Рассматриваются вопросы численного моделирования сейсмического воздействия на надземный нефтепровод с основанием в виде полуплоскости.
Поставленная задача решается с помощью численного моделирования уравнений нестационарной математической теории упругости.
В работах [1–10] приведена информация о моделировании нестационарных волн напряжений в деформируемых телах сложной формы с помощью рассматриваемого численного метода, алгоритма и комплекса программ.
Постановка волновой задачи с начальными и граничными условиями
Для решения задачи о моделировании упругих нестационарных волн напряжений в деформируемых областях сложной формы рассмотрим некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат XOY, которому в начальный момент времени t=0 сообщается механическое нестационарное импульсное воздействие.
Предположим, что тело Г изготовлено из однородного изотропного материала, подчиняющегося упругому закону Гука при малых упругих деформациях.
Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости имеют вид
, 
,
,
,
, 
,
, 
, 
,
, (1)
где 
, 
и 
– компоненты тензора упругих напряжений; 
, 
и 
– компоненты тензора упругих деформаций; u и v – составляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно; 
– плотность материала; 
– скорость продольной упругой волны; 
– скорость поперечной упругой волны; 
– коэффициент Пуассона; E – модуль упругости; 
– граничный контур тела Г.
Систему (1) в области, занимаемой телом Г, следует интегрировать при начальных и граничных условиях.
Разработка методики и алгоритма
Для решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями (1) используем метод конечных элементов в перемещениях. Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов. Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений.
Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости
, 
,
, (2)
где 
– диагональная матрица инерции; 
– матрица жесткости; 
– вектор узловых упругих перемещений; 
– вектор узловых упругих скоростей перемещений; 
– вектор узловых упругих ускорений; 
– вектор внешних узловых упругих сил.
Соотношение (2) система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями.
Таким образом, с помощью метода конечных элементов в перемещениях, линейную задачу с начальными и граничными условиями (1) привели к линейной задаче Коши (2).
Интегрируя по временной координате соотношение (2) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек
,
, (3)
где 
– шаг по временной координате.
Основные соотношения метода конечных элементов в перемещениях получены с помощью принципа возможных перемещений и конечноэлементного варианта метода Галеркина.
Общая теория численных уравнений математической физики требует для этого наложение определенных условий на отношение шагов по временной координате 
и по пространственным координатам, а именно
, (4)
где 
– длина стороны конечного элемента.
Для исследуемой области, состоящей из материалов с разными физическими свойствами, выбирается минимальный шаг по временной координате (4).
На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны алгоритм и комплекс программ для решения линейных плоских двумерных задач, которые позволяют решать задачи при нестационарных волновых воздействиях на сложные системы. При разработке комплекса программ использовался алгоритмический язык Фортран-90.
В работах [1, 3–5, 7] приведена информация о физической достоверности и математической точности моделирования нестационарных волн напряжений с помощью рассматриваемого численного метода, алгоритма и комплекса программ.
Постановка задач о сейсмическом воздействии на надземный нефтепровод
В работе приводится постановка для четырех задач. Расчеты проводились при следующих единицах измерения: килограмм-сила (кгс); сантиметр (см); секунда (с).
Для рассматриваемых материалов приняты следующие исходные данные. Для трубы приняты следующие исходные данные: 
; 
с; E = 2,1*10 6 кгс/см2; n= 0,3; r= 0,8*10-5 кгс с2/см4; Сp= 5371 м/с; Сs= 3177 м/с. Для основания приняты следующие исходные данные:
; 
с; E = 3,15*105 кгс/см2; n= 0,2; r= 0,255*10-5 кгс с2/см4; Сp= 3587 м/с; Сs= 2269 м/с.
Внутренний диаметр трубы равен 14,5H. Средний диаметр трубы равен 15H. Наружный диаметр трубы равен 15,5H. Толщина трубы равна 0,5H. Решается система уравнений из 32032288 неизвестных.
