Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,686

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УПРУГИХ ВОЛН НАПРЯЖЕНИЙ В БЕСКОНЕЧНОЙ ПОЛОСЕ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ПЛОСКОЙ ПРОДОЛЬНОЙ ВОЛНЫ В ВИДЕ ФУНКЦИИ ХЕВИСАЙДА

Мусаев В.К. 1
1 МГМУ
Рассмотрена некоторая информация моделирования упругих волн напряжений в бесконечной полосе при воздействии в виде функции Хевисайда. Поставленная задача решается с помощью численного моделирования нестационарных динамических уравнений математической теории упругости. Отраженные волны растяжения от свободной поверхности бесконечной полосы накладываются на падающие сжимающие напряжения. Интерференция прямых и отраженных волн приводит к нулевому напряженному состоянию в бесконечной полосе при воздействии ступенчатой функции. Для решения двумерной нестационарной динамической задачи математической теории упругости с начальными и граничными условиями используется метод конечных элементов в перемещениях. Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов. Применяется однородный алгоритм. С помощью метода конечных элементов в перемещениях, линейную задачу с начальными и граничными условиями приведена к линейной задаче Коши. Показаны компоненты нормальных напряжений в характерной области исследуемой задачи.
вычислительный эксперимент
нестационарные волны
численный метод
перемещение
скорость перемещений
ускорение
напряжение
теория упругости
краевая задача
задача с начальными условиями
задача Коши
методика
алгоритм
комплекс программ
однородный алгоритм
импульсное воздействие
функция Хевисайда
бесконечная полоса
отраженная растягивающая волна
падающая сжимающая волна
интерференция волн
наложение волн напряжений
1. Мусаев В.К. Численное моделирование динамического напряженного состояния сооружений уравнениями двумерной теории упругости и пластичности. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 01.02.04. – М.: Совинтервод, 1993. – 46 с.
2. Мусаев В.К. Математическое моделирование упругих волн напряжений в сложных деформируемых телах // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия проблемы комплексной безопасности. – 2007. – № 1. – С. 62–76.
3. Мусаев В.К. Об оценке достоверности и точности численного решения нестационарных динамических задач // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия проблемы комплексной безопасности. – 2007. – № 3. – С. 48–60.
4. Мусаев В.К. Оценка достоверности и точности результатов вычислительного эксперимента при решении задач нестационарной волновой теории упругости // Научный журнал проблем комплексной безопасности. – 2009. – № 1. – С. 55–80.
5. Musayev V.K. Modeling of non-stationary of stress waves in solid deformable bodies complex area // International Journal Of Applied And Fundamental Research. – 2014. – № 2; URL: www.science-sd.com/457-24639.
6. Мусаев В.К. О достоверности результатов математического моделирования нестационарных волн напряжений в объектах сложной формы // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. – 2014. – № 3. – С. 71–76.
7. Мусаев В.К. О достоверности компьютерного моделирования нестационарных упругих волн напряжений в деформируемых телах сложной формы // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2014. – № 11. – С. 10–14.
8. Мусаев В.К. Моделирование нестационарных упругих волн напряжений в деформируемых областях с помощью метода конечных элементов в перемещениях // Современные наукоемкие технологии. – 2014. – № 12 (1). – С. 28–32.
9. Мусаев В.К. Математическое моделирование поверхностных волн напряжений в задаче Лэмба при воздействии в виде дельта функции // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2015. – № 2 (часть 1). – С. 25–30.
10. Musayev V.K. Estimation of accuracy of the results of numerical simulation of unsteady wave of the stress in deformable objects of complex shape // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. – 2015. – Volume 11, Issue 1. – P. 135–146.

О численном методе, алгоритме и комплексе программ моделирования волн напряжений

Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости (рис. 1) имеют вид

mus01.wmf, mus02.wmf,

mus03.wmf,

mus04.wmf, mus05.wmf, (1)

где σx, σy и τxy – компоненты тензора упругих напряжений; εx, εy и γxy – компоненты тензора упругих деформаций; u и v – составляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно; ρ – плотность материала; mus06.wmf – скорость продольной упругой волны; mus07.wmf – скорость поперечной упругой волны; v – коэффициент Пуассона; Е – модуль упругости; mus08.wmf – граничный контур тела Г.

Систему (1) в области, занимаемой телом Г, следует интегрировать при начальных и граничных условиях.

musaev1.tif

Рис. 1. Некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат XOY

Принимая во внимание определение матриц и векторов для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости

mus09.wmf, mus10.wmf, mus11.wmf, (2)

где mus12.wmf – матрица инерции; mus13.wmf – матрица жесткости; mus14.wmf – вектор узловых упругих перемещений; mus15.wmf – вектор узловых упругих скоростей перемещений; mus16.wmf – вектор узловых упругих ускорений; mus17.wmf – вектор узловых упругих внешних сил.

