Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,570

РАСЧЕТ СИНТЕЗИРОВАННОЙ ГОЛОГРАММЫ ФРЕНЕЛЯ

Жумалиев К.М. 1 Исманов Ю.Х. 1 Алымкулов С.А. 1
1 Институт физики им. академика Ж.Ж. Жээнбаева НАН Кыргызской Республики
Рассмотрена задача расчета световых полей в зоне Френеля. Показано, что в общем случае эта задача сводится к расчету трехмерного интеграла Кирхгофа. Однако так как аналитически эта задача практически не разрешима, то для расчета голограмм в указанной зоне предлагается использовать приближение, которое сводит интеграл Кирхгофа к преобразованию Френеля. Поэтому для расчета световых полей в так называемой средней зоне (зона Френеля) трехмерный интеграл Кирхгофа сводят к двумерному интегралу Френеля. В рассмотренной работе предлагается оптимальный метод такого перехода, позволяющий свести к минимуму возникающие при этом погрешности. Кроме того предложена схема дискретизации амплитудных и фазовых составляющих световой волны, что позволяет эффективно осуществлять дискретизацию интеграла Френеля. Также показано, что дискретное преобразование Френеля можно свести к дискретному преобразованию Фурье, что позволяет использовать алгоритмы быстрого преобразования Фурье при расчетах синтезированных голограмм Френеля. При синтезировании голограмм предполагалось, что объект описывается достаточно гладкой функцией | g1(x,y) |, которая представляет собой коэффициент отражения по интенсивности. Такая функция может быть восстановлена по ее точкам дискретизации посредством интерполирующей операции с помощью некоторой функции β(x, y).
синтез голограммы
амплитуда волны
фаза волны
дискретизация
голограмма Френеля
интерполяция
1. Yaroslavsky L. Introduction to Digital Holography. V. 1. Bentham E-book Series @Digital Signal Processing in Experimental Research». 2009. DOI: 10.2174/97816080507961090101.
2. Исмаилов Д.А., Исманов Ю.Х., Жумалиев К.М., Аккозов А.Д. Голографическая память на основе синтезированных голограмм // Проблемы современной науки и образования. 2016. № 17 (59). С. 6–9.
3. Исманов Ю.Х., Джаманкызов Н.К., Тынышова Т.Д., Алымкулов С.А. Восстановление бесщелевой радужной голограммы когерентной волной // Материалы VII Международной конференции по фотонике и информационной оптике: сборник научных трудов. М.: НИЯУ МИФИ, 2018. С. 596–597.
4. Исманов Ю.Х., Тынышова Т.Д., Алымкулов С.А. Использование приближения Френеля для расчета распределения светового поля, прошедшего свозь решетку // Вестник КГУСТА им. Н. Исанова. 2017. № 3 (57). С. 171–178.
5. Nehmetallah G., Banerjee P.P. Applications of digital and analog holography in three-dimensional imaging. Advances in Optics and Photonics. 2012. Vol. 4. Issue 4. P. 472–553. DOI: 10.1364/AOP.4.000472.
6. Kim Myung-K. Applications of Digital Holography in Biomedical Microscopy. Journal of the Optical Society of Korea. 2010. Vol. 14. Issue 2. P. 77–89.
7. Picart P. and Leval J. General theoretical formulation of image formation in digital Fresnel holography. Journal of the Optical Society of America A. 2008. Vol. 25. Issue 7. P. 1744–1761. DOI: 10.1364/JOSAA.25.001744.
8. Xue K., Yun-Da Q. L., and Wang Q. Continuous-wave terahertz in-line digital holography. Optics Letters. 2012. Vol. 37. Issue 15. P. 3228–3230. DOI: 10.1364/OL.37.003228.
9. Cho Hyung-Jun, Kim Doo-Cheol, Yu Young-Hun, Shin Sanghoon, and Jung Wongi Tilt Aberration Compensation Using Interference Patterns in Digital Holography. Journal of the Optical Society of Korea. 2009. Vol. 13. Issue 4. P. 451–455.
10. Jiang Z., Veetil S. P., Cheng J., Cheng L., Wang L., and Zhu J. High-resolution digital holography with the aid of coherent diffraction imaging. Optics Express. 2015. Vol. 23. Issue 16. P. 20916–20925. DOI: 10.1364/OE.23.020916.
11. Wang Z., Jiang Z., Chen Y. Single-shot dual-wavelength phase reconstruction in off-axis digital holography with polarization-multiplexing transmission. Applied Optics. 2016. Vol. 55. Issue 22. P. 6072–6078. DOI: 10.1364/AO.55.006072.
12. Zhao J., Jiang H., Di J. Recording and reconstruction of a color holographic image by using digital lensless Fourier transform holography. Optics Express. 2008. Vol. 16. Issue 4. P. 2514–2519. DOI: 10.1364/OE.16.002514.
13. Feng P., Wen X., Lu R. Long-working-distance synthetic aperture Fresnel off-axis digital holography. Optics Express. 2009. Vol. 17. Issue 7. P. 5473–5480. DOI: 10.1364/OE.17.005473.
14. Ismanov Y., Maripov A. Holographic Talbot Interferometer // Holography 2000, Vienna. Proceedings of SPIE. 2000. V. 4149. P. 213–220. DOI: 10.1117/12.402479.
15. Maripov A., Ismanov Y., Omyrzakov K. Four-channel wide-range holographic interferometer. Proceedings of SPIE (Munich). 2003. V. 5144. P. 606–610. DOI: 10.1117/12.501342.

