Scientific journal
International Journal of Applied and fundamental research
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,593

ANALYSIS OF THE FEASIBILITY OF REFINING THE MATHEMATICAL MODEL OF AERODYNAMIC DRAG WHEN OPTIMIZING THE CONTROL FOR INTO A LOW EARTH ORBIT OF A SMALL-SIZED SATELLITE WITH A HORIZONTAL LAUNCH

Mozzhorina T.Yu. 1 Rozhkov A.A. 1
1 Bauman Moscow State Technical University
In this paper, we solve the problem of optimal control of a single-stage horizontal-launch rocket during the launch of a small-sized satellite into a low Earth orbit with an improved model of aerodynamic drag. The dependence of the aerodynamic drag coefficient on the flight Mach number was assumed. Atmospheric parameters were chosen according to GOST of the International Standard Atmosphere (ISA). Optimization is based on the application of the Pontryagin maximum principle and numerical methods. The required fuel consumption to complete the task or the time to orbit was minimized, which is equivalent to a constant fuel consumption of jet engine. A numerical solution using the Pontryagin maximum principle was found by the shooting method. The results of the calculations were compared with the results of previous work, in which the assumption of a constant drag coefficient was made. These conclusions relate only to the implementation of a horizontal launch and with a high probability will not be valid when solving a similar problem during a vertical launch, since in this case the effect of aerodynamic drag in dense layers of the atmosphere will be much more significant.
optimal control
Pontryagin’s maximum principle
shooting method for solving boundary value problems
single-stage horizontal launch rocket
controlled thrust vector

Одним из вариантов выведения спутника на околоземную орбиту является горизонтальный старт, при котором ракета отделяется от самолета-носителя на некоторой высоте с дозвуковой скоростью, после чего происходит включение двигателей непосредственно самой ракеты. За счет этого возможно уменьшение стартовой массы ракеты-носителя и удешевление вывода на низкую околоземную орбиту небольших по размеру спутников. В работе [1] проводился численный эксперимент по оптимизации управления вектором тяги при упрощенной модели аэродинамического сопротивления: предполагался постоянным коэффициент аэродинамического сопротивления. Проведенные в настоящей работе расчеты отличаются уточненной моделью аэродинамического сопротивления. Предполагалось наличие аэродинамических рулей, позволяющих поддерживать нулевым угол атаки ракеты. Задача оптимизации управления вектором тяги была решена методом пристрелки с использованием принципа максимума Понтрягина. Расчет аэродинамического сопротивления проводился по формуле

missing image file,

где сх – коэффициент аэродинамического сопротивления, ρ – плотность воздуха, зависящая от высоты, missing image file – скорость полета, V – составляющая скорости, перпендикулярной радиусу Земли, U – составляющая скорости вдоль радиуса, S – характерная площадь летательного аппарата (в данной задаче площадь миделя ракеты). Зависимость сх = f(M) представлена в [2].

M = VΣ / a,

где M – число Маха полета, missing image file – скорость звука на заданной высоте, k = 1,4 – показатель адиабаты для воздуха, Rg – газовая постоянная для воздуха, TH – температура воздуха на заданной высоте в градусах Кельвина в соответствии с МСА. Изменение плотности воздуха и скорости звука по высоте моделируется в соответствии с [3].

Цель исследования – изменив алгоритм расчета аэродинамического сопротивления с учетом данных МСА и зависимости сх = f(M), решить задачу оптимизации управления углом действия вектора тяги, а также проанализировать полученные результаты в сравнении с данными [1].

Математические модели и численные методы

Метод оптимизации – принцип максимума Понтрягина, численный метод решения краевой задачи – метод пристрелки.

Критерий эффективности управления – минимум затрат топлива на выполнение миссии, что соответствует минимуму времени вывода ракеты на орбиту при постоянном расходе топлива. Функционал задачи оптимального управления имеет вид

missing image file.

Система уравнений движения в геоцентрической полярной системе координат:

missing image file,

где R – радиус ракеты при начале координат в центре Земли, м; V – тангенциальная скорость ракеты, м/с; U – радиальная скорость, м/с; φ– полярный угол, рад; P = JGT – тяга двигателя, Н; J – импульс ракетного двигателя, м/с; GT – расход топлива, кг/с; Xaer – сила аэродинамического сопротивления, Н; m – масса ракеты, кг; missing image file – ускорение свободного падения, м/с2, RЗ – радиус Земли, м; t – время, с, θ – управление, угол действия тяги (между осью ракеты и вектором тяги), рад, θrt – траекторный угол (между скоростью и перпендикуляром к местному радиусу), рад,

missing image file;

missing image file;

где S / m0 – площадь миделя ракеты, деленная на стартовую массу.

missing image file

Рис. 1. Зависимость коэффициента аэродинамического сопротивления от числа Маха полета при нулевом угле атаки

Функция Понтрягина имеет вид

missing image file,

где ψR , ψV , ψU , ψφ – сопряженные переменные. Здесь следует отметить, что в функции Понтрягина необходимо учитывать постоянную величину интегранта (единицу, стоящую под интегралом в выражении функционала), так как при решении методом пристрелки будет невязка по функции Понтрягина в конечный момент времени.

