Внешний вид любого объекта задают такие его характеристики, как его отражающие и рассеивающие свойства. Вид этих характеристик можно задать с помощью распределения коэффициентов отражения света, падающего на поверхность тела, по интенсивности G(x, y, z) и амплитуде g(x, y, z). Функциональная зависимость для амплитуды имеет вид

(1)

Модуль амплитудной составляющей и ее фазовая составляющая α задают фазовое изменение света, который падает после отражения от произвольной точки (x, y, z) рассматриваемого объекта. Функциональная связь между значениями G и g задается соотношением

(2)

где «*» представляет собой комплексно сопряженные величины.

Для распределения амплитуд и фаз светового поля вдоль поверхности исследуемого объекта можно записать следующее выражение . Распределение светового поля в этом случае для некоторой рассматриваемой поверхности задается в виде интегрального соотношения Кирхгофа

Если выполняется условие

(3)

здесь φ_макс – наибольшая величина угла, значение его задается в радианах, под которым виден объект с расстояния d, θ – некоторый коэффициент, задающий наибольшую фазовую ошибку, величина которой равна π/θ, то интегральное соотношение Кирхгофа можно преобразовать в интеграл Френеля [1–2]:

(4)

Соотношение (4) можно использовать для синтеза голограмм, которые так и называют – синтезированные голограммы Френеля.

Целью данной работы является рассмотрение процесса синтеза голограмм Френеля.

Дискретное представление голограммы Френеля

Рассмотрим дискретное представление голограммы Френеля:

(5)

Для ограниченного объекта (–Xмакс, Xмакс; –Yмакс, Yмакс), знание точек отсчета функции позволяет полностью ее восстановить методом интерполяции:

(6)

где

Δξ = λd/2Xмакс, Δη = λd/2Y_макс. (7)

То есть функция F(ν, μ) полностью определена заданными точками отсчета [3–4]:

(8)

Подбор фазы может быть может быть осуществлен, например, путем освещения голограммы

(9)

волновым фронтом сферического вида с соответствующим радиусом кривизны

(10)

Посмотрим теперь, как найти отсчеты . Из (5) получаем

(11)

Объект можно описать зависимостью коэффициента отражения по интенсивности от координат точек поверхности . Точки дискретизации функции позволяют, так как функция достаточно гладкая, полностью ее восстановить методами интерполяции с помощью некоторой функции β(x, y) [5–7]:

, (12)

здесь Δx, Δy – шаги дискретизации вдоль координат x и y .

(13)

здесь α1(x, y) – функция, пропорциональная фазовой составляющей отражающего коэффициента рассматриваемого объекта.

(14)

Добавим взаимно уничтожающие друг друга фазовые множители в дискретизированном виде, как под знак суммы, так и под знак интеграла в (13)

(15)

Введем дополнительные условия:

(16)

Указанные дополнительные условия показывают, что погрешность в описании профиля объекта и отклонение формы волнового фронта от сферической формы были пренебрежительно малы, и потому можно было записать [8–10]

(17)

Интегральное соотношение в правой части (17) можно преобразовать следующим образом:

(18)

(19)

Сделав подстановку (18) и (19) в (15), получаем

(20)

Процесс суммирования по k и i в (20) осуществляется в пределах [–Xмакс/Δx, X_макс/Δx] и [–Y_макс/Δy, Yмакс/Δy] соответственно.

можно определить как маскирующую функцию, так как вне пределов некоторого интервала по ν и μ она обращается в нуль. В случае интерполяции объекта в соответствии с теоремой отсчетов

(21)

Откуда

(22)

Из (22) можно видеть, что наибольшие значения r и s, для которых вычисляется сумма, задаются соотношениями [11–13]

(23)

Cогласно (7)

(24)

Таким образом, имеем

(25)

С целью устранения в (25) размерных величин, введем следующие обозначения:

(26)

Окончательно получаем

(27)

Соотношение (27) описывает дискретное преобразование Фурье. Вычисление такого преобразования требует помимо наличия матрицы g1(k, i), которая определяет распределение амплитуды света вблизи объекта, еще знание величин ε_ν и ε_μ, которые задаются условиями (26) и характеризуют относительные размеры объекта, наблюдаемого из произвольной точки плоскости регистрации голограммы [14–15].

Как видно из сказанного, расчет синтезированной голограммы Френеля сводится к определению матрицы {F(r, s)} по матрице отсчетов объекта g1(k, i) и аналогового интерполирования полученных точек дискретизации в соответствии с (8)–(10).

Выводы

Трехмерная голография в самом общем случае описывается интегралом Кирхгофа. Расчет такого интеграла аналитически, даже в случае простейших объектов, задача достаточно сложная и чаще всего неразрешимая. Попытки решения интеграла численными методами приводят к алгоритмам, которые требуют огромного объема машинных ресурсов. Поэтому для расчета световых полей в так называемой средней зоне (зона Френеля) трехмерный интеграл Кирхгофа сводят к двумерному интегралу Френеля. В рассмотренной работе предлагается оптимальный метод такого перехода, позволяющий свести к минимуму возникающие при этом погрешности. Кроме того предложена схема дискретизации амплитудных и фазовых составляющих световой волны, что позволяет эффективно осуществлять дискретизацию интеграла Френеля. Также показано, что дискретное преобразование Френеля можно свести к дискретному преобразованию Фурье, что позволяет использовать алгоритмы быстрого преобразования Фурье при расчетах синтезированных голограмм Френеля.