем позволяет значительно повысить точность расчетов тепловых режимов.
конвективный теплообмен
сопряженная модель
математическое и компьютерное моделирование
1. Кандалов П.И., Мадера А.Г. Моделирование температурных полей в многослойных структурах // Программные продукты и системы. – 2008. – № 4. – С. 11.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. – М.: Наука, 1992.
3. Лыков А.В. Тепломассообмен. 2-е изд. – М.: Энергия, 1978.
4. Мадера А.Г. Моделирование теплообмена в технических системах. – М.: Науч. фонд «Первая исслед. лаб. им. акад. В.А. Мельникова», 2005.
5. Мадера А.Г. Иерархический подход при тепловом проектировании электронных изделий // Программные продукты и системы. – 2008. – № 4. – С. 10.
6. Мадера А.Г., Кандалов П.И. Моделирование трехмерных температурных полей в электронных модулях // Программные продукты и системы. – 2010. – № 2. – С. 36.
7. Мадера А.Г., Кандалов П.И. Матрично-топологический метод математического и компьютерного моделирования температурных полей в электронных модулях: программный комплекс STF-ElectronMod // Программные продукты и системы. – 2012. – № 4. – С. 34.
8. Программный комплекс Simulation of Temperature Fields of Electronic Modules 2013 (STF-ElectronMod 2013) / П.И. Кандалов, А.Г. Мадера / Свидетельство о Гос. регистрации ПК для ЭВМ № 2013615400 от 6.6.2013.
9. Себиси Т., Брэдшоу П. Конвективный теплообмен. Физические основы и вычислительные методы. – М.: Мир, 1987.
10 Справочник по теплообменникам. Т. 1 / Пер. с англ. – М., Энергоатомиздат, 1987.
11. Madera A.G. Modelling of stochastic heat transfer in a solid // Applied Mathematical Modelling. – 1993. – Т. 17, № 12. – P. 664–668.
12. Madera A.G., Sotnikov A.N. Method for analyzing stochastic heat transfer in a fluid flow // Applied Mathematical Modelling. – 1996. – Т. 20, № 8. – P. 588–592.

Конвективный теплообмен между телом и средой (жидкостной, воздушной) описывается системой уравнений гидродинамики, включающей в себя уравнения Навье-Стокса, непрерывности и переноса энергии. Эти уравнения чрезвычайно сложны и их решению (аналитическому, численному) посвящено огромное число работ. Многие работы рассматривают многочисленные частные случаи и их решения применительно к конкретным условиям [2, 3, 9]. Часть работ анализирует стохастический характер течений жидкости [4, 11, 12]. Для того, чтобы иметь возможность моделировать сложные реальные процессы конвективного теплообмена, во многих работах прибегают к допущениям, упрощающим математическую модель и ее решение.

Одно из таких принципиальных упрощений, получившее широкое распространение в инженерной практике, постулирует закон конвективного теплообмена между твердым телом и средой в форме линейной связи между потоком тепла от тела в среду P и разностью температур Tw – Ta поверхности нагретого тела Tw, с площадью теплообмена S, и среды Ta. Этот закон конвективного теплообмена, называемый еще линейным уравнением Ньютона, основывается на концепции коэффициента теплоотдачи (КТО), согласно которой коэффициент теплоотдачи α включает в себя всю сложность конвективного теплообмена и зависит от большого числа разнообразных физических и геометрических факторов, а также условий и режимов, в которых протекают процессы конвекции в конструкции реальной системы. Линейное уравнение Ньютона конвективного теплообмена имеет вид [4, 6, 7, 10] P = α S (Tw – Ta). На практике, для изучения процессов конвективного теплообмена, протекающих в реальных конструкциях, а также для получения значений коэффициента теплоотдачи, прибегают в каждом данном конкретном случае к проведению сложных и трудоемких экспериментальных исследований, с последующей обработкой полученных экспериментальных данных методами теории подобия [3, 10].

Вместе с тем конвективное взаимодействие не описывается концепцией КТО и зачастую приводит к неадекватным результатам в практике теплового моделирования и проектирования тепловых режимов систем. Для повышения адекватности моделирования конвективных процессов теплообмена в системах, необходимо заменить концепцию КТО подходом, основанном на концепции сопряженного конвективного теплообмена, согласно которой в результате взаимодействия температурных полей тела и омывающей ее среды необходимо решать совместно уравнения распространения тепловых потоков в твердом теле и в жидкости, а также уравнения движения среды Навье-Стокса.

