Научный журнал

Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955

ИФ РИНЦ = 0,556

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Расковалов А.А. 1 Баталов С.В. 1

---

1 Институт физики металлов им. М.Н. Михеева УрО РАН

В рамках модели Ландау-Лифшица для квазиодномерного ферромагнетика с анизотропией типа “легкая” ось исследуется генерация прецессирующих солитонов из начального локализованного импульса намагниченности. Представлены результаты численного моделирования. Согласно им, локализованное возмущение малой ширины не порождает солитона: в этом случае начальный импульс произвольной высоты расплывается на диспергирующие спиновые волны. С ростом ширины импульса из него пороговым образом зарождается неподвижный солитон, во всех точках которого намагниченность совершает круговую прецессию с одной и той же фазой. Численный эксперимент подкреплен аналитическим расчетом. На основе формализма обратной задачи рассеяния установлена связь физических характеристик солитонов с параметрами начального возмущения, что позволяет генерировать неподвижные солитоны с требуемыми свойствами.

Статья в формате PDF

1434 KB

ферромагнетик

солитоны

обратная задача рассеяния

модель Ландау-Лифшица

бризер

1. Косевич А.М., Иванов Б.А., Ковалев А.С. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. – Киев: Наукова Думка, 1983. – 189 с.

2. Борисов А.Б., Киселев В.В. Квазиодномерные магнитные солитоны. – М.: Физматлит, 2014. – 520 с.

3. Киселев В.В., Расковалов А.А. Солитоны электрической поляризации в мультиферроиках // ЖЭТФ. – 2016. – Т. 149, № 6. – С. 1260–1269.

4. Киселев В.В., Расковалов А.А. Солитоны электрической поляризации в мультиферроиках // ФТТ. – 2016. – Т. 58, № 3. – С. 485–489.

5. Kiselev V.V., Raskovalov A.A. Solitons and nonlinear waves in the spiral magnetic structures // Chaos, Solitons&Fractals. – 2016. – V. 84. – P. 88–103.

В ферромагнетике с анизотропией типа «легкая ось» нелинейная динамика намагниченности M (r, t) определяется уравнением Ландау–Лифшица [1–2]:

,

, (1)

где , – постоянные обменного взаимодействия и магнитной анизотропии вдоль выделенной оси ; γ – магнитомеханическое отношение, t – время. Далее рассматривается квазиодномерный ферромагнетик:

,

где x – пространственная координата.

С помощью масштабных преобразований:

, ,

уравнение (1) сводится к виду

, . (2)

«Штрихи» над новыми переменными далее опускаем.

Решение уравнения Ландау–Лифшица (2), описывающее простейший прецессирующий солитон на фоне однородного основного состояния легкоосного ферромагнетика, хорошо известно: оно впервые получено непосредственным интегрированием в классической монографии [1]. В книге [2] изложена процедура нахождения точных солитонных решений уравнения (2) на основе метода обратной задачи рассеяния. В основе метода лежит задача сопряжения матричных аналитических функций комплексного переменного.

В данной работе представлены результаты численного эксперимента по возбуждению солитонов в рассматриваемой модели из локализованного начального распределения намагниченности. В рамках формализма обратной задачи аналитически установлена связь физических характеристик солитонов с параметрами исходного распределения, что позволяет генерировать солитоны с требуемыми свойствами.

Основные соотношения. Уравнение (2) равносильно условию совместности вспомогательной линейной системы [2]:

(3)

Здесь – матрицы Паули, ψ – матрица , коэффициенты подчинены ограничению: . Удобно использовать параметризацию:

, .

Нас интересуют решения уравнения Ландау – Лифшица (2) с граничными условиями:

при . (4)

Условия (4) соответствуют однородному равновесному распределению намагниченности:

.

Им отвечают фундаментальные решения вспомогательной линейной системы (3) с асимптотическим поведением:

при , (5)

при ,

где

.

Множество Г={u : Im u = 0}, mod (2 π i) соответствует непрерывному спектру задачи (3), (5) [2]. На контуре Г фундаментальные решения Ψ_{1, 2}(u) имеют осциллирующее поведение. Они определены одновременно и связаны между собой матрицей перехода:

Матрица перехода T(u) унимодулярна (det T = 1) и не зависит от x [2]. Для нее справедливо представление

(6)

Прецессирующий солитон в легкоосном ферромагнетике. Для солитонных решений модели (2) коэффициенты , в то время, как a(u) и являются мероморфными функциями в u – плоскости. Простейший прецессирующий солитон параметризуется комплексным нулем функции . Соответствующее точное решение можно записать в виде:

(7)

где , , , и для краткости введены обозначения:

, , , , , .

Ширина области резкого изменения намагниченности солитона l0 , скорость его движения V, волновой вектор p прецессии намагниченности в области локализации солитона, частота ω прецессии в лабораторной системе отсчета и частота Ω в системе отсчета, связанной с солитоном, имеют вид

,

При этом выполняются тождества

,

позволяющие выразить все физические характеристики солитона через два параметра: p и l0.

