Научный журнал

Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955

ИФ РИНЦ = 0,593

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Горшков А.В. 1 Спевак Л.Ф. 1

---

1 Институт Машиноведения УрО РАН

Работа посвящена моделированию трехмерных процессов деформирования неоднородных тел на основе вариационного принципа виртуальных скоростей и напряжений. Предполагается, что деформируемая область состоит из подобластей с различными механическими свойствами. Материал каждой подобласти предполагался изотропным. На границах подобластей заданы условия сопряжения. Расчет параметров деформирования на заданном конечном промежутке времени производится в лагранжевых координатах. Для произвольныго, но фиксированного момента времени решается изохронная вариационная задача. В результате варьирования функционала получается система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно зависящих от времени параметров, которая решается численно при заданных начальных условиях. В качестве примера проведены расчеты процесса осадки слоистой заготовки. Использованное представление перемещений позволяет контролировать бочкообразование в процессе деформирования. Предложенные условия сопряжения поверхности позволили существенно понизить порядок системы дифференциальных уравнений.

Статья в формате PDF

919 KB

1. Горшков А.В., Привалова В.В.О вариационном принципе скоростей и напряжений при несимметричном тензоре напряжений // Механика деформирования и разрушения. – 2001. – С. 20-30.

2. Горшков А.В. О вариационном принципе скоростей и напряжений для неизотермических процессов // Известия Уральского университета. – 2003. №26 (математика и механика), – вып. 5. – С. 40-44.

3. Горшков А.В. О напряженно-деформированном состоянии цилиндра из упруго-пластического материала под действием давления в канале // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. – Сер. Физ.-мат. Науки. – 2006. – Т. 42. – C. 86-91.

4. Колмогоров В.Л., Спевак Л.Ф., Чурбаев Р.В. Определение ресурса пластичности металла при высокоскоростном деформировании в условиях высокого давления // Деформация и разрушение материалов. – 2013. – №4. – С. 2-8.

6. Kolmogorov V.L., Spevak L.F., Gorshkov A.V. A method for calculating the stress-strain state in the general boundary value problem of metal forming – part 2 // Impact of a bar against a rigid obstacle. International Journal of Solids and Structures. – 1999. №36. – P. 1263-1275.

7. Kolmogorov V.L., Spevak L.F., Gorshkov A.V. Tree-dimensional analysis of the stress-strain state in the process of plastic deformation of metals // Journal of Materials Processing Technology. – 1999. №5. – P. 55-64.

8. Kolmogorov V.L., Spevak L.F., Churbayev R.V. On the technique used to determine plasticity margin in high-speed deformation under high pressure // International Journal of Mechanical Sciences. – 2008. – Vol. 50/4. – P. 676-682.

Математическое моделирование процессов деформирования материалов (ковки, прокатки, резания и др.) с целью их усовершенствования сопровождается расчетом полей деформаций и напряжений в обрабатываемом изделии. Задача расчета деформирования однородных областей с помощью вариационного принципа скоростей и напряжений исследовалась В.Л. Колмогоровым и его учениками в работах [4, 5, 6]. В [1 ,2] построены варианты вариационного принципа для неизтормических процессов и для случая несимметричного тензора напряжений. В работе [3] приведен пример расчета напряженного состояния цилиндра с каналом.

Рассмотрим задачу о деформировании кусочно-неоднородной заготовки, занимающей объем V и состоящей из K подобластей . Решение задачи проведем в лагранжевых переменных, так как рассматриваются большие деформации. В каждой подобласти введем локальную сопутствующую систему координат. Будем обозначать лагранжевы локальные переменные трехмерным вектором с компонентами . Текущие координаты точек подобласти относительно неподвижной системы отсчета будем обозначать . Используем суммирование по умолчанию по повторяющимся индексам. Символ в скобках показывает номер подобласти. Суммирование по нему указывается явно. Поэтому номер подобласти располагаем где удобнее – вверху или внизу.

Будем считать, что материал подобластей однородный, изотропный, несжимаемый и выполняются гипотезы о подобии девиаторов напряжений и деформаций. Тогда свойства материала описываются функциями инвариантов:

(1)

Здесь – интенсивность скоростей сдвига, – интенсивность касательных напряжений, компоненты девиатора тензора скоростей деформации, – компоненты девиатора тензора напряжений, – первый инвариант тензора скоростей деформаций, – первый инвариант тензора напряжений, m – номер подобласти.

Предполагается, что поле скоростей и поле напряжений в пределах каждой подобласти непрерывны.

На внешней поверхности S области V заданы граничные условия:

на части поверхности заданы скорости ;

на части поверхности Sf заданы внешние усилия , где – компоненты вектора нормали к поверхности Sf ;

на части поверхности Ss задана сила трения , , – скорость скольжения, – единичный вектор в направлении скорости скольжения.

Звездочкой отмечены заданные функции.

Для поверхностей выполняются соотношения: и , .

В случае неоднородной области на поверхностях контакта подобластей рассматриваются два варианта. Первый: прилипание – скорости непрерывны, для усилий выполняются условия равновесия. Пусть соприкасаются подобласти с номерами p и q. Тогда выполняются соотношения

,

. (2)

Здесь – компонента скорости по нормали к поверхности подобласти, – касательная компонента скорости, – компонента усилия на нормаль к поверхности подобласти, – компонента усилия, касательная к поверхности подобласти .

Второй – скольжение поверхностей. Поверхность скольжения подобластей и обозначим . В этом случае нормальные компоненты скоростей совпадают, так как тело сплошное, для нормальных компонент усилий выполняются условия равновесия:

, . (3)

Разность касательных компонент скоростей равна скорости скольжения

, (4)

(номер в скобках совпадает с номером поверхности) разность касательных усилий определяется силой трения

, (5)

где единичный вектор, направленный параллельно скорости скольжения .