В данной статье формулируются уравнения математической модели конвективного теплообмена в сопряженной постановке применительно к воздушной среде. В статье также приводится подход, позволяющий получать замкнутые аналитические решения конвективного теплообмена для вертикальной одномерной пластины. Полученное решение может быть использовано в программных комплексах теплового проектирования систем [8].

Математическая модель сопряженного конвективного теплообмена

Сопряженная постановка задачи конвективного теплообмена характеризуется тем, что в отличие от простой несопряженной постановки, к традиционным уравнениям Навье-Стокса, переноса энергии и неразрывности добавляются уравнения теплопроводности в твердом теле, а также граничные условия 4 рода, выражающие равенство температур и тепловых потоков в каждой точке соприкосновения жидкости и тела.

Рассмотрим свободную конвекцию в воздушную среду, Пренебрежем изменением плотности воздушной среды под влиянием изменения давления, но изменением плотности из-за неравномерности нагретого воздуха пренебрегать нельзя. Уравнения математической модели считаются стационарными и не зависящими от времени. Координата x, направлена вертикально вверх, координата y перпендикулярна пластине, вдоль координаты z изменения температурного поля и поля скоростей в среде отсутствуют. Для пограничного слоя, давление р’ = 0, vz = 0, ∂/∂z = 0 для плоскопараллельного потока, получим:

– уравнение Навье-Стокса в воздушной среде

mad01.wmf, (1)

– уравнение переноса энергии в воздушной среде

mad02.wmf, (2)

– уравнение непрерывности воздушной среды

mad03.wmf, (3)

– уравнение теплопроводности пластины (∂2Tw/∂z2 = 0)

mad04.wmf, (4)

– граничные условия для скоростей воздуха:

vx = vy = 0 (y = 0);

vx = 0,

T = Ta (для y вне пограничного слоя), (5)

– граничные условия 4 рода:

mad05.wmf,

mad06.wmf (6)

где vx и vy – скорости воздуха вдоль осей x и y соответственно; T = T (x, y) и Tw = Tw (x, y) – распределения температуры в воздушной среде и пластине соответственно; Q (x, y) – объемная плотность распределения интенсивностей источников теплоты в пластине; Ta – температура воздуха за пределами пограничного слоя; Q – объемная плотность внутренних источников теплоты в теле; Ta – некоторые постоянные средние значения температуры в жидкости; Tw – трехмерное температурное поле в теле; ν – кинематическая вязкость, a = λ/ρc – температуропроводность, теплопроводность λ, плотность ρ, удельная теплоемкость c, температурный коэффициент расширения β среды; λw – теплопроводность материала тела; g – ускорение свободного падения; n – нормаль к поверхности тела.

Математическое моделирование свободного конвективного теплообмена вертикальной пластины со средой в сопряженной постановке

Рассмотрим теплообмен между вертикальной пластиной с внутренним источником теплоты и средой. Согласно концепции сопряженного моделирования конвективного теплообмена между телом и средой, сначала следует найти распределения температуры в теле Tw и среде T, при некоторых пока неизвестных тепловых потоках qw, q и температурах Tw и T на границе их раздела, а затем сшить полученные решения с помощью граничных условий четвертого рода, приравняв в каждой точке границы тепловые потоки и температуры как со стороны тела, так и со стороны среды.

Температурное поле пластины. Направим ось x вертикально вверх вдоль пластины, ось y – перпендикулярно пластине (горизонтально), а ось z – вдоль пластины в горизонтальном направлении. Распределение источников тепла будем считать равномерным по объему пластины. Это означает, что температурное поле не изменяется в пластине (на длине lz) и среде вдоль оси z, изменяется в пластине по оси y и изменяется в среде по осям x и y; другими словами температурное поле пластины одномерно, а среды – двумерно [1, 4–7].

Математическая модель свободной конвекции между вертикальной одномерной пластиной и двумерной средой описывается уравнениями (1)–(6), за исключением уравнения теплопроводности в пластине (4), в котором должен отсутствовать член со второй производной по координате x, в силу одномерности температурного поля пластины. Примем, что торцы пластины теплоизолированы, с одной поверхности пластины (при y = ly, ly – толщина пластины) происходит теплообмен со средой, а другая ее поверхность (y = 0) – теплоизолирована. Таким образом, уравнение одномерной теплопроводности вертикальной пластины с внутренним источником теплоты и указанными условиями на ее поверхностях, имеют вид [2, 3, 4]:

mad07.wmf, (7)

mad08.wmf,

mad09.wmf,

mad10.wmf, (8)

где qw – тепловой поток на границе раздела пластины и среды, qw = Q ly; lx = h – высота пластины.

