Рассмотрим задачу Коши:

; (1)

(2)

где – функции в локально выпуклом пространстве – голоморфная в точке функция со значениями в E, A – попарно коммутирующие линейные непрерывные операторы в E.

Введем обозначения:

N0 – неотрицательные целые числа;

,

J – интегральный оператор,

Будем полагать, что абсолютно в и равномерно по x в некоторой окрестности нуля

;

При сделанных предположениях решение задачи (1) – (2) имеет вид

.