Журнал Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований 1996-3955 Общество с ограниченной ответственностью "Издательский Дом "Академия Естествознания" 10.17513/mjpfi.13789 ART-13789 Исследование поведения стохастической энтропии в системе клеточного автомата 2D и 3D размерности Клеммер П. С. Klemmer P. S. pavel.klemmer@mail.ru Рави Кумар Ravi Kumar Российская Федерация Шебанов В. В. Shebanov V. V. Российская Федерация Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Российский университет транспорта» Federal State Autonomous Educational Institution of Higher Education “Russian University of Transport” Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский технологический университет „МИСИС“» Federal State Autonomous Educational Institution of Higher Education “National University of Science and Technology MISIS” Частное образовательное учреждение высшего образования «Московский университет имени С. Ю. Витте» Private Educational Institution of Higher Education “Moscow University named after S. Yu. Witte” 13 02 2026 2 40 50 This is an open-access article distributed under the terms of the CC BY 4.0 license. https://applied-research.ru/ru/article/view?id=13789

В работе проведено сравнение динамики двух стохастических клеточных автоматов, двумерной на квадратной решетке 50×50 и на кубической 30×30×30. Плотность активных клеток в начале задается единой – 0,25. Каждый вариант модели запускался 50 раз, для верификации модели и усреднения результатов динамики. Для анализа использовались временные ряды числа живых клеток, энтропия Шеннона, ее производная и фазовые траектории, а также анализ кластерной структуры клеточного автомата. По результатам моделирования для двумерной модели клеточного автомата число живых клеток снижается с 722 до 112 (4,5 % площади), энтропия – с 0,866 до 0,255 бит (потеря 71 %), характерное время релаксации ~ 480 шагов. Коэффициент вариации энтропии на финальном участке 35,4 %. Фазовые траектории сходятся к точечному аттрактору за ~ 480 шагов. С другой стороны, в трехмерной модели клеточного автомата финальная численность – 6939 клеток (25,7 % объема), энтропия снижается до 0,822 бит (потеря 15 %). Это значение составляет 82,2 % от максимально возможной энтропии (1 бит) и соответствует высокой степени неопределенности микросостояний, сопоставимой со случайной конфигурацией. Коэффициент вариации энтропии – 1,17 %. Фазовые траектории не сходятся к точечному аттрактору; система демонстрирует метастабильное поведение с сохранением информационной насыщенности. Таким образом, в проведенной численной конфигурации 3D-модель демонстрирует иной режим динамики – метастабильную самоорганизацию с сохранением высокой энтропии, тогда как 2D-модель переходит в диссипативный режим упорядочения.

This study compares the dynamics of two stochastic cellular automata: a two-dimensional model on a 50×50 square lattice and a three-dimensional model on a 30×30×30 cubic lattice. The initial density of active cells is uniformly set to 0.25 in both cases. Each model variant was executed 50 times to ensure verification of the model and to obtain averaged dynamic characteristics. The analysis employs time series of living cell counts, Shannon entropy and its time derivative, phase trajectories, and an examination of the cluster structure of the cellular automaton. According to the simulation results, the two-dimensional cellular automaton exhibits a decline in the number of living cells from 722 to 112 (corresponding to 4.5 % of the total area). Entropy decreases from 0.866 to 0.255 bits, representing a 71 % loss, with a characteristic relaxation time of approximately 480 steps. The coefficient of variation of entropy over the final segment reaches 35.4 %. The phase trajectories converge toward a point attractor within roughly 480 steps. Conversely, in the three-dimensional cellular automaton, the final population stabilizes at 6939 cells (accounting for 25.7 % of the total volume). Entropy declines to 0.822 bits, corresponding to a loss of only 15 %. This value constitutes 82.2 % of the maximum possible entropy (1 bit) and indicates a high degree of microstate uncertainty comparable to that of a random configuration. The coefficient of variation of entropy is 1.17 %. The phase trajectories do not converge to a point attractor; instead, the system exhibits metastable behavior while preserving information saturation. Thus, in the numerical configuration considered, the 3D model exhibits a different dynamic regime – metastable self-organization with sustained high entropy – while the 2D model transitions to a dissipative ordering regime.

 клеточный автомат фазовая траектория кластерный анализ энтропия Шеннона глобальная энтропия коэффициент вариации локальная энтропия cellular automaton phase trajectory cluster analysis Shannon entropy variation coefficient global entropy local entropy

1. Ilachinski A. Cellular automata: a discrete universe. World Scientific Publishing Company, 2001. 808 р. URL: http://lib.ysu.am/disciplines_bk/10601885498bd77aa5069c30185beabd.pdf (дата обращения: 12.03.2026). ISBN 981-02-4623-4.

2. Wolfram S. A New Kind of Science. Champaign, IL: Wolfram Media, 2002. 1197 p. URL: https://horizons-2000.org/92. %20Misc %20Files/Reading/Wolfram %20- %20A %20New %20Kind %20of %20Science.pdf (дата обращения: 12.03.2026). ISBN 978-1-57955-008-0.

