Scientific journal
International Journal of Applied and fundamental research
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,593

THERMO MECHANICAL CONDITION OF A ROD FROM HEAT RESISTANCE ALLOY IN CASE OF IMPACT OF LOCAL TEMPERATURE AND SUPERFICIAL HEAT TRANSFER

Takishov А.А. 1 Kudaykulov А.K. 1 Tashev А.A. 2 Zhanseitova Z.K. 1 Arinov Е. 1
1 Zhezkazgan university named after O.A. Baykonurov
2 Institute of Information аnd Computing Technologies
1370 KB
On the basis of the fundamental law on energy conservation, the permitting system of the equations characterizing a thermo physical condition of the rod of limited length made of heat resistance alloy AHB-300 is constructed. At the same time the rod is under the influence of the point temperature and superficial heat transfer. For this material the coefficient of thermal expansion depends on temperature. The fields of temperatures constituting deformations and voltage are determined. The size of the arising axial force and temperature lengthening of a rod are calculated.
heat resistance alloys
convective heat transfer
point temperature
thermal conductivity
force
voltage
deformation

Рассмотрим стержень ограниченной длины L, см, площадь поперечного сечения которого F, см2, постоянна по ее длине. Стержень изготовлен из жаропрочного сплава АНВ-300. Значение коэффициента теплового расширение этого материала α, 1/ºC, строго зависит от значения температуры, т.е. ta001.wmf. Здесь ta002.wmf – поле распределения температуры по длине стержня, которое необходимо определить с учетом существующих граничных условий. Коэффициент теплопроводности материала стержня обозначим через Kxx, Вт/(см•ºC), а модуль упругости через Е, кГ/см2. Расчетная схема рассматриваемой задачи приводится на рис. 1.

tak1.tiff

Рис. 1. Расчетная схема рассматриваемой задачи

Предположим, что левый конец стержня жестко-защемлен и совпадает с началом координат. На этом конце задана температура ta003.wmf. Через площади боковой поверхности и поперечного сечения правого конца происходит теплообмен с окружающей средой. При этом температура окружающей среды Тос, ºC, коэффициент теплообмена h, Вт/(см•ºC) и ее значение также постоянна во всюду. Кроме того, на правом конце стержня приложена осевая растягивающая сила P, кГ. Требуется определить поле распределения температуры ta004.wmf по длине стержня с учетом наличия источника тепла и глобального теплообмена. Также необходимо вычислить удлинение стержня от теплового расширения и растягивающей силы Р.

Для этого сначала дискретизируем рассматриваемый стержень n элементами одинаковой длины. Каждый элемент рассмотрим как квадратный конечный элемент с тремя узлами. Тогда число всех узлов будет равно ЧУЗ=2n+1. Далее для каждого элемента напишем выражение функционала, которое характеризует полную тепловую энергию с учетом имеющихся граничных условий. В частности, для первого элемента такой функционал имеет следующий вид [1–3]:

ta006.wmf, (1)

где V1 – объем первого элемента; S1пбп – площадь боковой поверхности первого элемента. С учетом (3) для первого элемента имеем, что

ta007.wmf, ta008.wmf; (2)

ta009.wmf, ta010.wmf; (3)

где T1, T2 и T3 – значения температур в узлах первого элемента. При этом

ta011.wmf; ta012.wmf; ta013.wmf. (4)

Будем учитывать, что

ta014.wmf,

где F – площадь поперечного сечения рассматриваемого элемента стержня; ta015.wmf – длина элемента стержня;

ta016.wmf,

где P – периметр поперечного сечения, а также интеграла по площади поперечного сечения

ta017.wmf.

Тогда для первого элемента интегрированный вид функционала (1) имеет следующий вид:

ta018.wmf

ta019.wmf

ta021.wmf. (5)

Начиная со второго до (n–1)-го элемента выражение соответствующего функционала для каждого элемента имеет следующий интегрированный вид

ta022.wmf

ta023.wmf

ta024.wmf

ta025.wmf, ta026.wmf, (6)

где ta027.wmf – номер элемента; ta028.wmf; ta029.wmf; ta030.wmf и

ta031.wmf; ta032.wmf.

