Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,686

НЕЧЕТКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО ФИНАНСИРОВАНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ, МАКСИМИЗИРУЮЩЕЙ ПОЛУЧАЕМЫЙ ПРЕДПРИЯТИЕМ ДОХОД

Шаталова А.Ю. 1 Лебедев К.А. 1
1 ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет»
Математическая формулировка целевой функции и ограничений в задачах оптимизации инвестиционных проектов обычно включает различные экономические показатели, значение которых зависят от многих факторов. Общим недостатком имеющихся показателей эффективности инвестиционных проектов является требование определенности входных данных, которая достигается путем применения средневзвешенных значений входных параметров, что, может привести к получению значительно смещенных точечных оценок показателей эффективности и риска инвестиционных проектов. Попытка сделать модель более представительной путем введения дополнительных связей делает ее громоздкой и аналитически неразрешимой.
инвестиционные проекты
линейное программирование
оптимизация
доход
анализ
1. Семенчин Е.А. Обобщенная математическая модель инвестирования предприятий с учетом рисков / Е.А. Семенчин, А.Ю. Шаталова // Фундаментальные исследования. – 2011. № 12 (часть 1). С. 228-232.
2. Семенчин Е.А. Математическая модель максимизации прибыли, получаемой банком за счет реализации инвестиционных проектов / Е.А. Семенчин, А.Ю. Шаталова / / Фундаментальные исследования. 2012. № 6 (часть 1). С. 258–262.
3. Семенчин Е.А. Инвестиционный портфель с переменным объемом фонда инвестирования / Е.А. Семенчин, А. Ю. Шаталова // Фундаментальные исследования. 2012. № 9. С. 739-744.
4. Фидлер М. Задачи линейной оптимизации с неточными данными // Фидлер М., Недома Й., Рамик Я., Рон И., Циммерманн К. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2008. 288 с.
5. Аньшин В.М. Применение теории нечётких множеств к задаче формирования портфеля проектов // В.М. Аньшин, И.В. Демкин, И.Н. Царьков, И.М. Никонов, 2013.
6. Чернов В.Г. Анализ инвестиционных проектов на основе нечетких множеств второго порядка // В.Г. Чернов, Ремезова Е.М., Соколова А. // Владимирский государственный университет, 2014.
7. Недосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций // А.О. Недосекин. Санкт-Петербург, 2002.

Очевидно, что требование детерминированности входных данных является неоправданным упрощением реальности, так любой инвестиционный проект характеризуется множеством факторов неопределенности [6].

Теория нечетких множеств позволяет более детально интерпретировать результаты наблюдений, полученных опытным путем, т.к. дает исследователю основания для анализа неоднородных и недостаточных выборок, которые классическая теория вероятности законно игнорирует [7].

В [4] предложен альтернативный подход, базирующийся на включении в модель описания экспертного понимания природы этих параметров в нечеткой форме. Автор предлагает рассматривать входящие параметры как нечеткие числа с соответствующим инструментарием их анализа.

Используя этот подход и описанную модель [1–3], в данной статье приводятся расчеты задачи оптимального финансирования инвестиционных проектов, позволяющей максимизировать получаемый предприятием доход с использованием параметров в форме нечетких множеств.

Задача оптимального финансирования инвестиционных проектов, позволяющая максимизировать получаемый предприятием доход

Дадим ряд определений, используемых в данной работе [4].

Опр. Нечеткое подмножество А множества Х – это семейство подмножеств f-m.eps где missing image file в [0,1], обладающее следующими свойствами:

1. А0 = Х обладающее следующими,

2. f-m1.eps, если missing image file,

3. f-m2.eps .

Нечеткое подмножество А множества Х называется нечетким множеством.

Нечёткое множество A задаётся посредством функции принадлежности. Значение есть число, лежащее между 0 и 1, показывающее степень принадлежности элемента x нечёткому множеству A [5].

Опр. Пусть missing image file – нечеткое подмножество из Х. Функция определяемая как missing image file, определяемая как:

missing image file,

называется функцией принадлежности, а ее значения missing image file степенью принадлежности х нечеткому множеству А.

Равенство missing image file означает, что x точно принадлежит множеству A; равенство missing image file говорит о том, что x точно не принадлежит множеству A. Т. о. нечёткие множества отличаются от обычных множеств тем, что допускают промежуточные степени принадлежности, например, missing image file.

Далее мы будем предполагать, что нечёткое множество A нормировано, т.е. существует такой элемент x, что missing image file.

Для любого числа α, 0<αmissing image file1 α-срезом нечёткого множества A называется подмножество missing image file. 1-срез называют ядром нечёткого множества A. Заметим, что нечёткое множество однозначно восстанавливается по своим срезам.