1. Рассмотрим задачу о воздействии плоской продольной сейсмической волны (рис. 2) под углом девяносто градусов к горизонту на наземный нефтепровод (рис. 1). От точки J под углом девяносто градусов на расстоянии трех средних диаметров от края трубы приложено нормальное напряжение 
, которое при 
(
) изменяется линейно от 0 до P, а при 
равно P(
, 
кгс/см2). Граничные условия для контура KLMI при 
. Отраженные волны от контура KLMI не доходят до исследуемых точек при 
. Внутренний контур трубы ABCD свободен от напряжений. Наружный контур EFGH трубы свободен от напряжений, кроме точки G, которая находится на контакте с упругой полуплоскостью. В точке G контакта трубы и основания приняты условия непрерывности перемещений. Контур KJGI свободен от нагрузок, кроме точек G и J, которые находятся в упругой полуплоскости.
Рис. 1. Постановка задачи о воздействии плоской продольной сейсмической волны под углом девяносто градусов к горизонту на надземный нефтепровод
Рис. 2. Сейсмическое воздействие в виде ступенчатой функции (функция Хевисайда)
2. Рассмотрим задачу о воздействии плоской продольной сейсмической волны (рис. 2) под углом восемьдесят градусов к горизонту на наземный нефтепровод (рис. 3). От точки J под углом восемьдесят градусов на расстоянии трех средних диаметров от края трубы приложено нормальное напряжение 
, которое при 
(
) изменяется линейно от 0 до P, а при 
равно P(
, 
кгс/см2). Граничные условия для контура KLMI при 
. Отраженные волны от контура KLMI не доходят до исследуемых точек при 
. Внутренний контур трубы ABCD свободен от напряжений. Наружный контур EFGH трубы свободен от напряжений, кроме точки G, которая находится на контакте с упругой полуплоскостью. В точке G контакта трубы и основания приняты условия непрерывности перемещений. Контур KJGI свободен от нагрузок, кроме точек G и J, которые находятся в упругой полуплоскости.
Рис. 3. Постановка задачи о воздействии плоской продольной сейсмической волны под углом восемьдесят градусов к горизонту на надземный нефтепровод
3. Рассмотрим задачу о воздействии плоской продольной сейсмической волны (рис. 2) под углом семьдесят градусов к горизонту на наземный нефтепровод (рис. 4). От точки J под углом семьдесят градусов на расстоянии трех средних диаметров от края трубы приложено нормальное напряжение 
, которое при 
(
) изменяется линейно от 0 до P, а при 
равно P(
, 
кгс/см2). Граничные условия для контура KLMI при 
. Отраженные волны от контура KLMI не доходят до исследуемых точек при 
. Внутренний контур трубы ABCD свободен от напряжений. Наружный контур AFGH трубы свободен от напряжений, кроме точки G, которая находится на контакте с упругой полуплоскостью. В точке G контакта трубы и основания приняты условия непрерывности перемещений. Контур KJGI свободен от нагрузок, кроме точек G и J, которые находятся в упругой полуплоскости.
4. Рассмотрим задачу о воздействии плоской продольной сейсмической волны (рис. 2) под углом шестьдесят градусов к горизонту на наземный нефтепровод (рис. 5).
От точки J под углом шестьдесят градусов на расстоянии трех средних диаметров от края трубы приложено нормальное напряжение 
, которое при 
(
) изменяется линейно от 0 до P, а при 
равно P(
, 
кгс/см2). Граничные условия для контура KLMI при 
. Отраженные волны от контура KLMI не доходят до исследуемых точек при 
. Внутренний контур трубы ABCD свободен от напряжений. Наружный контур EFGH трубы свободен от напряжений, кроме точки G, которая находится на контакте с упругой полуплоскостью. В точке G контакта трубы и основания приняты условия непрерывности перемещений. Контур KJGI свободен от нагрузок, кроме точек G и J, которые находятся в упругой полуплоскости.
Рис. 4. Постановка задачи о воздействии плоской продольной сейсмической волны под углом семьдесят градусов к горизонту на надземный нефтепровод
Рис. 5. Постановка задачи о воздействии плоской продольной сейсмической волны под углом шестьдесят градусов к горизонту на надземный нефтепровод