Абстрактная схема решения краевых задач применяется к исследованию существования обобщенных решений следующей краевой задачи:

в W, (1)

на Г, (2)

на Г, (3)

на s. (4)

Здесь W – ограниченная область пространства R3, обладающая липшицевой границей, состоящей из конечного числа гладких поверхностей; – вектор смещений, p – гидростатическое давление, – поле объемных сил; m – коэффициент Ламе; – система координат.

Обозначим через линейную совокупность всех соленоидальных полей, обращающихся в ноль в окрестности гладкой части S границы . Замыкание в этой совокупности обозначается через , а замыкание в через .

Задача о нахождении обобщенных решений поставленной задачи сводится к решению задачи Коши для операторного уравнения

,

где A – порождающий оператор гильбертовой пары .

Доказывается существование и единственность обобщенного решения задачи (1) – (4) о малых деформациях несжимаемой упругой среды под действием объемных сил , жестко закрепленной на части S границы и свободной от обобщенных напряжений на части Г. Доказывается, что при любом поле существует слабое решение задачи.