Когда X=R – множество вещественных чисел, говорят о нечётких числах. Для практических вычислений удобно работать с треугольными числами.

Пусть, а=(аL, аC, аR) – треугольное нечеткое число и аLCR, где аL – называется левым значением числа а, аC – средним, а аR – правым значением числа а. Тогда функция принадлежности задается выражением:

missing image file (1)

Примечание: любое действительное число можно представить в виде нечеткого, при условии, что аLCR

Нечёткие числа можно складывать, вычитать, умножать и делить, как и обычные числа [4]. Операции на нечётких числах определяются посредством следующего принципа расширения: Пусть missing image file– произвольная числовая функция, например, функция сложения missing image file. Тогда значение missing image file этой функции на нечётких числах A и B имеет функцию принадлежности, вычисляемую по следующей формуле:

missing image file

В этом случае α-срезы нечёткого множества C имеют вид:

missing image file

Применяя принцип расширения к арифметическим операциям и трапециевидным нечётким числам, мы получим следующие правила сложения и вычитания:

L, аC, аR)+ (bL, bC, bR)= (аL+ bL, аC+ bC, аR+ bR).

Рассмотрим случай, когда предприятие рассматривает различные инвестиционные проекты. Через 7 месяцев ему необходимо получить доход размером в 2 000 000 рублей, при этом возвратность кредита через 3 месяца должна составить 900 000 долларов [1-3]. Процент прибыли по каждому из проектов четко не определен и представим в виде треугольных нечетких чисел.

Задача состоит в том, чтобы найти стратегию максимизации величины ресурсов в конце данного семилетнего периода. Эта задача оптимального инвестирования может быть сформулирована как задача нечеткого линейного программирования с целевой функцией:

missing image file (2)

при ограничениях:

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file (3)

missing image file

missing image file

missing image file

где сi – нечеткий доход от i-го проекта, i=missing image file, в j-ом году, j=missing image file; aij – нечеткий доход/затраты от i-го проекта, i=missing image file, в j-ом году, j=missing image file; ui – нечеткая процентная ставка в j-ом году, j=missing image file; хi – мера участия в i-ом проекте, i=missing image file; pj – распределение ресурсов в j-ом году, j=missing image file; «+» – расширенное сложение [4]; «=» – отношение нечеткого равенства.

Будем предполагать, что рассмотренные параметры являются треугольными нечеткими числами следующего вида:

с1=(4,6,8), с2=(3,5,7), a11=(6,10,14),

a12=(3,6,9),

a21=(-4,-2,0),

a22=(1,2,3),

a31=(6,8,10),

a32=(6,12,18),

a41=(7,8,9),

a42=(6,10,14),

a51=(3,5,7),

a52=(8,9,10), a61=(6,11,16),

a62=(7,10,13),

a71=(6,8,10),

a72=(3,5,7),

u1=(0,001;0,002; 0,003), u2=(0,001;0,002; 0,003), u3=(0,001;0,003; 0,005), u4=(0,002;0,004; 0,006), u5=(0,001;0,004; 0,007),

u6=(0,003;0,004; 0,005).

Пусть missing image file, исключая случай missing image file, т.е. исключается ситуация, при которой инвестор не участвует ни в одном проекте.

По принципу расширения левые части ограничений (2), являются треугольными нечеткими числами следующего вида [4]:

f-m3.eps Применяя (1) вычислим функции принадлежности для missing image file:

f-m4.eps

f-m5.eps

Допустимое решение задачи нечеткого линейного программирования (3) является нечетким множеством, определенным функции принадлежности:

f-m6.eps

Используя методику [4] найдем допустимые решения задачи:

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file (4)

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

Удовлетворяющее решение будет иметь вид:

f-m7.eps

Чтобы найти max-удовлетворяющее решение это множество векторов х*=(missing image file), для которых выполняется условие (4).

Применение пакета Microsoft Office Solver позволило вычислить следующее оптимальное решение задачи (2)-(3).

Таким образом, формулировка задачи нечеткого линейного программирования позволяет находить оптимальное решение в условиях неопределенности параметров модели, а так же дает учитывать различные требования.

f-m8.eps


Библиографическая ссылка

Шаталова А.Ю., Лебедев К.А. НЕЧЕТКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО ФИНАНСИРОВАНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ, МАКСИМИЗИРУЮЩЕЙ ПОЛУЧАЕМЫЙ ПРЕДПРИЯТИЕМ ДОХОД // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2015. – № 9-1. – С. 35-38;
URL: http://applied-research.ru/ru/article/view?id=7434 (дата обращения: 21.08.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252