При изучении качественных свойств решений дифференциальных уравнений на группах Ли, часто возникает необходимость рассмотреть семейства операторов вида

,

где . Если функции удовлетворяют ряду свойств, то в совокупности операторов можно задать операцию коммутирования

,

которая вводит в совокупности структуру конечномерной алгебры Ли . Рассматривается случай, когда функции представляют собой многочлены переменных , степени не выше второй. Операторы имеют вид

+,

где , – константы. Из предположения, что операторы соответствуют базисным элементам трехмерной алгебры g, и с учетом стандартного соотношения определим трехмерную алгебру Ли дифференциальных операторов указанного вида с базисными операторами:

, , .

Можно проверить, что при любом значении коэффициента определено семейство алгебр Ли с коммутационными соотношениями:

, , .