Журнал Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований 1996-3955 Общество с ограниченной ответственностью "Издательский Дом "Академия Естествознания" 10.17513/mjpfi.13794 ART-13794 РОЛЬ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ В ДИНАМИКЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ КЛЕТОЧНЫХ АВТОМАТОВ С ЛОКАЛИЗОВАННЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ Клеммер П. С. Klemmer P. S. pavel.klemmer@mail.ru Шебанов В. В. Shebanov V. V. Российская Федерация Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Российский университет транспорта» Federal State Autonomous Educational Institution of Higher Education “Russian University of Transport” Частное образовательное учреждение высшего образования «Московский университет имени С. Ю. Витте» Private Educational Institution of Higher Education “Moscow University named after S. Yu. Witte” 08 03 2026 3 31 40 This is an open-access article distributed under the terms of the CC BY 4.0 license. https://applied-research.ru/ru/article/view?id=13794

В работе исследована динамика стохастических клеточных автоматов с асинхронным вероятностным обновлением в двумерной и трёхмерной пространственных решётках при локализованных начальных условиях. Целью работы являлось установление влияния размерности пространства и глобальной начальной плотности активных клеток (в диапазоне 0,10–0,25) на характер эволюции макроскопических характеристик – доли живых клеток и информационной энтропии Шеннона. Проведено численное моделирование ансамблей из 50 независимых реализаций для каждой конфигурации, выполнен анализ временных рядов, фазовых портретов в координатах (S, dS/dt) и траекторий в плоскости (ρ, S), вычислены времена релаксации, коэффициенты вариации и длины фазовых путей. Установлено, что трёхмерная система демонстрирует ускоренную релаксацию средней плотности к квазистационарному уровню (τ в 3D существенно меньше, чем в 2D) при сохранении высокой энтропии и незатухающих флуктуаций, формируя квазистационарный флуктуирующий режим. Двумерный автомат, напротив, проявляет диссипативный характер с монотонным снижением плотности и энтропии, высокой чувствительностью к стохастическим флуктуациям и сходимостью к точечному аттрактору. Выявленные различия объяснены топологическими особенностями границы начального очага и координационным числом решётки. Результаты подчёркивают фундаментальную роль пространственной размерности в процессах самоорганизации дискретных активных сред.

This study investigates the dynamics of stochastic cellular automata with asynchronous probabilistic updating on two‑ and three‑dimensional spatial lattices under localized initial conditions. The aim of the work was to determine how the spatial dimension and the global initial density of active cells (in the range of 0.10–0.25) affect the evolution of macroscopic characteristics – namely, the fraction of living cells and the Shannon information entropy. Numerical simulations were performed for ensembles of 50 independent realizations for each configuration. Time series, phase portraits in the coordinates (S, dS/dt), and trajectories in the (ρ, S) plane were analyzed; relaxation times, coefficients of variation, and phase‑path lengths were computed. It is found that the three‑dimensional system exhibits accelerated relaxation of the mean density to a quasi‑stationary level (τ in 3D is significantly smaller than in 2D) while maintaining high entropy and undamped fluctuations, thus forming a quasi‑stationary fluctuating regime. In contrast, the two‑dimensional automaton shows a dissipative nature with a monotonic decrease in density and entropy, high sensitivity to stochastic fluctuations, and convergence to a point attractor. The observed differences are explained by the topological features of the initial cluster boundary and the lattice coordination number. The results highlight the fundamental role of spatial dimensionality in the self‑organization of discrete active media.

 квазистационарное состояние самоорганизация клеточный автомат стохастическая энтропия Шеннона квазистационарность локализованные начальные условия фазовый портрет 2D/3D-моделирование quasi‑stationary state self‑organization cellular automaton Shannon stochastic entropy quasi‑stationarity localized initial conditions phase portrait 2D/3D modeling

1. Wolfram S. A New Kind of Science. Champaign, IL: Wolfram Media, 2002. 1197 p. URL: https://horizons-2000.org/92.%20Misc%20Files/Reading/Wolfram%20-%20A%20New%20Kind%20of%20Science.pdf (дата обращения: 12.03.2026). ISBN: 978-1-57955-008-0.

