Научный журнал

Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955

ИФ РИНЦ = 0,593

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Мусаев В.К. 1

---

1 Московский государственный машиностроительный университет (МГМУ)

Рассматривается некоторая информация численного решения задачи о воздействии воздушной ударной волны на консоль (соотношение ширины к высоте один к десяти) с упругой полуплоскостью. Для решения поставленной задачи применяются уравнения нестационарной динамической теории упругости. Задача моделируется с учетом воздушной и твердой деформируемой сред. Приводится нормальное напряжение в характерной области консоли. Для решения двумерной нестационарной динамической задачи математической теории упругости с начальными и граничными условиями используем метод конечных элементов в перемещениях. Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов. Применяется однородный алгоритм. С помощью метода конечных элементов в перемещениях, линейную задачу с начальными и граничными условиями привели к линейной задаче Коши. Показано изменение упругого нормального напряжения в точках, находящихся в верхней области консоли.

Статья в формате PDF

1969 KB

численное решение

математическое моделирование

численный метод

алгоритм

комплекс программ

метод Мусаева В.К.

упругие волны

нестационарные волновые уравнения

динамика сплошных сред

распространение волн

консоль

упругая полуплоскость

воздушная ударная волна

воздушная деформируемая среда

твердая деформируемая среда

стоячие волны

волновая теория ударной безопасности

1. Мусаев В.К. Об оценке достоверности и точности численного решения нестационарных динамических задач // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия проблемы комплексной безопасности. – 2007. – № 3. – С. 48–60.

2. Мусаев В.К. Численное моделирование задачи об отражении плоских продольных волн напряжений в виде дельта функции от жесткой поверхности // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия проблемы комплексной безопасности. – 2008. – № 2. – С. 42–50.

3. Мусаев В.К. Численное, аналитическое и экспериментальное решение задачи о концентрации нестационарных динамических напряжений в свободном круглом отверстии // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия проблемы комплексной безопасности. – 2008. – № 4. – С. 67–71.

4. Мусаев В.К. О достоверности компьютерного моделирования нестационарных упругих волн напряжений в деформируемых телах сложной формы // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2014. – № 11. – С. 10–14.

5. Мусаев В.К. Моделирование нестационарных упругих волн напряжений в деформируемой среде на поверхности полуплоскости при взрывном воздействии в объекте хранения опасных веществ // Успехи современного естествознания. – 2015. – № 1 (часть 1). – С. 84–87.

6. Мусаев В.К. Оценка точности и достоверности численного моделирования при решении задач об отражении и интерференции нестационарных упругих волн напряжений // Успехи современного естествознания. – 2015. – № 1 (часть 7). – С. 1184–1187.

7. Мусаев В.К. Оценка точности и достоверности численного моделирования при решении задач об отражении и интерференции нестационарных упругих волн напряжений // Успехи современного естествознания. – 2015. – № 1 (часть 7). – С. 1184–1187.

8. Мусаев В.К. Решение задачи о распространении плоских продольных волн в виде импульсного воздействия // Международный журнал экспериментального образования. – 2015. – № 4 (часть 2). – С. 326–330.

9. Мусаев В.К. Исследования устойчивости явной двухслойной линейной конечноэлементной схемы для внутренних узловых точек на равномерной прямоугольной сетке // Современные наукоемкие технологии. – 2015. – № 5. – С. 39–42.

10. Мусаев В.К. Численное моделирование плоских продольных волн в виде импульсного воздействия (восходящая часть – четверть круга, средняя – горизонтальная, нисходящая – линейная) в упругой полуплоскости // Международный журнал экспериментального образования. – 2015. – № 11 (часть 2). – С. 222–226.

Для прогноза безопасности уникальных сооружений, находящихся в воздушной и твердой деформируемой среде, при волновых воздействиях применяется численное моделирование. На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны методика, алгоритм и комплекс программ для решения линейных двумерных плоских задач, которые позволяют решать сложные задачи при волновых воздействиях на сооружения. Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений. Матрица упругости выражена через скорость продольных волн, скорость поперечных волн и плотность.

Некоторая информация о моделировании нестационарных упругих волн напряжений в деформируемых областях с помощью рассматриваемого численного метода приведена в следующих работах [1–10].

Расчеты проводились при следующих единицах измерения: килограмм-сила (кгс); сантиметр (см); секунда (с). Для перехода в другие единицы измерения были приняты следующие допущения: 1 кгс/см2 ≈ ≈ 0,098 МПа; 1 кгс с2/см4 ≈ 0,98×10⁹ кг/м3.

В работах [1–4, 6–10] приведена информация о физической достоверности и математической точности применяемого численного метода, алгоритма и комплекса программ.

Рис. 1. Постановка задачи о воздействии воздушной ударной волны на консоль с упругой полуплоскостью (соотношение ширины к высоте консоли – один к десяти)

Рис. 2. Ударное воздействие для задачи о воздействии воздушной ударной волны на консоль с упругой полуплоскостью (соотношение ширины к высоте консоли – один к десяти)

Рассмотрим задачу о воздействии воздушной ударной волны (рис. 2) на консоль (соотношение ширины к высоте консоли – один к десяти) с упругой полуплоскостью (рис. 1).