Внешний вид любого объекта задают такие его характеристики, как его отражающие и рассеивающие свойства. Вид этих характеристик можно задать с помощью распределения коэффициентов отражения света, падающего на поверхность тела, по интенсивности G(x, y, z) и амплитуде g(x, y, z). Функциональная зависимость для амплитуды имеет вид

gumal03.wmf (1)

Модуль амплитудной составляющей gumal04.wmf и ее фазовая составляющая α задают фазовое изменение света, который падает после отражения от произвольной точки (x, y, z) рассматриваемого объекта. Функциональная связь между значениями G и g задается соотношением

gumal05.wmf (2)

где «*» представляет собой комплексно сопряженные величины.

Для распределения амплитуд и фаз светового поля вдоль поверхности исследуемого объекта можно записать следующее выражение gumal06.wmf. Распределение светового поля в этом случае для некоторой рассматриваемой поверхности задается в виде интегрального соотношения Кирхгофа

gumal07.wmf

Если выполняется условие

gumal08.wmf (3)

здесь φмакс – наибольшая величина угла, значение его задается в радианах, под которым виден объект с расстояния d, θ – некоторый коэффициент, задающий наибольшую фазовую ошибку, величина которой равна π/θ, то интегральное соотношение Кирхгофа можно преобразовать в интеграл Френеля [1–2]:

gumal09.wmf (4)

Соотношение (4) можно использовать для синтеза голограмм, которые так и называют – синтезированные голограммы Френеля.

Целью данной работы является рассмотрение процесса синтеза голограмм Френеля.

Дискретное представление голограммы Френеля

Рассмотрим дискретное представление голограммы Френеля:

gumal10.wmf (5)

Для ограниченного объекта (–Xмакс, Xмакс; –Yмакс, Yмакс), знание точек отсчета функции gumal11.wmf позволяет полностью ее восстановить методом интерполяции:

gumal12.wmf (6)

где

gumal13.wmf

Δξ = λd/2Xмакс, Δη = λd/2Yмакс. (7)

То есть функция F(ν, μ) полностью определена заданными точками отсчета [3–4]:

gumal14.wmf (8)

Подбор фазы может быть может быть осуществлен, например, путем освещения голограммы

gumal15.wmf (9)

волновым фронтом сферического вида с соответствующим радиусом кривизны

gumal16.wmf (10)

Посмотрим теперь, как найти отсчеты gumal17.wmf. Из (5) получаем

gumal18.wmf (11)

Объект можно описать зависимостью коэффициента отражения по интенсивности от координат точек поверхности gumal19.wmf. Точки дискретизации функции gumal20.wmf позволяют, так как функция достаточно гладкая, полностью ее восстановить методами интерполяции с помощью некоторой функции β(x, y) [5–7]:

gumal21.wmf, (12)