Для решения задачи используется вариационный принцип скоростей и напряжений [1, 2, 3]. Решение рассматриваемой краевой задачи может быть получено путем решения вариационного уравнения, записанного для произвольного фиксированного момента времени t, выражающего принцип виртуальных скоростей и напряжений. В случае неоднородной области имеет вид

(6)

где

.

Суммирование в ведется по парам скользящих поверхностей p и q.

Приближенное решение в произвольный момент времени t по предложенному методу следует искать с помощью принципа (6) в виде линейной комбинации функций координат

(7)

Здесь , система линейно-независимых функций лагранжевых координат. Функции выбраны так, что и являются виртуальными. Коэффициенты , – варьируемые при фиксированном t функции времени; (в правой части (6) по повторяющимся индексам i, j суммирование не производится).

После подстановки (7) в (6) и варьирования, уравнение (6) превратится в систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно , которую дополняем условиями непрерывности скоростей и равновесия (2) или (3, 4) и условиями трения (5).

Рассмотрим классическую задачу обработки металлов давлением – ковку параллелепипеда плоскими штампами, которая рассматривалась неоднократно в аналогичной постановке [1–4]. Схема задачи показана на рис. 1. Показаны также глобальные оси координат и локальные оси для третьей области.

Для простоты будем считать, что заготовка состоит из прямоугольных слоев размера постоянной толщины ( не зависит от y1, y2, но может меняться от слоя к слою). Предполагается, что в процессе обжатия все слои остаются прямоугольными, но могут деформироваться в усеченные пирамиды.

Пусть нижний штамп неподвижен, а верхний перемещается поступательно вниз со скоростью . Предполагается, что на контакте с инструментом превалирует зона скольжения Ss; зона прилипания SV, примыкающая к центру нижнего и верхнего оснований, практически отсутствует (). Предположим, что материал параллелепипеда обладает известными реономными свойствами, на контактной поверхности со штампами действует некоторый известный закон трения. Боковая поверхность параллелепипеда – это поверхность типа Sf, на которой .

Рис. 1. Схема напряженно-деформированного состояния при осадке многослойного параллелепипеда: 1 – верхний штамп; 2 – заготовка; 3 – нижний штамп

Расчеты проводились для модели материала, для которой функции (1) имеют вид

, . (8)

(бингамовский пластик).

Закон трения выбран по Зибелю [1,2]

. (9)

Очевидно, что закон трения (9) не зависит от скорости скольжения и не имеет обратной функции. В выражениях (8) и (9) известные величины: предел текучести при чистом сдвиге, коэффициенты «вязкости» и трения соответственно.

Будем предполагать, что физические координаты точек элемента имеют вид

(10)

Такое представление перемещений позволит учесть возникающую в процессе деформации бочкообразность изделия. Вектор перемещений связан с вектором соотношениями

После подстановки (7, 8, 10) в (6) и варьирования получим систему относительно <<gorskiv69.wmf>> переменных. Часть переменных связаны и их можно исключить из системы, понизив порядок.

Считаем, что перемешивания материала между слоями заготовки нет, и поэтому уравнение неразрывности выполняется для каждого слоя. В лагранжевых переменных уравнение неразрывности примет вид

,

(11)

Предполагается, что слои деформируются без проскальзывания. Боковая внешняя поверхность заготовки непрерывная (без уступов). Следовательно, на боковой грани должны выполнятся соотношения

Отсюда получаем связь переменных и

(12)

При деформировании заготовки слои не отделяются друг от друга. Поэтому должно выполняться равенство, связывающее переменные и

, ,

и (13)

Используя соотношения (12, 13) исключим из системы уравнений переменные

, , и .

Чтобы исключить переменные введем дополнительные переменные . Используя условие неразрывности (11) исключим из системы переменные , . Переменная сохраняется. В итоге вектор переменных будет содержать следующие неизвестные функции

,

всего неизвестных. В итоге получим нелинейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенную относительно старших производных, которую коротко можно записать в виде

Здесь – матрица коэффициентов при вторых производных, блочная. Блоки трех-диагональные.

В случае однородной среды типа (8) можно ввести относительное время по формуле

.

Очевидно, что при такой замене в модели будет только один существенный параметр – относительный коэффициент вязкости m. В случае неоднородной среды относительное время выберем из соотношения

,

где – максимальное значение , а – минимальное значение .

Рис. 2. Изменение параметров

Описанный алгоритм был опробован на модельном примере. Расчеты проводились при следующих начальных условиях:

(нижнее основание неподвижно)

,

где – заданная скорость бойка в момент касания.

Относительные значения параметров

, , .

Результаты решения представлены на рис. 2. Используется относительное время.

Такое соотношение параметров можно объяснить следующим образом: меняется меньше, чем , так как влияет сила трения на поверхности контакта с инструментом; изменение существенно меньше, так как сказываются силы инерции.

На рис. 3 тонкой линией показана исходная форма заготовки, жирной – форма после деформации. Пунктиром показано разделение заготовки на слои.

Рис 3. Изменение формы заготовки к моменту времени t=0,05 по сравнению с начальной формой

Рассмотренный вариант вариационного принципа скоростей и напряжений дает возможность учитывать неоднородность материала заготовки. Использованная форма представления перемещений позволяет учесть бочкообразность заготовки в процессе деформирования, что и продемонстрировано на примере расчета. Более точные расчеты могут быть выполнены с использованием более высокого порядка аппроксимации.

Библиографическая ссылка