Оптимальное управление вектором тяги в соответствии с принципом максимума Понтрягина можно определить по максимуму функции Понтрягина при нелинейности ее по управлению из missing image file.

Продифференцировав функцию Понтрягина по управлению, получим для оптимального управления: missing image file.

Сопряженная система, соответствующая исходной системе уравнений движения:

missing image file

missing image file.

При условии зависимости коэффициента аэродинамического сопротивления от Маха полета, а следовательно, от тангенциальной и радиальной скорости, а также от температуры атмосферного воздуха и, соответственно, от высоты (радиуса) полета, необходимо получить частные производные сх по этим переменным:

missing image file

Следует отметить, что производные missing image file получены численным методом с использованием линейной интерполяции табличных данных МСА и кривой аэродинамического сопротивления, что приводит к разрывам производных в точках табличных значений. Таким образом, помимо поставленной задачи проводилось исследование на возможность использования линейной интерполяции некоторых переменных при использовании метода численного решения системы нелинейных алгебраических уравнений – метода Ньютона (используется как составная часть в методе пристрелки). Подобные действия не рекомендованы при использовании численных методов, основанных на линеаризации систем алгебраических уравнений и вычислении производных функций-невязок. Несмотря на это, удалось реализовать численный метод решения краевой задачи и добиться сходимости метода пристрелки.

Старт ракеты с самолета-носителя принимался на высоте 13000 м и горизонтальной скорости полета, соответствующей числу Маха М = 0,85. Радиальная составляющая скорости задавалась равной нулю. Удельный импульс двигателя принимался равным 2000 м/с.

Дополнив систему уравнений движения сопряженной системой, получим П-систему, которая представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений с краевыми условиями. Краевые условия:

R(0) = 6384000 м, R(T) = 6471000 м,

U(0) = U(T) = 0,

V(0) = 236,11 м/сек, φ(0) = 0,

V(T) = 7844,3 м/сек, ψφ(T) = 0.

Равенство нулю ψφ(T) вытекает из условий трансверсальности задачи оптимального управления. Методы решения задач оптимального управления рассмотрены в [4, 5]. В данной работе использовался метод пристрелки. Метод пристрелки или стрельбы дает наиболее точные результаты численного решения краевых задач [4]. Возможность решения реальных задач оптимального управления указанным методом, как для задач без ограничений по управлению, так и для задач с переключением управления, показана в [6, 7]. Метод пристрелки использует в качестве внешнего цикла модифицированный метод Ньютона, в качестве внутреннего, к которому обращается метод Ньютона, – численный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений: метод Рунге – Кутты 4-го порядка. Для более точного выхода из метода Рунге – Кутты был введен новый аргумент missing image file, где Т – неизвестное время вывода ракеты на орбиту. П-система получает изменения, связанные с ведением этого нового аргумента.

Параметры пристрелки для этого варианта расчета выбирались следующие:

missing image file

Им соответствуют невязки:

missing image file

missing image file

missing image file

Рис. 2. Значение относительных значений аэродинамического сопротивления при различных моделях определения сх

missing image file

Рис. 3. Оптимальный угол действия тяги двигателя (угол между осью летательного аппарата и вектором тяги)

missing image file

Рис. 4. Траекторный угол при оптимальном управлении

Выход из метода Ньютона осуществлялся по условию: missing image file

Результаты расчетов

На рис. 2 приведены относительные значения аэродинамического сопротивления, полученные в расчете с постоянным коэффициентом аэродинамического сопротивления (тонкая линия) и с уточненным значением, зависящим от числа Маха полета (толстая линия).

Относительная величина аэродинамического ускорения есть не что иное, как ускорение от сопротивления атмосферного воздуха. На рис. 3 и 4 приведены значения оптимального угла действия тяги и траекторного угла. Кривые на рис. 3 и 4 для проведенного расчета и выполненного в [1] практически совпадают. Это объясняется тем, что сила тяги превышает сопротивление воздуха более чем в 30 раз.

Заключение

Показано, что использование уточненной модели аэродинамического сопротивления при рассматриваемой постановке задачи не дает существенного изменения результатов оптимизации управления вектором тяги. При решении подобных задач вертикального старта результат может качественно измениться.

Полученные результаты по изменению величины аэродинамического сопротивления могут представлять интерес, например, для задач по исследованию нагрева носовой части ракеты, что не рассматривалось в данной работе. Следует отметить, что в математической модели не были учтены конструкторские ограничения, такие как допустимые углы поворота вектора тяги и прочностные ограничения.

Линейная интерполяция коэффициента аэродинамического сопротивления и температуры воздуха по высоте не повлияла на сходимость метода Ньютона, хотя и связана с возникновением разрывов производных этих величин.