Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,570

НЕСТАЦИОНАРНОЕ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ СТЕРЖНЯ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА, ТЕПЛООБМЕНА ПРИ НАЛИЧИИ БОКОВОЙ ТЕПЛОИЗОЛЯЦИИ

Такишов А.А. 1 Кудайкулов А.К. 1 Ташев А.А. 2 Темирбекова А.А. 1 Аринов Е. 1
1 АО «Жезказганский университет им. О.А. Байконурова»
2 Институт информационных и вычислительных технологий
Предметом исследования в данной работе являются постановка и вариационый подход решения нестационарной задачи распространения тепла в стержне при воздействии теплового потока и в условиях теплообмена. Результаты исследования показали, что вариационный метод и метод Галеркина при решении нестационарной задачи распространения тепла в стержне приводят к одинаковым системам линейных дифференциальных уравнений.
тепловой поток
метод Галеркина
вариационный метод
аппроксимация температур
теплоизоляция
1. Larry J. Segerlind. Applied Finite Element Analysis, 2nd Edition. 448 p., February 1985, 1984.
2. Bokhove O. and J.J.W. van der Vegt, Introduction to (dis)continuous Galerkin finite element methods, Department of Applied Mathematics, University of Twente, 2008.

Общая постановка и вариационый подход решения нестационарной задачи распространения тепла в стержне при воздействии теплового потока и в условиях теплообмена рассмотрены в [1]. Согласно этому подходу определяется аппроксимация температур T и вычисляется выражение

ta001.wmf, (1)

где ta002.wmf – часть тепла, которая уходит на повышение внутренней энергии; ta003.wmf – внутренние источники энергии; ta004.wmf – член, учитывающий нестационарность задачи; ta005.wmf – количество поступающего тепла; ta006.wmf – количества тепла, уходящего через поверхность стержня.

Здесь введены следующие обозначения:

q – тепловой поток (Bт/см2);

T – температура (0С);

S – площадь поперечного сечения стержня (см2);

ta007.wmf – температура окружающей среды (÷С);

λ=ρc – коэффициент температуропроводности (Bт/(см2•0С));

h – коэффициент теплоотдачи (Bт/(см2•λ=ρcС));

ta008.wmf – коэффициент теплопроводности материала (Bт/(см•0С));

Q – источник тепла внутри тела (Bт/(см•0С));

ρ – плотность (кг/см2);

c – удельная теплоемкость (Bт/(кг•0С)).

При линейной аппроксимации температуры T стержня длиной L с температурами на концах (Т1, Т2) имеем

ta009.wmf.

Откуда

ta010.wmf. (2)

Первое выражение (1) для стержня длиной 2L с температурами на концах (Т1, Т2) и в середине Т2 имеет вид

ta011.wmf. (3)

Выражение ta012.wmf для левого конца стержня:

ta013.wmf (4)

Поток тепла на правом конце стержня равен

ta014.wmf (5)

Так как боковая поверхность стержня не теплоизолирована, вычислим член ta015.wmf для двух интервалов:

ta016.wmf

ta017.wmf (6)

В нестационарном случае, подставляя производную T по t из (2) в соотношение ta018.wmf, получим

ta019.wmf

+ta020.wmf. (7)

Тогда выражение (1) можно записать в виде

ta021.wmf.

Определяя производные от I по T1, T2 и Т3 и приравнивая к нулю, получим систему дифференциальных уравнений:

ta022.wmf

ta023.wmf (8)

Рассмотрим теперь метод взвешенных невязок, а точнее, метод Галеркина.

Общее уравнение теплопроводности стержня имеет вид

ta024.wmf, (9)

при ограничениях

ta025.wmf=0. (10)

Решим уравнение (9) при ограничениях (10) методом Галеркина с использованием линейной аппроксимации температуры на двух интервалах ta026.wmf и ta027.wmf. Для первого интервала имеем

ta028.wmf, ta029.wmf=ta030.wmf, ta031.wmf. (11)

Согласно методу Галеркина [2] решение задачи (9) при ограничениях (10) должно удовлетворять уравнению:

ta032.wmfta033.wmf+ta034.wmf=0. (12)

Первый интеграл преобразуем следующим образом:

ta035.wmf=ta036.wmfta037.wmf. (13)

Вычислим второй интеграл выражения (13):

ta038.wmf=ta039.wmfta040.wmf=

=ta041.wmfta042.wmfta043.wmf=ta044.wmfta045.wmfta046.wmf. (14)

Вычислим первый интеграл выражения (13) с использованием формулы Остроградского-Гаусса. Имеем

ta047.wmf=ta048.wmf, (15)

где ta049.wmf – нормаль к поверхности.

Уравнение (15) для левого конца стержня, исходя из граничного условия

ta050.wmf=0, (16)

имеет вид

ta051.wmf=ta052.wmf=ta054.wmf. (17)

А на правом конце стержня, учитывая граничное условие

ta055.wmf=0, (18)

имеем

ta056.wmf=–hsta057.wmf+hsta058.wmf. (19)

Если тепло уходит через боковую поверхность, то граничное условие (18) имеет вид

ta059.wmf

ta060.wmf

ta061.wmf

ta062.wmf.

ta063.wmfta064.wmf. (20)

Вычислим третий член в уравнении (12).

ta065.wmfta066.wmfta067.wmf. (21)

Формулы (14), (17), (19)–(21) позволяют получить следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

ta068.wmfta069.wmf+ta070.wmfta071.wmfta072.wmfta073.wmf+

+ta074.wmfta075.wmfta076.wmf+ta077.wmf=0. (22)

Уравнение (14) можно преобразовать к виду

ta078.wmf

ta080.wmf

ta081.wmf.

Если возьмем два интервала, то для первого имеем

ta082.wmf

ta083.wmf

ta084.wmf,

а для второго интервала:

ta085.wmf

ta087.wmf

ta088.wmf.

Объединяя эти две системы линейных дифференциальных уравнений, получим (8).

Таким образом, вариационный подход и метод Галеркина при решении нестационарной задачи распространения тепла в стержне приводят к одинаковым системам дифференциальных уравнений и, следовательно, к одинаковым решениям.


Библиографическая ссылка

Такишов А.А., Кудайкулов А.К., Ташев А.А., Темирбекова А.А., Аринов Е. НЕСТАЦИОНАРНОЕ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ СТЕРЖНЯ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА, ТЕПЛООБМЕНА ПРИ НАЛИЧИИ БОКОВОЙ ТЕПЛОИЗОЛЯЦИИ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2017. – № 9. – С. 49-54;
URL: http://applied-research.ru/ru/article/view?id=11824 (дата обращения: 27.02.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074