В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными теория локальных и нелокальных краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важнейших разделов, изучению которого посвящено немало публикаций. Это объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и приложениями в газовой динамике, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек в магнитной гидродинамике, в теории электронного рассеивания, в математической биологии. Важным этапом в теории краевых задач стали нелокальные задачи нового типа, названные задачами со смещением [7]. Они являются обобщением задачи Трикоми, содержат широкий класс корректных самосопряженных задач и имеют многомерные аналоги [1,4]. Эти задачи вызвали интерес многих авторов и были посвящены краевым задачам для уравнений различных типов с классическими операторами и операторами дробного в смысле Римана – Лиувилля дифференцирования в краевых условиях [1–5, 7–9]. Естественным обобщением этой теории явились внутреннекраевые задачи для уравнений смешанного типа. В данной работе исследуется внутреннекраевая задача для уравнения Геллерстедта.

Постановка задачи. Рассмотрим уравнение Геллерстедта

, (1)

где , в конечной области Ω, ограниченной жордановой кривой σ с концами в точках A(0,0), B(1,0), расположенной в полуплоскости и характеристиками AC, BC уравнения (1), выходящими из точки

.

Пусть Ω1 и Ω2 – эллиптическая и гиперболическая части смешанной области Ω.

Задача. Найти регулярное в области Ω решение U(x,y) уравнения (1), удовлетворяющее условиям

(2)

(3)

где a,b – вещественные числа, S – длина кривой σ, отсчитываемая от точки B; – точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки с характеристиками AC, BC соответственно; – заданные непрерывные функции, причем

,

.

, – операторы дробного в смысле Римана–Лиувилля интегро-дифференцирования [10].

Доказательство единственности решения задачи. Теорема. В области Ω не может существовать более одного решения задачи (1)–(3), если либо

(4)

и выполняются условия

(5)

(6)

либо

(7)

(8)

(9)

где , .

Теорему единственности можно доказать, предварительно доказав, что если U(x,y) является решением уравнения (1), удовлетворяющим однородным условиям (2), (3), то интеграл

не может быть отрицательным, где

.

В этом случае единственность решения задачи (1)-(3) будет сразу следовать из соотношений [1,7].

.

Покажем, что при выполнении условий теоремы . Удовлетворяя решение задачи Коши [1] условию (3) в результате преобразований получим

(10)

Пусть выполняются условия (7) – (9) теоремы единственности. Перепишем (10) в виде

(11)

где ,

, .

Докажем, что решение задачи (1) – (3) единственно. Для этого при (x)=0 покажем, что интеграл не может быть отрицательным. В самом деле,

.

Воспользуемся формулой [10] для функции :

. (12)

Полагая в ней , , получим

.

Отсюда поменяв порядок интегрирования, а затем, интегрируя по частям также как и ранее [3,8], получим

.

Очевидно, что при выполнении , , будет выполняться .

Пусть теперь выполняются условия (4) – (6) теоремы. Покажем, что и в этом случае . При выполнении условий (4) теоремы соотношение между и , принесенное из гиперболической части 2 области, будет иметь вид

, (13)

где

, ,

.

Рассмотрим интеграл

который с учетом обозначений

и формулы обращения [10] интегрального уравнения Абеля, а также (12) примет вид

.

Поменяв порядок интегрирования, в результате несложных преобразований будем иметь

С учетом (5), (6) и того, что , из последнего заключаем, что интеграл . Таким образом, при выполнении условий (4) – (6) или (7) – (9) теоремы единственности доказано, что

Отсюда заключаем единственность решения задачи.

Доказательство существования решения задачи. Переходя к доказательству существования решения задачи (1) – (3) относительно кривой σ будем предполагать, что 1) параметрические уравнения кривой σ, где s – длина дуги, отсчитываемая от точки B; функции x(s), y(s) имеют непрерывные производные x′(s), y′(s) на отрезке , необращающиеся одновременно в ноль; производные x″(s), y″(s) удовлетворяют условию Гельдера на [0, l], где l – длина σ; 2) в окрестности концов кривой σ выполнено условие

,

где с=const.

Покажем сначала, что решение задачи (1) – (3) существует в случае, когда выполнены условия (4) – (6). Для этого потребуем дополнительно

,

.

Фундаментальное соотношение между и , принесенное на J из эллиптической части Ω1 смешанной области Ω имеет вид

(14)

где свойства функций , , хорошо известны [1,7]. Исключив из (14) и (13) в результате замены получим сингулярное интегральное уравнение

(15)

где

;

.

Последнее с учетом обозначения примет вид

, (16)

где

, , ,

, .

Таким образом, задача (1) – (3) эквивалентна в смысле разрешимости сингулярному интегральному уравнению (16). Так как

,

то уравнение (16) нормального типа [6]. В соответствии с этим его решение может быть построено согласно общей теории [6]. Из свойств оператора R и функций, входящих в уравнение заключаем, что

.

По найденному можно определить из соотношения (13). Затем решение задачи (1) – (3) может быть найдено в области Ω2 как решение задачи Коши, а в области Ω1 по формуле

,

где – функция Грина задачи (1), (2), [1].

Существование решения задачи (1)–(3) при выполнении условий (7)–(8) теоремы доказывается также путем редукции к сингулярному интегральному уравнению, индекс которого равен нулю.