Решением этих уравнений является одномерное температурное поле вертикальной пластины:

mad11.wmf, (9)

в котором Tw(l) представляет собой неизвестную пока температуру на границе раздела пластины (y = ly) и среды (y = 0) и которая определяется из решения сопряженной математической модели.

Температурное поле среды. Температурное поле в среде, пребывающей в состоянии свободной естественной конвекции с омываемой ею телом, определяется уравнениями (1)–(3), описывающими процесс взаимодействия между температурными полями тела и среды, возникающими в результате конвективных процессов, которые зависят сложным образом зависят не только от полей температуры, но и от векторного поля скоростей в каждой точке среды. Решения уравнений (1)–(3) имеют вид [3, 9] относительно безразмерных комплексов для температурного поля среды θ и координаты ξ

mad12.wmf, mad13.wmf,

где Grx – локальный безразмерный критерий Грасгофа [3].

Зависимости θ(ξ) для каждого значения критерия Pr с достаточной для практики точностью (не более 3 %) могут быть аппроксимированы многочленом второй степени (параболой). Для воздуха (Pr = 0,72) она может быть аппроксимирована параболой θ(ξ|Pr = 0,72) = 0,05(ξ – 4,5)2, откуда сразу же получается аналитическая формула для двумерного температурного поля среды T = T (x, y)

mad14.wmf. (10)

Решение задачи конвективного теплообмена в сопряженной постановке. Для получении искомого решения задачи сопряженного конвективного теплообмена приравняем на границе раздела пластины и среды тепловые потоки как со стороны среды (y = 0), так и со стороны пластины (y = ly). После несложных преобразований получим температурное поле среды T(x) на поверхности границы раздела между вертикальной пластиной и средой, вдоль оси x, которое установится в результате свободно конвективного теплообмена:

mad15.wmf. (11)

В последнем выражении введен полный тепловой поток Р внутреннего источника теплоты в теле, который связан с объемной плотность Q равенством P = Q h ly lz, где lz – длина пластины вдоль оси z. Установившееся в результате конвективного теплообмена с воздушной средой температурное поле вдоль границы раздела поверхность пластины – среда T (x) (11), приведено на рис. 1. Зависимость Tw – Ta построена для безразмерной координаты x/h вдоль вертикальной оси x, при следующих параметрах пластины и воздушной среды: Ta = 30 °С, P = 5 Вт, ρ = 1,165 кг/м3, λ = 0,026 Вт/мК, ν = 0,000016 м2/с, lx×ly×lz = = 0,16 м×0,002 м×0,2 м.

Из решения следует, что температурное поле в среде на границе раздела пластина – среда довольно сильно изменяется вдоль координаты x, даже при бесконечно большой теплопроводности пластины, при которой температура ее поверхности Tw постоянна. Поэтому замена температурных распределений их усредненными характеристиками, как в концепции КТО будет приводить к неадекватным результатам.

Сравним линейное уравнение Ньютона в концепции КТО с аналогичным приближением, но полученным на основании точного решения (11). Усреднив по высоте пластины h температуру поверхности границы раздела пластина – среда, после интегрирования (11) и несложных преобразований получим среднюю по высоте пластины температуру на границе раздела пластина – среда:

mad16.wmf. (12)

Отсюда получаем соотношение, связывающее тепловую мощность P внутренних источников теплоты в пластине с разностью температур поверхности пластины и окружающей ее средой Tw – Tа: в виде подобном закону Ньютона P = A(Tw – Tа)5/4, mad17.wmf.

Сравнение соотношений Ньютона и полученного решения показывает существенное отличие концепции КТО и линейного закона Ньютона от полученной модели (13), (14) конвективного теплообмена, так как по закону Ньютона тепловой поток Р должен быть прямо пропорционален Tw – Tа, в то время как (13), 14), он пропорционален (Tw – Tа)5/4.


Библиографическая ссылка

Мадера А.Г. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ В СОПРЯЖЕННОЙ ПОСТАНОВКЕ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2015. – № 4-1. – С. 25-28;
URL: http://applied-research.ru/ru/article/view?id=6576 (дата обращения: 21.01.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074