Комплексный параметр ; , . Наиболее удобны для наблюдения неподвижные солитоны. Солитон (7) неподвижен в двух случаях: и . Случай следует считать выделенным. В центре такого солитона намагниченность не прецессирует и направлена в точности вдоль оси . При этом фазы вращения намагниченности левее и правее центра различаются на π [1, 2]. Это обстоятельство затрудняет его возбуждение.

При решение (7) принимает вид:

(8)

На всей протяженности солитона (8) фаза вращения намагниченности одна и та же. Компонента намагниченности S3 в центре солитона не достигает предельных значений ±1: (см. рис. 1).

Рис. 1. Компонета S3 и характер прецессии вектора S для неподвижного солитона (8)

Солитон (8) наиболее естественен: его проще всего возбудить в численном эксперименте.

Условие возбуждения неподвижного солитона. Формализм обратной задачи рассеяния позволяет получить условие возбуждения солитона (8). Зададим начальное возмущение в виде ступенчатого распределения намагниченности:

при ,

при , (9)

при .

Подобное распределение можно задать кратковременным включением внешнего магнитного поля вдоль направления ,

.

Параметр γ=const задает амплитуду намагниченности в перемагниченной области шириной .

Следуя той же схеме, что и в работах [3–5], запишем решение первого уравнения (3), соответствующее распределению намагниченности (9). Оно имеет вид

при ,

при ,

при ,

где

,

,

Постоянные матрицы С1, С2 находятся из условия непрерывности функции в точках .

Начальное возмущение (9) распадается на солитоны, только если элемент матрицы перехода (6) имеет нули в области своей аналитичности. В этом случае матрица T(u) не зависит от времени [2]. Потому, согласно (6), имеем:

. (10)

Из (10) следует, что требование обращения в нуль функции сводится к трансцендентному уравнению

(11)

Значения d, γ, при которых уравнение (11) имеет вещественный корень , , соответствуют условиям формирования неподвижного солитона (8). Величина ρ определяет физические характеристики такого солитона – его ширину, частоту пульсаций и отклонение намагниченности в его центре от равновесного значения . Выражение (11) дает качественную оценку зависимости ρ от параметров начального возмущения, близкую к результатам численного эксперимента.

Связь характеристик солитона с параметрами начального возмущения. Будем понимать под высотой начального импульса (9) h отклонение компоненты от равновесного значения +1:

.

На рис. 2, рис 3 приведены численные и аналитические зависимости . Жирные точки на рис. соответствуют данным численного эксперимента, сплошные линии построены по формуле (11).

Результаты численного счета говорят о том, что с изменением ширины d начального импульса при его фиксированной высоте h солитон (8) рождается из распределения (9) пороговым образом. Локализованное возмущение малой ширины не порождает солитона: при начальный импульс (8) произвольной высоты расплывается на диспергирующие спиновые волны. С ростом ширины возмущения (в интервале значений ) из начального импульса (9) формируется неподвижный солитон (8) с центром в его середине. Высота такого импульса может быть сколь угодно малой: в пределах погрешности счета не удалось обнаружить ее минимальное значение.

Изображенная на рис. 2 зависимость ρ от высоты начального возмущения при его фиксированной ширине почти линейна. При фиксированной высоте h величина ρ монотонно возрастает с ростом ширины начальной ступеньки, меняясь в пределах:

.

Задание начального импульса небольшой высоты () и значительной ширины () ведет к интересному результату. Тогда возмущение (9) сначала сужается до значения , сбрасывая излишек энергии в виде диспергирующих волн, а затем из него также формируется неподвижный солитон (8). В соответствии с этим, при больших зависимость

на рис. 3 становится пологой.

Рис. 2. Зависимость при значениях

Рис. 3. Зависимость при значениях

Заключение

Численное моделирование показывает, что при условии значение является порогом, по превышении которого (при ) начальное возмущение (9) порождает два одинаковых солитона (7), движущихся в противоположных направлениях. С дальнейшим увеличением ширины импульса d значение его высоты h, необходимое для формирования двух солитонных состояний, несколько снижается: так при два солитона формируются из начального возмущения высотой , что соответствует значениям .

Уравнение (11) не позволяет установить пороговое значение h , при котором рождаются два солитона (7). Вместе с тем, рис. 2, 3 убеждают нас, что полученная оценка (11) зависимости параметра ρ солитона (8) от высоты и ширины начального импульса находится в хорошем согласии с численным экспериментом и может быть использована для генерации неподвижных солитонов с требуемыми характеристиками.

В заключение заметим, что при формировании прецессирующих солитонов в легкоосном ферромагнетике энергия начального возмущения (9) перераспределяется между компонентами намагниченности. Это приводит к тому, что ни ширина d, ни проекция начального возмущения в области не совпадают с таковыми у результирующего солитона.

Авторы выражают благодарность В.В. Киселеву за обсуждение результатов работы и полезные замечания.

Работа выполнена в рамках проекта УрО РАН №15–8–2–7 «Локализованные структуры, солитоны и их возбуждение в конденсированных средах».

Библиографическая ссылка