Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,618

ЗАДАЧА СИНТЕЗА АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ РЕЖИМОВ В МНОГОМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Полянина А.С. 1
1 Камышинский технологический институт (филиал) ФГБОУ ВО «Волгоградский государственный технический университет»
В статье рассматривается методика встраивания генераторов асимптотически устойчивых траекторий с участками, близкими к прямолинейным, в многомерные объекты управления. При этом обеспечивается устойчивость движения всей системы в целом и учитываются нелинейные свойства многомерного объекта управления произвольной структуры. Движение управляемой системы в этом случае будет описываться уравнениями объекта управления, уравнениями генератора асимптотически устойчивых траекторий и уравнениями связей. Уравнения объекта управления имеют форму дифференциально-алгебраических уравнений. Построены системы управления, в которых уравнения связей генератора программных траекторий с объектом управления представлены в виде голономных связей. Функция, задающая программное движение, является аналитической в пространстве состояний системы управления, асимптотически устойчивой и близка к программной траектории.
автоколебания
устойчивость
динамическая система
1. Банах Л.Я. Условия разбиения системы дифференциально-алгебраических уравнений на слабосвязанные подсистемы / Л.Я. Банах, А.С. Горобцов, О.К. Чесноков // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2006. – т. 46, № 12. – C. 2225–2229.
2. Горобцов А.С. Синтез интегральных поверхностей Ламе и стабилизация колебаний в их окрестностях / А.С.  Горобцов, Е.Н. Рыжов, А.С. Чурзина // Динамика сложных систем. – 2009. – Т. 3, № 1. – C. 59–62.
3. Горобцов А.С. Многофункциональные генераторы автоколебаний / А.С. Горобцов, Е.Н. Рыжов, А.С. Чурзина // Известия ВолгГТУ. – 2011. – вып. 11, № 9. – C. 19–22.
4. Shabana A.A. Dynamics of Multibody Systems / A.A.  Shabana // New York, NY, Cambridge Unniversity Press, 2005.

Существенный интерес в динамике машин представляют методы синтеза движений, обеспечивающих устойчивость системы, как в точке, так и на замкнутых траекториях различного вида.

Задача управляемости линейной системы в точке в смысле перевода ее из произвольного положения в нулевое решается в известной теореме Калмана об управляемости. Для нелинейных задач универсальных методов синтеза и анализа нелинейных систем не существует.

Cоздание методов синтеза управляемых режимов, обеспечивающих устойчивое движение по замкнутым траекториям с участками, близкими к прямолинейным, для многомерных систем является актуальным.

Рассмотрим математическую модель динамической системы, движение которой описывается уравнениями объекта управления, уравнениями генератора асимптотически устойчивых траекторий с участками, близкими к прямолинейным, и уравнениями связей.

Уравнения объекта управления имеют форму дифференциально-алгебраических уравнений [1]. Такая форма уравнений позволяет рассматривать динамику объектов различного вида – механических, электромеханических, гидромеханических и т.д. Для управляемых машин (роботов, манипуляторов) запись уравнения движения в данной форме позволяет решать задачу синтеза управляемого движения многомерных пространственных механических систем [4]. При решении задачи синтеза задается функция, описывающая программное движение отдельных точек системы. Для улучшения качества управления необходима разработка методов, в которых такая функция обладает следующими свойствами: является 1) аналитической в пространстве состояний системы, 2) была бы близка к программной траектории и 3) асимптотически устойчивой.

Движение некоторых точек механической системы произвольной структуры по заданным траекториям можно записать в виде системы уравнений вида

pol01.wmf

где pol02.wmf – вектор обобщенных координат управляемой системы (объекта управления), pol03.wmf – вектор обобщенных координат генератора системы, М – матрица инерции объекта управления, векторы pol04.wmf – внутренних сил объекта управления, pol05.wmf – правых частей генератора заданных траекторий, g(x) – геометрических связей внутри объекта управления, .. – связей между генератором и объектом управления (в общем случае неголономных, неинтегрируемых связей).

С учетом множителей Лагранжа и после двукратного дифференцирования уравнений связи, что необходимо для численного интегрирования, систему можно записать в виде

pol06.wmf

где матрицы Gx – переменных коэффициентов связей внутри объекта управления, pol07.wmf, pol08.wmf, pol09.wmf, pol10.wmf, pol11.wmf, pol12.wmf, pol13.wmf – переменных коэффициентов при множителях Лагранжа и их производных, векторы pol14.wmf, pol15.wmf – правых частей уравнения объекта управления и уравнения генератора; pol16.wmf, pol17.wmf – правых частей уравнений связей, p – множителей Лагранжа, соответствующий связям внутри объекта управления, p* – множителей Лагранжа, соответствующий связям между объектом управления и генератором траекторий.

