При изучении качественных свойств решений дифференциальных уравнений на группах Ли, часто возникает необходимость рассмотреть семейства операторов вида
,
где . Если функции
удовлетворяют ряду свойств, то в совокупности операторов
можно задать операцию коммутирования
,
которая вводит в совокупности структуру конечномерной алгебры Ли . Рассматривается случай, когда функции
представляют собой многочлены переменных
,
степени не выше второй. Операторы имеют вид
+,
где ,
– константы. Из предположения, что операторы
соответствуют базисным элементам трехмерной алгебры g, и с учетом стандартного соотношения
определим трехмерную алгебру Ли дифференциальных операторов указанного вида с базисными операторами:
,
,
.
Можно проверить, что при любом значении коэффициента определено семейство алгебр Ли с коммутационными соотношениями:
,
,
.