здесь Δx, Δy – шаги дискретизации вдоль координат x и y .

gumal22.wmf

gumal23.wmf (13)

здесь α1(x, y) – функция, пропорциональная фазовой составляющей отражающего коэффициента рассматриваемого объекта.

gumal24.wmf (14)

Добавим взаимно уничтожающие друг друга фазовые множители в дискретизированном виде, как под знак суммы, так и под знак интеграла в (13)

gumal25.wmf

gumal26.wmf

gumal27.wmf

gumal28.wmf (15)

Введем дополнительные условия:

gumal29.wmf gumal30.wmf (16)

Указанные дополнительные условия показывают, что погрешность в описании профиля объекта и отклонение формы волнового фронта от сферической формы были пренебрежительно малы, и потому можно было записать [8–10]

gumal31.wmf

gumal32.wmf

gumal33.wmf (17)

Интегральное соотношение в правой части (17) можно преобразовать следующим образом:

gumal34.wmf (18)

gumal35.wmf (19)

Сделав подстановку (18) и (19) в (15), получаем

gumal36.wmf (20)

Процесс суммирования по k и i в (20) осуществляется в пределах [–Xмакс/Δx, Xмакс/Δx] и [–Yмакс/Δy, Yмакс/Δy] соответственно.

gumal37.wmf можно определить как маскирующую функцию, так как вне пределов некоторого интервала по ν и μ она обращается в нуль. В случае интерполяции объекта в соответствии с теоремой отсчетов

gumal38.wmf (21)

Откуда

gumal39.wmf (22)

Из (22) можно видеть, что наибольшие значения r и s, для которых вычисляется сумма, задаются соотношениями [11–13]

gumal40.wmf (23)

Cогласно (7)

gumal41.wmf (24)

Таким образом, имеем

gumal42.wmf (25)

С целью устранения в (25) размерных величин, введем следующие обозначения:

gumal43.wmf (26)

Окончательно получаем

gumal44.wmf (27)

Соотношение (27) описывает дискретное преобразование Фурье. Вычисление такого преобразования требует помимо наличия матрицы g1(k, i), которая определяет распределение амплитуды света вблизи объекта, еще знание величин εν и εμ, которые задаются условиями (26) и характеризуют относительные размеры объекта, наблюдаемого из произвольной точки плоскости регистрации голограммы [14–15].

Как видно из сказанного, расчет синтезированной голограммы Френеля сводится к определению матрицы {F(r, s)} по матрице отсчетов объекта g1(k, i) и аналогового интерполирования полученных точек дискретизации в соответствии с (8)–(10).

Выводы

Трехмерная голография в самом общем случае описывается интегралом Кирхгофа. Расчет такого интеграла аналитически, даже в случае простейших объектов, задача достаточно сложная и чаще всего неразрешимая. Попытки решения интеграла численными методами приводят к алгоритмам, которые требуют огромного объема машинных ресурсов. Поэтому для расчета световых полей в так называемой средней зоне (зона Френеля) трехмерный интеграл Кирхгофа сводят к двумерному интегралу Френеля. В рассмотренной работе предлагается оптимальный метод такого перехода, позволяющий свести к минимуму возникающие при этом погрешности. Кроме того предложена схема дискретизации амплитудных и фазовых составляющих световой волны, что позволяет эффективно осуществлять дискретизацию интеграла Френеля. Также показано, что дискретное преобразование Френеля можно свести к дискретному преобразованию Фурье, что позволяет использовать алгоритмы быстрого преобразования Фурье при расчетах синтезированных голограмм Френеля.


Библиографическая ссылка

Жумалиев К.М., Исманов Ю.Х., Алымкулов С.А. РАСЧЕТ СИНТЕЗИРОВАННОЙ ГОЛОГРАММЫ ФРЕНЕЛЯ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2019. – № 8. – С. 130-134;
URL: http://applied-research.ru/ru/article/view?id=12839 (дата обращения: 30.03.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074