2. Ilachinski A. Cellular automata: a discrete universe. World Scientific Publishing Company, 2001. 808 р. URL: http://lib.ysu.am/disciplines_bk/10601885498bd77aa5069c30185beabd.pdf (дата обращения: 12.05.2026). ISBN: 981-02-4623-4.

3. Rendell P. Turing Machine Universality of the Game of Life. Cham: Springer International Publishing, 2016. 182 p. DOI: 10.1007/978-3-319-19842-2. ISBN: 978-3-319-19841-5.

4. Lei Q., Lee J., Huang X., Kawasaki S. Entropy-Based Classification of Elementary Cellular Automata under Asynchronous Updating: An Experimental Study // Entropy. 2021. Vol. 23. № 2. P. 209. DOI: 10.3390/e23020209.

5. Alfaro G., Sanjuán M. A. F. Classification of cellular automata based on the Hamming distance // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2024. Т. 34. № 8. DOI: 10.1063/5.0227349.

6. Лобанов А. И. Модели клеточных автоматов // Компьютерные исследования и моделирование. 2010. Т. 2. № 3. С. 273–293. DOI: 10.20537/2076-7633-2010-2-3-273-293. URL: https://crm.ics.org.ru/journal/article/1726 (дата обращения: 21.05.2026).

7. Матюшкин И. В. Клеточно-автоматные методы решения классических задач математической физики на гексагональной сетке. Ч. 1 // Компьютерные исследования и моделирование. 2017. Т. 9. № 2. С. 167–186. URL: http://crm.ics.org.ru/journal/article/2554/ (дата обращения: 20.05.2026). DOI: 10.20537/2076-7633-2017-9-2-167-186.

8. Матюшкин И. В. Клеточно-автоматные методы решения классических задач математической физики на гексагональной сетке. Ч. 2 // Компьютерные исследования и моделирование. 2017. Т. 9. № 4. С. 547–566. URL: http://crm.ics.org.ru/journal/article/2592/ (дата обращения: 20.05.2026). DOI: 10.20537/2076-7633-2017-9-4-547-566.

9. Матюшкин И. В., Заплетина М. А. Обзор по тематике клеточных автоматов на базе современных отечественных публикаций // Компьютерные исследования и моделирование. 2019. Т. 11. № 1. С. 9–57. URL: http://crm.ics.org.ru/journal/article/2764/ (дата обращения: 20.05.2026). DOI: 10.20537/2076-7633-2019-11-1-9-57.

10. Pomorski K., Kotula D. Thermodynamics in Stochastic Conway’s Game of Life // Condens. Matter 2023. Vоl. 8. № 2. Р. 47. DOI: 10.3390/condmat8020047.

11. Алешкин А. С., Обухова А. Г., Жуков Д. О. Математическое и программное обеспечение стохастических клеточных автоматов с памятью // Современные информационные технологии и ИТ-образование. 2017. Т. 13. № 2. С. 25–39. DOI: 10.25559/SITITO.2017.2.220.

12. Бандман О. Л. Режимы функционирования асинхронных клеточных автоматов, моделирующих нелинейную пространственную динамику // Прикладная дискретная математика. 2015. № 1 (27). С. 105–119. EDN: TOFAUV.

13. Клеммер П. С., Рави Кумар, Шебанов В. В. Исследование поведения стохастической энтропии в системе клеточного автомата 2d и 3d размерности // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2026. № 2. С. 40-50. URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=13789 (дата обращения: 21.05.2026). DOI: 10.17513/mjpfi.13789.

14. Саруханян С. К. Подход к численной оценке адекватности трехмерной клеточно-автоматной модели процесса диффузии вещества // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2025. Т. 50. № 1. С. 111–133. DOI: 10.26117/2079-6641-2025-50-1-111-133. EDN: BHWDOA.

15. Ершов Н. М., Попов А. М. Моделирование химических и биологических систем с помощью стохастических блочных клеточных автоматов с окрестностью Маркова // Computational nanotechnology. 2025. Т. 12. № 3. C. 31-40. DOI: 10.33693/2313-223X-2025-12-3-31-40.