Наконец, для последнего n-го элемента выражение функционала, которое характеризует полную тепловую энергию имеет следующий интегрированный вид

ta034.wmf

ta035.wmf

ta036.wmf

ta037.wmf, (7)

где ta038.wmf; SLппc – площадь поперечного сечения правого конца стержня.

Тогда выражение функционала, которое характеризует полную тепловую энергию рассматриваемого стержня, в целом имеет следующий вид

ta039.wmf, (8)

Учитывая, что значение температуры в первом узле задано, т.е. ta040.wmf, минимизируя функционал (8) по узловым значениям температуры ta041.wmf построим следующую разрешающую систему линейных алгебраических уравнений

ta042.wmf, ta043.wmf. (9)

Решая последнею систему, находим значения температур в узлах элементов. Пользуясь соотношением (3), находим закон распределения поля температур в пределах каждого элемента, а по ним по длине рассматриваемого стержня в целом.

В работе [4] для жаропрочного тугоплавкого сплава приводится результаты натурного эксперимента по определению зависимости коэффициента теплового расширения от температуры в виде графиков. Эти данные в первом разделе приведены в табличной форме, в том числе и для сплава АНВ-300.

Из результатов натурного эксперимента работы [4] видно, что ta044.wmf меняется линейно в интервале температур

ta045.wmf; ta046.wmf; ta047.wmf;

ta048.wmf; ta049.wmf; ta050.wmf;

ta051.wmf; ta052.wmf.

Поэтому эти зависимости можно описать математически следующим образом

ta053.wmf (10)

Кроме того, известно (раздел 1), что поле распределение коэффициента теплового расширения для r-го элемента определяется (1.35), где ta054.wmf, ta055.wmf и ta056.wmf – узловые значения коэффициента теплового расширения в r-м элементе; ta057.wmf; ta058.wmf; ta059.wmf.

Тогда узловые значения α определяются исходя из закона распределения температуры в каждом элементе и с помощью соотношения (10). А величина удлинение r-того элемента определяется с помощью соотношения

ta060.wmf, (11)

где ta061.wmf – функция формы для r-го квадратичного элемента; ta062.wmf, Ti – узловые значения коэффициента теплового расширения и температуры r-го квадратичного элемента.

Тогда общее удлинение рассматриваемого стержня в целом от теплового расширения определяется следующим образом

ta063.wmf. (12)

На основе закона Гука удлинение рассматриваемого стержня от осевой растягивающей силы Р определяется следующим образом

ta064.wmf. (13)

Тогда величина общего удлинения рассматриваемого стержня будет

ta065.wmf. (14)

Для реализации вышеизложенного алгоритма примем за исходные данные следующее

Kxx=72 Вт/(см2•ºС); h=10 Вт/(см2•ºС);

ta066.wmf;

ta067.wmf;

ta068.wmf кГ/см2; ta069.wmf см; ta070.wmf;

ta071.wmf см.

Форма поперечного сечения рассматриваемого стержня является круг радиусом ta072.wmf см. Площадь поперечного сечения ta073.wmf (см2), а периметр ta074.wmf (см).

На рис. 2 приводится поле распределения температур по длине стержня при разных значениях T0, а в таблице приводятся значения ta075.wmf при разных значениях T0, т.е. зависимость между T0 и ta076.wmf, R, ta077.wmf. Из рис. 2 видно, что поле распределения температуры по длине стержня будет гладкой кривой. Графическая зависимость между величинами источника температуры T0 и соответствующего удлинение стержня ta078.wmf от теплового расширения приводится на рис. 3.

