Интегральные уравнения Вольтерра очень широко применяются в задачах астрономии, биологии, экологии, электродинамики и механики [1]. С каждым днем все больше появляются новые области, где находят свои применения интегральные уравнения Вольтерра первого, второго и третьего родов. В работах А. Асанова, М. Иманалиева, С. Искандарова рассмотрены методы регуляризации, с помощью которых в теории интегральных уравнений Вольтерра первого и третьего родов доказывается существование и единственность решения [2, 3].

Интегральные уравнения Вольтерра первого рода являются некорректными задачами, и для их решения не могут быть применены стандартные методы, чтобы найти их решение, был использован метод приближенных решений, которые применяли в своих трудах В.О. Сергеев, Ж.А. Зулпукаров, Г.Б. Сапарова [4–6].

Материалы и методы исследования

В данной работе исследована система интегральных уравнений Вольтерра первого рода, в случае с двумя независимыми переменными, с помощью сингулярно-возмущенных уравнений методом регуляризации были доказаны существование и единственность решения данной системы.

Результаты исследования и их обсуждение

Рассматривается система

, (1)

где K(t,x,s) и N(t,x,s,z) – (nхn) – матрицы функции, а u(t,x) – искомая и f(t,x) – заданная n – мерные вектор-функции на G = {(t,x): 0 ≤ t ≤ T, 0 ≤ x ≤ X}, f(0,x) = 0 при

Введем норму, для nхn – матрицы A = (aij) следующим образом:

и для n–мерных векторов u = (u1,…,un) в виде .

Введем переменную

, (t,x)∈G, i = 1,2,…,n. (2)

Потребуем выполнение следующих условий:

а) , , и при (t,x)∈G, где N0 – const, λ(t,x) – определена с помощью формулы (2), ;

б) при t > τ для любых (t,x,s),(τ,x,s)∈G1 = {(t,x,s): 0 ≤ s ≤ t ≤ T; 0 ≤ x ≤ X; } справедливо

где 0<C – const;

в) при t > τ для любых (t,x,s,z),(τ,x,s,z)∈G2 = {(t,x,s,z): 0 ≤ s ≤ t ≤ T; 0 ≤ z ≤ x ≤ X} справедливо

где 0 < C1 – const и N(t,x,t,z) ≡ 0 при (t,x,z)∈G4 = {(t,x,z): 0 ≤ t ≤ T; 0 ≤ z ≤ x ≤ X};

Наряду с системой (1) рассмотрим систему

(3)

где 0 < ε – малый параметр.

Решение системы (3) будем искать в виде

, (t,x)∈G. (4)

Подставляя (4) в (3), имеем

(5)

Из (5) получаем следующую систему:

(6)

Резольвента матричного ядра имеет вид

, ε > 0, (7)

где X(t,x,y,s,ε) – матричная функция Коши системы единичная матрица.

Отметим следующие свойства матричной функции X(t,x,s,ε):

10. , (8)

где X –1(t,x,y,ε) – обратная матрица матрицы X(t,x,y,ε)

20. , (9)

. (10)

30. В силу неравенств Важевского и в силу условия а) имеет место

(11)

Далее, с помощью резольвенты R(t,x,y,s,ε),

Используя формулу Дирихле и учитывая (9), (10), последнюю преобразуем к следующему виду:

(12)

где

(13)

(14)

(15)

В дальнейшем используем следующие леммы.

Лемма 1. Пусть выполняются условия а), б), в) и г). Матричные функции H(t,x,s,ε), и N1(t,x,s,z,ε) определены соответственно с помощью формул (13) и (14). Тогда справедливы оценки

, , ε > 0, (16)

, , ε > 0, (17)

где

Доказательство. В силу условий а) – б) из (13) имеем

.

В этом случае в силу (11) для первого слагаемого имеем

.

Для второго слагаемого справедливо соотношение

Следовательно, лемма 1 доказана.

Аналогично этому можно получить оценки (17).

Лемма 2. Пусть функция F(t,x,ε) определена формулой (15). Если u(t,x)∈Сn(G); u(0,x)=0 при x∈[0,X] и при почти всех t∈[0,T], , t∈[0,T], , то справедлива оценка

(18)

где β∈(0,1), .

– обратная функция к , т.е. .

Доказательство. 1) Пусть . Тогда из (18) имеем

(19)

2) Если φ –1(εβ)≤ t ≤ Т, то

, (20)

. (21)

Учитывая (19), (20) и (21), из (15) получаем оценку (18).

Лемма 2 доказана.

В силу оценок (16), (17) и (18) из (12) получим

(22)

где (23)

.

На основе леммы 1 неравенство (22) перепишем в следующем виде:

Вместо положим выражение (23) и из последнего неравенства имеем

Это неравенство интегрируем и применим формулу Дирихле:

Затем, заменяя t на Т, получаем в виде

(24)

На последнюю (24) применим лемму 2, имеем

где .

Из последнего уравнением имеем

, (t,x,)∈G, (25)

где

.

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 1. Пусть выполняются условия а), б), в) и система (1) имеет непрерывное решение , при x∈[0,X] и при почти всех t∈[0,T]. Тогда решение системы (3) при ε→0 сходится к непрерывному решению системы (1) в области G и справедлива оценка (25).

Теорема 2. Пусть выполняются условия а), б), в), г) и при почти всех . Тогда решение системы (1) единственно в пространстве Сn(G).

Доказательство. Пусть однородная система

то есть система (1) при допускает ненулевое решение при (t,x)∈G. Последнюю систему перепишем в следующем виде:

(26)

Обе части системы (26) скалярно умножаем на вектор . Скалярное произведение обозначим символом . Умножая справа и слева, затем суммируя их, имеем

(27)

Отсюда, в силу условий теоремы, имеем

(28)

Далее, применяем формулу Дирихле и теорему о среднем и, деля обе части на и переходя к пределу при t → 0, получим

при x∈[0,X]. (29)

Из (1) при , (t,x)∈G, имеем при всех (t,x)∈G, ε > 0. Тогда в силу теоремы 1 имеем

при ε→0. Таким образом . Отсюда при всех (t,x)∈ G.

Теорема 2 доказана.