Волны напряжений различной природы, распространяясь, в деформируемом теле взаимодействуют, друг с другом, что приводит к образованию новых областей возмущений, перераспределению напряжений и деформаций.
После трехкратного или четырехкратного прохождения и отражения волн напряжений в теле процесс распространения возмущений становится установившимся, напряжения и деформации усредняются, тело находится в колебательном движении.
Расчеты проводились при следующих единицах измерения: килограмм-сила (кгс); сантиметр (см); секунда (с). Для перехода в другие единицы измерения были приняты следующие допущения: 1 кгс/см2 ≈ 0,1 МПа; 1 кгс с2/см4 ≈ 109 кг/м3.
Некоторая информация о моделировании нестационарных волн напряжений в деформируемых телах различной формы с помощью рассматриваемого численного метода, алгоритма и комплекса программ приведена в работах [1–10].
Приводится информация о численном моделировании нестационарных упругих плоских волн напряжений в упругой полуплоскости. Для решения поставленной задачи применяем метод конечных элементов в перемещениях.
Постановка задачи с начальными и граничными условиями
Для решения задачи о моделировании упругих нестационарных волн напряжений в деформируемых областях сложной формы рассмотрим некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат XOY, которому в начальный момент времени t = 0 сообщается механическое нестационарное импульсное воздействие.
Предположим, что тело Г изготовлено из однородного изотропного материала, подчиняющегося упругому закону Гука при малых упругих деформациях.
Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости имеют вид
, 
,
,
,
,
,
, 
, 
,
, (1)
где σx, σy и τxy – компоненты тензора упругих напряжений; εx, εy и γxy – компоненты тензора упругих деформаций; u и v – составляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно; ρ – плотность материала;
– скорость продольной упругой волны;
– скорость поперечной упругой волны;
ν – коэффициент Пуассона; E – модуль упругости; 
– граничный контур тела Г.
Систему (1) в области, занимаемой телом Г, следует интегрировать при начальных и граничных условиях.
Разработка методики и алгоритма
Для решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями (1) используем метод конечных элементов в перемещениях. Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов. Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений.
Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости
, 
, 
, (2)
где 
– диагональная матрица инерции; 
– матрица жесткости; 
– вектор узловых упругих перемещений; 
– вектор узловых упругих скоростей перемещений; 
– вектор узловых упругих ускорений; 
– вектор внешних узловых упругих сил.
Соотношение (2) система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями.
Таким образом, с помощью метода конечных элементов в перемещениях, линейную задачу с начальными и граничными условиями (1) привели к линейной задаче Коши (2).
Для интегрирования уравнения (2) конечноэлементным вариантом метода Галеркина приведем его к следующему виду
, 
. (3)
Интегрируя по временной координате соотношение (3) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек
,
, (4)
где Δt – шаг по временной координате.
Основные соотношения метода конечных элементов в перемещениях получены с помощью принципа возможных перемещений и конечноэлементного варианта метода Галеркина.
Общая теория численных уравнений математической физики требует для этого наложение определенных условий на отношение шагов по временной координате Δt и по пространственным координатам, а именно
, (5)
где Δl – длина стороны конечного элемента.
Для исследуемой области, состоящей из материалов с разными физическими свойствами, выбирается минимальный шаг по временной координате (5).
В работах [1, 6, 8–10] приведена информация о физической достоверности и математической точности моделирования нестационарных волн напряжений в деформируемых телах с помощью рассматриваемого численного метода, алгоритма и комплекса.
Численное моделирование импульсного воздействия в упругой полуплоскости
Рассмотрим задачу о воздействии плоской продольной волны в виде дельта функции (рис. 2) на упругую полуплоскость (рис. 1).
На границе полуплоскости AB приложено нормальное напряжение σy, которое при 0 ≤ n ≤ 10 (n = t/Δt) изменяется линейно от 0 до P, а при 10 ≤ n ≤ 20 от P до 0 (P = σ0, σ0 = – 0,1 МПа (– 1 кгс/см2)). Граничные условия для контура BCDA при t > 0 
. Отраженные волны от контура BCDA не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 100. Расчеты проведены при следующих исходных данных: H = Δx = Δy; Δt = 1,393•10-6 с; E = 3,15•104 МПа (3,15•105 кгс/см2); ν = 0,2; ρ = 0,255•104 кг/м3 (0,255•10-5 кгс•с2/см4); Cp = 3587 м/с; Cs = 2269 м/с. Решается система уравнений из 59048 неизвестных.
Рис. 1. Постановка задачи о распространении плоских продольных нестационарных упругих волн в полуплоскости
Рис. 2. Воздействие в виде дельта функции (треугольный импульс)
На рис. 3-6 представлено изменение нормального напряжения 
(
) во времени n в точках B1–B4: 1 – численное решение; 2 – аналитическое решение.
Рис. 3. Изменение упругого нормального напряжения 
во времени t/Δt в точке B1: 1 – численное решение; 2 – аналитическое решение
Рис. 4. Изменение упругого нормального напряжения 
во времени t/Δt в точке B2: 1 – численное решение; 2 – аналитическое решение
Рис. 5. Изменение упругого нормального напряжения 
во времени t/Δt в точке B3: 1 – численное решение; 2 – аналитическое решение
Рис. 6. Изменение упругого нормального напряжения 
во времени t/Δt в точке B4: 1 – численное решение; 2 – аналитическое решение
В данном случае можно использовать условия на фронте плоской волны. Предположим, что от некоторых точек упругой среды производится какое-то возмущение. Тогда из этих точек во все стороны начинают излучаться волны. На некотором расстоянии от центра возмущения рассматриваемые волны можно представить как плоские. Тогда все частицы движутся параллельно направлению распространения волны. Такие волны принято считать плоскими. На фронте плоской продольной волны имеется следующая аналитическая зависимость для плоского напряженного состояния 
. Отсюда видим, что точное решение задачи соответствует воздействию σ0 (рис. 2). Для нормального напряжения σy имеется хорошее качественное и количественное совпадение с результатом аналитического решения. На основании проведенных исследований можно сделать вывод о физической достоверности результатов численного решения задач при распространении нестационарных упругих волн в деформируемых телах.
Сравнение результатов нормальных напряжений, полученных с помощью метода конечных элементов в перемещениях, при решении задачи о распространении плоских продольных нестационарных упругих волн в полуплоскости с результатами аналитического решения, показало хорошее совпадение.