Соотношение (2) система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями.

Для интегрирования уравнения (2) конечноэлементным вариантом метода Галеркина приведем его к следующему виду

mus18.wmf, mus19.wmf. (3)

Интегрируя по временной координате соотношение (3) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек

mus20.wmf,

mus21.wmf. (4)

Шаг по временной переменной mus22.wmf определяем из следующего соотношения

mus23.wmf mus24.wmf, (5)

где mus25.wmf – длина стороны конечного элемента; r – общее число конечных элементов.

Результаты численного эксперимента показали, что при k = 0,5 обеспечивается устойчивость явной схемы.

Разработанная методика позволяет решать задачи о взаимодействии сложных деформируемых тел с волновыми нагрузками. С помощью полученных разработок можно определять волны напряжений в деформируемых телах. На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны алгоритм и комплекс программ для решения линейных плоских двумерных задач, которые позволяют решать сложные задачи при нестационарных волновых воздействиях. При разработке комплекса программ использовался алгоритмический язык Фортран-90. Исследуемая область разбивается по пространственным переменным на треугольные конечные элементы с тремя узловыми точками с линейной аппроксимацией упругих перемещений и на прямоугольные конечные элементы с четырьмя узловыми точками с билинейной аппроксимацией упругих перемещений. По временной переменной исследуемая область разбивается на линейные конечные элементы с двумя узловыми точками с линейной аппроксимацией упругих перемещений.

Решение задачи о воздействии плоской продольной упругой волны в виде функции Хевисайда на бесконечную полосу

Некоторая информация о численном моделировании нестационарных волн напряжений в твердых деформируемых областях приведена в следующих работах [1–10].

musaev2.tif

Рис. 2. Постановка задачи о стоячих волнах в бесконечной полос

В работах [1–2, 4–6, 8, 10] приведена некоторая информация о физической достоверности и математической точности моделирования нестационарных волн напряжений в деформируемых телах с помощью рассматриваемого численного метода, алгоритма и комплекса программ.

Рассмотрим задачу о воздействии плоской продольной упругой волны в виде ступенчатого импульса (функция Хевисайда) на бесконечную полосу.

Расчеты проводились при следующих единицах измерения: килограмм-сила (кгс); сантиметр (см); секунда (с). Для перехода в другие единицы измерения было принято следующее допущение: 1 кгс/см2 ≈ 0,1 МПа.

musaev3.tif

Рис. 3. Нормальное напряжение mus26.wmf во времени 0 ≤ n ≤ 100 в точке B1

musaev4.tif

Рис. 4. Нормальное напряжение mus27.wmf во времени 0 ≤ n ≤ 500 в точке B1

musaev5.tif

Рис. 5. Нормальное напряжение mus28.wmf во времени 0 ≤ n ≤ 1990 в точке B1

musaev6.tif

Рис. 6. Нормальное напряжение mus29.wmf во времени 0 ≤ n ≤ 100 в точке B1

musaev7.tif

Рис. 7. Нормальное напряжение mus30.wmf во времени 0 ≤ n ≤ 500 в точке B1

musaev8.tif

Рис. 8. Нормальное напряжение mus31.wmf во времени 0 ≤ n ≤ 1990 в точке B1

На границе пластинки AB (рис. 2) приложено нормальное напряжение σy, которое при 0 ≤ n ≤ 3 mus32.wmf изменяется линейно от 0 до P, а при n ≥ 3 равно P (P = σ0, σ0 = – 0,1 МПа (– 1 кгс/см2)).

Граничные условия для контуров BC и AD при t > 0 mus33.wmf. Отраженные волны от контуров BC и AD не доходят до исследуемых точек. Контур CD свободен от нагрузок.

Исследуемая расчетная область имеет 4002 узловые точки. Решается система уравнений из 16008 неизвестных.

Для примера на рис. 3–5 представлено изменение нормального напряжения mus34.wmf (mus35.wmf) во времени n в точке B1. Для примера на рис. 6–8 представлено изменение нормального напряжения mus36.wmf (mus37.wmf) во времени n в точке B1.

Получены нормальные напряжения в характерной области бесконечной полосы. Отраженные растягивающие волны от свободной поверхности бесконечной полосы накладываются на сжимающие волны от импульса. Интерференция прямых и отраженных волн приводит к нулевому напряженному состоянию в бесконечной полосе при воздействии ступенчатой функции.


Библиографическая ссылка

Мусаев В.К. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УПРУГИХ ВОЛН НАПРЯЖЕНИЙ В БЕСКОНЕЧНОЙ ПОЛОСЕ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ПЛОСКОЙ ПРОДОЛЬНОЙ ВОЛНЫ В ВИДЕ ФУНКЦИИ ХЕВИСАЙДА // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2015. – № 12-3. – С. 427-430;
URL: http://applied-research.ru/ru/article/view?id=7947 (дата обращения: 16.07.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252