Исследование движения атмосферы является актуальной задачей геофизической гидродинамики. Уравнения движения принято записывать в квазигоризонтальной форме [2], в которой по высоте вводится гидростатическое приближение
(1)
где z – высота над уровнем моря, p – давление, 
– плотность, g – ускорение свободного падения. Но локально в атмосфере на малых высотах могут существовать области, в которых 
для конечных интервалов времени, как правило, в местах со сложным рельефом. На вопрос о влиянии этих областей на динамику относительно большой окрестности атмосферы обращать внимание не было принято. В то же время исследование многомасштабных явлений актуально в связи с задачей точного долговременного прогноза погоды.
Для исследования этого вопроса необходимы трехмерные уравнения движения сжимаемого вязкого газа над поверхностью планеты со сложным рельефом. Здесь выписаны такие уравнения в форме, пригодной для изучения газодинамических процессов. Для выбора различных асимптотик, в том числе квазигоризонтального приближения, уравнения содержат характерные масштабы и малый параметр.
Целью данной работы является построение математической модели кинематики и динамики атмосферы, которая имеет общий характер. Из этой модели, выполняя асимптотические разложения решений уравнений по различным входящим в нее малым параметрам, можно получать частные подмодели для упрощенных задач.
Автор выражает благодарность своему Учителю, академику РАН Вениамину Петровичу Мясникову, за формулировку этой задачи (и многих других задач), и плодотворные обсуждения научных проблем.
1. Соотношения между физическими параметрами атмосферы
За малый параметр естественно принять величину 
, где H – высота однородной атмосферы, 
– средний радиус планеты. Выражение для H есть в [2]:
(2)
где R≈ 287 Дж/кг К – газовая постоянная воздуха, 
, 
– соответствующие температуре T0 давление и плотность воздуха. При 
высота 
км.
Для замены переменных 
необходимо выбрать характерный масштаб 
, при этом величина 
будет характерной скоростью для сохранения нелинейных слагаемых в горизонтальном приближении. Здесь 
– угловая скорость вращения планеты. В качестве уравнения состояния выберем
(3)
считая воздух идеальным газом. Учитывая выражение для скорости звука
можно выбрать масштаб скорости 
откуда получим 
2. Замена переменных
Пусть выбрана сферическая система координат 
с началом в центре планеты и долготой 
. Сделаем замену переменной, предложенную академиком В.П. Мясниковым на семинаре в ИАПУ ДВО РАН в 2002 году:
, (4)
где z – новая безразмерная переменная, 
– известная функция рельефа поверхности планеты.
С процессом замены переменных связана одна тонкость. Уравнения движения жидкости записаны в инвариантной относительно преобразования координат форме [4]. При покомпонентной записи векторных дифференциальных операторов в различных координатах появляются дополнительные слагаемые без операций дифференцирования, вид и количество которых зависит от выбранной системы координат. Поэтому если от уравнений, выписанных, например, в декартовых координатах, по правилам замены переменных, принятым в скалярном математическом анализе (см. [3]), перейти к другим криволинейным координатам, то вид уравнений может получиться неверным.
Необходимо исходить из инвариантных уравнений движения при переходе к конкретной системе координат. Будем считать, что движение атмосферы можно описать уравнениями Навье-Стокса для сжимаемой жидкости [4]:
(5)
Здесь 
– компоненты метрического тензора в выбранной системе координат, 
– ковариантная производная, 
– вектор скорости, 
– вектор ускорения, 
– вектор плотности внешних сил, 
– коэффициент вязкости, 
– дополнительный коэффициент вязкости. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Компоненты вектора ускорения выражаются через скорость [4]:
(6)
суммирование по j отсутствует. В качестве уравнения состояния выберем (3). В связи с вращением планеты в 
, кроме силы тяжести, войдут кориолисова и центробежная силы. Выражения для этих сил, если включать их в правую часть уравнений движения, следующие [1]:
. (7)
Здесь обозначено: 
– кориолисова сила на единицу массы, 
– центробежная сила на единицу массы, 
– вектор угловой скорости вращения планеты, 
– радиус-вектор точки. В сферических координатах 
, 
. Координаты пронумерованы следующим образом: 
, 
(долгота), 
.
3. Уравнения движения и неразрывности в преобразованной системе координат
Для нахождения вида уравнений Навье-Стокса при замене переменной (4) в координатах 
были вычислены векторы базиса, компоненты метрического тензора и символы Кристоффеля по формулам из [4]. Мы не приводим здесь эти результаты из-за громоздкости полученных формул. Относительно физических компонент вектора скорости и параметров p, ρ получились, с учетом (7), следующие уравнения движения:
;
(8)
Таким образом, получена система уравнений движения с выделенным постоянным малым параметром ε. Такой подход позволит использовать различные асимптотики решения (8) для разных областей с их последующим сращиванием. Уравнения движения должны быть дополнены уравнениями теплового баланса [2], преобразованными аналогичным образом.
Заключение
Получены трехмерные уравнения движения атмосферы, с явно выделенным малым параметром. Переход к специальным криволинейным координатам позволит учесть влияние сложного рельефа на атмосферные явления, которым ранее пренебрегалось. Кроме того, новая модель позволит исследовать явления различного масштаба в рамках единого подхода. В процессе проведенного анализа возникла новая задача формулировки уравнений теплового баланса, преобразованных к переменным, использованным в основной модели.
Главным результатом статьи является алгоритм применения замены переменной (4) к общим уравнениям гидродинамики, записанным в сферических координатах, и полученная в результате математическая модель.