Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,570

КОЛЕБАНИЯ НЕКРУГОВЫХ МЕМБРАН

Агаларов Дж.Г. 1 Мамедова Г.А. 1 Агасиев С.Р. 2
1 Институт Математики и Механики НАН Азербайджана
2 Азербайджанский Архитектурно-Строительный Университет
Уравнения колебания мембран допускают классы частных решений отвечающие некруговым областям. Приведены решения соответственно различным закреплениям, в том числе для некруговой мембраны с двух сторон закрепленной, а с двух сторон свободной.
колебания
потенциал
частота
мембран
1. Власова Е.В. О собственных поперечных колебаниях изотропных прямоугольных пластик при наличии усилий в срединной плоскости. Наука и техн. простр. – 2010. – № 3. – С. 39–41.
2. Лопатин А.В., Деев П.О. Определение основной частоты колебаний прямоугольной трехслойной пластины с двумя свободными краями. Вестник Сиб. гос. аэрокост ун-та, 2011. – № 1. – С. 46–50.

К задачам уравнения колебаний приводят многие вопросы математической физики, представляющие теоретической интерес и имеющие большое прикладное значение.

Решён широкий круг задач для круговых и прямоугольных областей. Для областей, не являющихся таковыми применяются различные методы, в частности приводящие к интегральным уравнениям. Однако, последние служат для доказательства существования и единственности решения. В основном эти задачи решаются численными методами. Немалый интерес представляют простые решения задач для областей частного вида.

Ниже рассматривается движение мембраны это различных случаев закрепления.

Поперечные колебания тонкой плоской мембраны, которой сообщено равномерное напряжение, можно рассматривать аналогично колебаниям струны с тем лишь дополнением, что число независимых переменных, входящих в дифференциальное уравнение, будет теперь равно трём вместе двух [1, 2].

Уравнение движения мембраны имеет вид:

agal01.wmf

где U перемещение

В случае колебательного движения, т.е. agal03.wmf оно примет вид

agal04.wmf (1)

Аналогичные уравнения могут быть получены для потенциалов перемещений при плоском движением упругого тела.

Рассмотрим следующей класс частных решений уравнения (1)

agal05.wmf (2)

В случае α = β, приравняв U из (2) нулю, т.е.

agal06.wmf,

получим agal07.wmf, что отвечает закреплению мембран на квадратном контуре (рис. 1). Полагая

agal08.wmf,

получим

agal09.wmf (3)

выражение частоты для квадрата со стороной l, что известно из литературы.

Теперь рассмотрим случай α ≠ β. Приравняв U из (2) нулю, получим

agal10.wmf (4)

Что соответствуют закреплению мембран на участках ABC (рис. 2)

Пологая agal11.wmf, получим (3), т.е. частота не зависит от α и β (от угла поворота сторон ABC многоугольника). В частности, при α = 0 имеем прямоугольную мембрану, закрепленную с двух противоположных сторон.

Сравним частоту колебаний квадрата (3) с частотами выписанной и описанной окружностей, которые определяются из уравнения

agal12.wmf (5)

где J0 – функции Бесселя нулевого порядка.

Из (5) для первой частоты

agal13.wmf (6)

Мембраны некруговой формы могут использоваться в ограждениях, для перекрытия оконных проемов, в качестве парусов на судах и.т.

Здесь рассматриваются свободные колебания мембран, закрепленных с двух сторон при различных закреплениях; аналогичные задачи могут быть рассмотрены и для пластин.

Изменяя отношения agal14.wmf можно менять форму мембраны при agal15.wmf имеет место квадратная мембрана; при L = 0 имеет место прямоугольная мембрана с двух сторон закрепленная, а с двух других свободная.

agalar1a.tif

Рис. 1. K = 0; K = 0.2; K = 0.5; K = 1.5; K = 1.8; K = 1.9; L = 1

agalar2.tif

Рис. 2. K = 0; K = 0.2; K = 0.5; K = 1.5; K = 1.8; K = 1.9; L = 0.2

agalar3.tif

Рис. 3. K = 0; K = 0.2; K = 0.5; K = 1.5; K = 1.8; K = 1.9; L = 0.5

agalar4.tif

Рис. 4. K = 0; K = 0.2; K = 0.5; K = 1.5; K = 1.8; K = 1.9; L = 0.8

На рисунках показаны четыре варианта (L = β/α) мембран, закрепленных с двух сторон по криволинейным за исключением первой, границам. Две другие границы, прямолинейные свободны. Также на рисунках показаны линии уровня мембран для U = K. На рис. 1 представлена квадратная мембрана, решение для которой известно.

Рис. 1. соответствует L = 1, т с квадратной мембране, рис. 2 L = 0,2, рис. 3 L = 0,5, рис. 4 L = 0,8.


Библиографическая ссылка

Агаларов Дж.Г., Мамедова Г.А., Агасиев С.Р. КОЛЕБАНИЯ НЕКРУГОВЫХ МЕМБРАН // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2016. – № 6-2. – С. 199-201;
URL: http://applied-research.ru/ru/article/view?id=9580 (дата обращения: 14.10.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074