На контуре ED приложено нормальное воздействие σx, которое при 0 ≤ n ≤ 10 () изменяется от 0 до P, а при 11 ≤ n ≤ 30 равно P и при 31 ≤ n ≤ 40 изменяется от P до 0 (P = σ0, σ0 = 0,098 МПа (1 кгс/см2)). Принято следующее допущение: 1 кгс/см2 ≈ 0,098 МПа. Граничные условия для контура при . Отраженные волны от контура не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 50. На границе приняты условия непрерывности перемещений.

Рис. 3. Точки B1–B10, в которых получены упругие напряжения во времени для задачи о воздействии воздушной ударной волны на консоль с упругой полуплоскостью (соотношение ширины к высоте консоли – один к десяти)

Для воздушной деформируемой среды ABCDEFGH приняты следующие исходные данные: ; ?t = 0,147×10^-4 с; Cp = 340 м/с; ρ = 1,2 кг/м3 (1,245×10^-9 кгс с2/см4). Принято следующее допущение: 1 кгс с2/см4 ≈ 0,98×10⁹ кг/м3.

Рис. 4. Изменение упругого нормального напряжения во времени t/?t в точке B1 (соотношение ширины к высоте консоли – один к десяти)

Рис. 5. Изменение упругого нормального напряжения во времени t/?t в точке B2 (соотношение ширины к высоте консоли – один к десяти)

Рис. 6. Изменение упругого нормального напряжения во времени t/?t в точке B3 (соотношение ширины к высоте консоли – один к десяти)

Для твердой деформируемой среды приняты следующие исходные данные: ; ?t = 9,263×10^-7 с; E = 6,958×10⁴ МПа (7,1×10⁵ кгс/см2); ν = 0,34; ρ = 2,7×10³ кг/м3 (2,755×10^-6 кгс с2/см4); Cp = 5398 м/с; Cs = 3078 м/с. Приняты следующие допущения: 1 кгс/см2 ≈ 0,098 МПа; 1 кгс с2/см4 ≈ 0,98×10⁹ кг/м3.

Рис. 7. Изменение упругого нормального напряжения во времени t/?t в точке B4 (соотношение ширины к высоте консоли – один к десяти)

Рис. 8. Изменение упругого нормального напряжения во времени t/?t в точке B5 (соотношение ширины к высоте консоли – один к десяти)

Рис. 9. Изменение упругого нормального напряжения во времени t/?t в точке B6 (соотношение ширины к высоте консоли – один к десяти)

В расчетах принимается минимальный шаг по времени, то есть ?t = 9,263×10^-7.

Исследуемая расчетная область имеет 4008004 узловых точек. Решается система уравнений из 16032016 неизвестных.

Рис. 10. Изменение упругого нормального напряжения во времени t/?t в точке B7 (соотношение ширины к высоте консоли – один к десяти)

Рис. 11. Изменение упругого нормального напряжения во времени t/?t в точке B8 (соотношение ширины к высоте консоли – один к десяти)

Рис. 12. Изменение упругого нормального напряжения во времени t/?t в точке B9 (соотношение ширины к высоте консоли – один к десяти)

На рис. 4–13 представлено изменение упругого нормального напряжения () во времени n в точках B1–B10 консоли (рис. 3).

Рис. 13. Изменение упругого нормального напряжения во времени t/?t в точке B10 (соотношение ширины к высоте консоли – один к десяти)

Выводы

1. Для прогноза безопасности объекта, находящегося в воздушной и твердой деформируемой среде, при волновых воздействиях применяется численное моделирование.

2. Разработаны методика, алгоритм и комплекс программ для решения линейных двумерных плоских задач, которые позволяют решать сложные задачи при волновых воздействиях.

3. Матрица упругости выражена через скорость продольных волн, скорость поперечных волн и плотность.

4. Исследуемая область разбивается по пространственным переменным на треугольные и прямоугольные конечные элементы первого порядка. По временной переменной исследуемая область разбивается на линейные конечные элементы первого порядка.

5. За основные неизвестные приняты два перемещения и две скорости перемещений в узле конечного элемента.

6. Линейная динамическая задача с начальными и граничными условиями в виде дифференциальных уравнений в частных производных приведена к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями, которая решается по явной двухслойной схеме.

7. Растягивающее упругое нормальное напряжение от точки B1 до точки B10 консоли изменяется от значения до значения . Сжимающее упругое нормальное напряжение от точки B1 до точки B10 консоли изменяется от значения до значения .

8. Полученные результаты можно оценить как первое приближение к решению сложной комплексной задачи о воздействии воздушной ударной волны на консоль с упругой полуплоскостью, с помощью численного моделирования волновых уравнений теории упругости.

Библиографическая ссылка