Уравнения генератора программной траектории и уравнения связей могут иметь различный вид. В зависимости от этого можно выделить несколько случаев задания управляемого движения. Рассмотрим эти случаи.

1. Уравнения генератора записываются в виде дифференциальных уравнений второго порядка, и программная траектория определяется решением этих уравнений. В этом случае уравнения управляемой системы имеют вид

pol18.wmf (1)

g(x), pol19.wmf – векторы связей. Уравнения связей для этого случая задаются в виде равенства соответствующих координат (голономные связи). Для замыкания уравнений системы (1) введем множители Лагранжа с помощью соответствующих уравнений Эйлера для условия экстремума функционала, тогда система (1) запишется в виде

pol20.wmf (2)

где p* – вектор множителей Лагранжа, соответствующих связям с заданными программными траекториями; pol21.wmf – матрицы переменных коэффициентов связей точек; pol22.wmf – вектор правых частей уравнений связей после двукратного дифференцирования.

В качестве примера можно рассмотреть систему, где масса m принуждается двигаться по траектории, задаваемой гармоническим осциллятором. Уравнения (1) будут иметь вид

pol24.wmf (3)

А уравнения (2) –

pol23a.wmf (4)

Такие системы обычно решаются с помощью двукратного дифференцирования уравнения связи [1]. После чего ее можно разрешить относительно старших производных и множителя Лагранжа:

pol25.wmf (5)

При любых значениях m ≠ 0 управляемое движения x1 будет отличаться от программного движения x2. Указанного несоответствия можно избежать, умножив обе части второго уравнения системы (3) на некоторый параметр α.

Тогда система (5) примет вид

pol26.wmf

Очевидно, при достаточно больших значениях величины α решение уравнения будет стремиться к заданной траектории: координата x1 стремится к координате x2.

Уравнения генератора замкнутых траекторий сложной формы в виде второго уравнения системы (1) выписать сложно. В работах [2, 3] были описаны генераторы автоколебаний в форме дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрим возможность включения в управляемую систему таких уравнений генераторов.

2. Для согласования уравнений связей, т.е. чтобы уравнения связей оставались голономными или интегрируемыми неголономными, целесообразно генератор записывать в виде

pol27.wmf.

Для указанного типа связей задание траекторий генератора в форме pol28.wmfобеспечивает непрерывность функций, описывающих программную траекторию движения. Тогда уравнения связей с объектом управления можно представить

pol29.wmf

В этом случае уравнения управляемой системы будут иметь вид

pol30.wmf (6)

Уравнения Эйлера для системы (6) запишутся в виде

pol31.wmf (7)

В частности, примером системы (6) в случае движения массы m по заданной траектории является система

pol32.wmf (8)

где

pol33.wmf

pol34.wmf (9)

коэффициенты при переменных в (9) удовлетворяют соотношениям, полученным в работе [2]; а для системы (7) –

pol35.wmf (10)

Для сложных траекторий (9) предложенный в работе [2, 3] метод синтеза обеспечит непрерывность функций, описывающих программную траекторию, и асимптотическую устойчивость движения точки по заданному предельному циклу.

poljn1.tif

Рис. 1. Предельный цикл при α = 1

poljn2.tif

Рис. 2. Предельный цикл при α = 100

poljn3.tif

Рис. 3. Стабилизация в точку при α = 1

poljn4.tif

Рис. 4. Стабилизация в точку при α = 100

Разрешив относительно старших производных и множителя Лагранжа систему (10), получим

pol36.wmf

На рис. 1–4 представлены устойчивые предельные циклы и стабилизация в точку системы управления в подпространстве X1X3 в случае различных значений параметра α.

При увеличении α интегральная кривая выходит на заданный устойчивый режим; скорость pol37.wmf стремится к скорости pol38.wmf.

Таким образом, разработанная методика сопряжения дифференциальных уравнений генераторов нелинейных колебаний с дифференциально-алгебраическими уравнениями объекта управления позволяет реализовывать автоколебательные режимы движения звеньев объекта управления по замкнутым траекториям с участками, близкими к прямолинейным.


Библиографическая ссылка

Полянина А.С. ЗАДАЧА СИНТЕЗА АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ РЕЖИМОВ В МНОГОМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2015. – № 12-4. – С. 618-621;
URL: http://applied-research.ru/ru/article/view?id=7989 (дата обращения: 16.11.2018).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252