При T0 =100ºС, начиная с x=15,5 см, т.е. на участке ta079.wmf см наблюдается постоянная температура, значения, которого равна ta080.wmf. В этом случае из за теплового расширения стержень удлиняется на ta081.wmf см. Для сравнения, следует сказать, что это удлинение эквивалентно к удлинению стержня, если его растягивать силой ta082.wmf кГ. Естественно, на основе закона Гука в этом случае в сечении стержня возникало бы растягивающее напряжение величиной ta083.wmf кГ/см2.

При увеличении значения заданной температуры в два раза, т.е. при ta091.wmf на участке ta092.wmf, см, наблюдается 40°С поле температуры. В этом случае величина удлинение стержня составляет ta094.wmf см и будет больше на 17,657 % чем в случае T0 =100ºС. Эта величина удлинение эквивалентно к удлинению стержня находящейся по растягивающей нагрузкой R=3454 кГ. При этом растягивающее напряжение было бы =1100 кГ/см2. Если увеличить значение точечной температуры в три раза, т.е. при T0 =300ºС величина ta095.wmf см, что превышает на 37,857 % чем в случае T0 =100ºС. Также следует отметить, что в этом случае на участке ta096.wmf см стержня наблюдается постоянная температура близко к температуре окружающей стержня среды. В этом случае величина ta097.wmf эквивалентно к растяжению рассматриваемого стержня с силой R=4040 кГ. При этом значение растягивающего напряжения возникающих в сечениях составляло бы =1286 (кГ/см2). Следует отметить, что для обычных сталей это напряжение уже превышает предел пропорциональности.

tak2.tiff

Рис. 2. Поле распределение температуры по длине стержня при разных значениях T0

Зависимость между T0 и ta084.wmf, R, σ

п/п

ta085.wmf

ta086.wmf, см

Эквивалентная «растягивающая» сила R, кГ, при котором получилось бы такое удлинение

Эквивалентное «растягивающее напряжение» σ, кГ/см2

ta087.wmf, см, при

ta088.wmf

ta089.wmf

Относи-тельное

удлинение, %

ta090.wmf,

раз

1.

100

0,014

2930,66

933,33

0,0133

0,047

1,052

2.

200

0,0165

3454

1100

0,0152

0,055

1,085

3.

300

0,0193

4040,1

1286,66

0,0171

0,064

1,129

4.

400

0,02247

4703,72

1498

0,0190

0,075

1,183

5.

500

0,0259

5432,2

1730

0,0209

0,086

1,239

6.

600

0,0297

6217,2

1980

0,0228

0,1

1,303

7.

700

0,03388

7092,2

2258,66

0,0247

0,113

1,372

8.

800

0,038

7954,66

2533,33

0,0267

0,127

1,423

tak3.tiff

Рис. 3. Графическая зависимость между T0 и ta098.wmf

Теперь увеличивая значение T0 в четыре раза, т.е. при T0 =400 °C имеем, что ta099.wmf см. Это эквивалентно к удлинению стержня при ее растяжении силой, величина которого R=4703,72 кГ. В этом случае в сечениях стержня возникало бы растягивающее напряжение величиной ?=1498 (кГ/см2). Естественно для обычных сталей это напряжение считается разрушающей. При T0 =500°C значение ta100.wmf см. Это на 85 % больше чем аналогичное значение ta101.wmf при T0 =100°C. Здесь следует отметить, для того чтобы получить удлинение стержня в размере ta102.wmf см при ее растяжении необходимо было бы растянуть с силой R=5432,1 кГ. При этом в сечениях стержня появилось бы растягивающее напряжение =1730 (кГ/см2), которое является большим для обычных стальных конструкции. Необходимо отметить, что при T0 =600°C величина ta103.wmf см и она будет на 112,14 % больше чем ta104.wmf при T0 =100°C. Эквивалентная растягивающая сила было бы равно R=6217,2 кГ и соответствующее растягивающее напряжение будет равно =1980 кГ/см2. Интересно отметить, что при увеличение значение температуры T0 от T0 =100°C до T0 =600°C, значения ta105.wmf, R и σ увеличиваются одинаково на 112,14 %.