3. Rendell P. Turing Machine Universality of the Game of Life. Cham: Springer International Publishing, 2016. 182 p. DOI: 10.1007/978-3-319-19842-2. ISBN 978-3-319-19841-5.

4. Лобанов А.И. Модели клеточных автоматов // Компьютерные исследования и моделирование. 2010. Т. 2. № 3. С. 273–293. URL: http://crm.ics.org.ru/journal/article/1726/ (дата обращения: 20.03.2026). DOI: 10.20537/2076-7633-2010-2-3-273-293.

5. Матюшкин И.В. Клеточно-автоматные методы решения классических задач математической физики на гексагональной сетке. Ч. 1 // Компьютерные исследования и моделирование. 2017. Т. 9. № 2. С. 167–186. URL: http://crm.ics.org.ru/journal/article/2554/ (дата обращения: 20.03.2026). DOI: 10.20537/2076-7633-2017-9-2-167-186.

6. Матюшкин И.В. Клеточно-автоматные методы решения классических задач математической физики на гексагональной сетке. Ч. 2 // Компьютерные исследования и моделирование. 2017. Т. 9. № 4. С. 547–566. URL: http://crm.ics.org.ru/journal/article/2592/ (дата обращения: 20.03.2026). DOI: 10.20537/2076-7633-2017-9-4-547-566.

7. Матюшкин И.В., Заплетина М.А. Обзор по тематике клеточных автоматов на базе современных отечественных публикаций // Компьютерные исследования и моделирование. 2019. Т. 11. № 1. С. 9–57. URL: http://crm.ics.org.ru/journal/article/2764/ (дата обращения: 20.03.2026). DOI: 10.20537/2076-7633-2019-11-1-9-57.

8. Малинецкий Г.Г., Щадинский Д.М. Конструирование вычислительного устройства на основе игры «Жизнь» // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2019. № 143. С. 1–14. URL: https://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2019-143&lg=r (дата обращения: 20.03.2026). DOI: 10.20948/prepr-2019-143.

9. Lei Q., Lee J., Huang X., Kawasaki S. Entropy-Based Classification of Elementary Cellular Automata under Asynchronous Updating: An Experimental Study // Entropy. 2021. Vol. 23. Is. 2. Art. 209. DOI: 10.3390/e23020209.

10. Мокрецов Н.С., Татарникова Т.М. Самоорганизующиеся нейронные клеточные автоматы для обучения с подкреплением и эволюционного развития // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ». 2023. Т. 16. № 7. С. 68–75. URL: https://izv.etu.ru/ru/arhive/2023-t.-16/t.-16-n-7/68-75 (дата обращения: 20.03.2026). DOI: 10.32603/2071-8985-2023-16-7-68-75.

11. Шебанов В.В. Исследование поведения стохастической энтропии системы клеточного автомата от исходной конфигурации распределения живых клеток // Исследования молодых ученых: материалы XCIV Международной научной конференции (г. Казань, январь 2025 г.). Казань: Молодой ученый, 2025. С. 1–12. URL: https://moluch.ru/conf/stud/archive/528/18816 (дата обращения: 20.03.2026). EDN: SBNLTT.

12. Martinez G.J., Adamatzky A., Alonso-Sanz R. Designing complex dynamics in cellular automata with memory // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2013. Vol. 23. Art. 1330035. DOI: 10.1142/S0218127413300358.

13. Алешкин А.С., Обухова А.Г., Жуков Д.О. Математическое и программное обеспечение стохастических клеточных автоматов с памятью // Современные информационные технологии и ИТ-образование. 2017. Т. 13. № 2. С. 25–39. DOI: 10.25559/SITITO.2017.2.220. EDN: WXYHMS.

14. Pontes-Filho S. et al. A neuro-inspired general framework for the evolution of stochastic dynamical systems: Cellular automata, random Boolean networks and echo state networks towards criticality // Cognitive Neurodynamics. 2020. Vol. 14. Is. 5. P. 657–674. DOI: 10.1007/s11571-020-09600-x.

15. Шабунин А.В. Пространственная и временная динамика возникновения эпидемий в гибридной SIRS+V модели клеточных автоматов // Известия вузов. ПНД. 2023. Т. 31. Вып. 3. С. 271–285. DOI: 10.18500/0869-6632-003042. EDN: PBXBCY.

16. Bays C. A note about the discovery of many new rules for the Game of Three-Dimensional Life // Complex Systems. 2006. Vol. 16. P. 381–386. URL: https://content.wolfram.com/sites/13/2023/02/16-4-7.pdf (дата обращения: 12.05.2026). DOI: 10.25088/ComplexSystems.16.4.381.

17. Burguet D. Rescaled entropy of cellular automata // Nonlinearity. 2021. Vol. 34. Is. 7. Р. 4897–4922. DOI: 10.1088/1361-6544/abfeab.

18. Hartarsky I. Bootstrap Percolation, Probabilistic Cellular Automata and Sharpness // Journal of Statistical Physics. 2022. Vol. 187. Is. 3. Р. 21. DOI: 10.1007/s10955-022-02922-6.