Для формирования детерминистических модулярных структур, в том числе и фрактальных, необходимо структурированное (ячеистое) пространство [19 – 21]. Роль ячеистых 2D или 3D пространств могут выполнять 2D или 3D-решетки [23]. Принципы формирования структурных состояний из фрактальных компонент с учетом полугрупповых свойств множества соответствующих 1D генераторов, а также алгоритмы формирования соответствующих фрактальных структур сформулированы в [8, 9].
Фракталами с конечным ветвлением и определенной симметрией являются, в частности, детерминистические фрактальные решетки, построенные из затравки в виде определенного фрагмента 2D решетки. Конструкция таких решеток полностью описывается заданием геометрического генератора и итерационной процедуры. Бесконечное повторение процедуры итерации дает полную фрактальную решетку [25, 26]. Геометрическим генератором фрактальных решеток может быть фрагмент 2D полигонных R{Pg}im-структур, в частности, тетрагонных R{4}im-структур, соответствующих 2D сетке 4444 или ее производным [10, 17–21, 23].
Известны фрактальные кривые, которые могут быть получены методом итераций, заданных соответствующим генератором, и в бесконечном повторении их имеют бесконечную длину и полностью заполняют 2D пространство [29]. Наряду с ними известны также замкнутые фрактальные кривые, полученные аналогичным итерационным методом, длина которых при бесконечном выполнении итерационного закона также становится бесконечной, а их площадь изменяется, принимая определенное конечное значение [25, 26].
Проанализируем возможности описания и классификации простых и гибридных мономодулярных структур из модулей с разными
Описание и классификация мономодулярных фрактальных структур
Фрактальный характер структуры может определяться как позиционным упорядочением одинаковых структурных элементов с постоянным изменением масштаба позиционирования, так и подобием строения структурных фрагментов на разных уровнях иерархии, достигаемого путем инъективных или сюръективных отображений. В соответствии с [8, 9] любое упорядоченное множество идентичных фрактальных структур, полученных инъективным способом в единичной ячейке структурированного пространства, представляет собою детерминистическую фрактальную структуру. Фрактал Fn, полученный инъективным способом, включает в себя множество предфракталов {F(i)} (i < n) и занимает с ними одну и ту же ячейку структурированного пространства. При итерировании генератора фрактала сюръективным способом фрактальная структура неограниченно эволюционирует из инициальной ячейки в окружающее ячеистое пространство в соответствии со своим коэффициентом подобия. При сюръективном итерировании генератора GenF(K)?F1(K) фрактальной структуры F(K), где K – коэффициент подобия, происходит «захват» новых пространственных ячеек таким образом, что «объем» каждого предфрактала n-го поколения с учетом лакунарного пространства возрастает по сравнению с «объемом» предфрактала предыдущего поколения в (1/K) раз. Общее количество пространственных ячеек, занятых предфрактальной структурой Fn(K): N(n) = K- (Dn/2) , где D – размерность пространства [8, 9].
Точечные фрактальные структуры – результат позиционного упорядочения простейших структурных элементов без внутренней структуры, т.е. точек, по определенным фрактальным законам. Классическими примерами подобных точечных структур в 1D пространстве являются итерационная последовательность точек и канторово множество точек [4, 5, 7, 12, 13].
По аналогии с [7] для точечных фрактальных структур введем следующее символьное обозначение
F(N){dsp, dfrag, dgen +(-)},
где F(N) – имя структуры и характеристики классификационной принадлежности; dsp, dfrag и dgen – топологические размерности пространства, в котором существует данная структура, структурного фрагмента, на котором задан генератор, и собственно генератора фрактала, соответственно.
Знак + или – указывает тенденцию изменения фрактальной размерности генератора Dim GenF(N) по сравнению с его топологической размерностью dgen. Формально возможны следующие значения топологических размерностей: dsp[1, 2, 3],dfrag[0, 1, 2], dgen[0, 1, 2]. Разные непротиворечивые сочетания этих значений для dsp, dfrag и dgen определяют разные классы фрактальных структур [7]. Перечислим эти 12 классов.
В 1D пространстве:
– классы структур с 0–мерными фрагментами: 1) F{1,0,0+}, 2) F{1,0,1–}.
В 2D пространстве:
– классы структур с 0–мерными фрагментами: 3) F{2,0,0+}, 4) F{2,0,1–},
– классы структур с 1–мерными фрагментами: 5) F{2,1,1+}, 6) F{2,1,2–},
а соответствующие свертки [1, 2] характеризуют связи между этими классами структур:
sv F{2,1,1+} = F{1,0,0+},
sv F{2,1,2–} = F{1,0,1–}.
В 3D пространстве:
– классы структур с 0–мерными фрагментами: 7) F{3,0,0+}, 8) F{3,0,1–},
– классы структур с 1-мерными фрагментами: 9) F{3,1,1+}, 10) F{3,1,2–},
соответствующие свертки:
sv F{3,1,1+} = F{2,0,0+},
sv F{3,1,2–} = F{2,0,0+},
– классы структур с 2–мерными фрагментами: 11) F{3,2,2+}, 12) F{3,2,3–},
соответствующие свертки [1, 2, 24]:
sv F{3,2,2+} = F{2,1,1+},
sv2 F{3,2,2+} = F{1,0,0+},
sv F{3,2,3–} = F{2,1,2–},
sv2 F{3,2,3–} = F{1,0,1–}.
Указанные выше непрерывные преобразования типа свертки в одном (sv) или двух (sv2) ортогональных направлениях для структур классов 5, 6, 9 – 12 показывают генетическую связь линейчатых структур и структур из фрагментов поверхности с собственно точечными структурами. Отметим, что линейчатые структуры и структуры из фрагментов поверхности могут быть получены путем применения к ней одного (или двух) из возможных преобразований непрерывной группы трансляций ty или tyz в направлениях, ортогональных к пространству существования анализируемой точечной структуры [24].
Учитывая, что при каждой свертке фрактальная размерность структуры изменяется на единицу, имеем следующие простые соотношения:
Dim F(N){dsp, dfrag, dgen} = = 1 + Dim sv F(N){dsp, dfrag, dgen},
Dim F(N){dsp, dfrag, dgen} = = 2+ Dim sv2 F(N){dsp, dfrag, dgen}.
Необходимо также учесть, что локальная размерность точечной фрактальной структуры определяется фрактальной размерностью ее генератора Gen F. Тогда имеем
Dim F(N){dsp, dfrag, dgen} = =Dim Gen F(N){dsp, dfrag, dgen}.
Локальная фрактальная размерность структуры, генератор которой задает определенный коэффициент ее самоподобия в виде отношения K = (b/a), может быть представлена следующим образом. Обозначим Gen F(N){dsp, dfrag, dgen} = Gen F(K).
Тогда для точечных фрактальных структур
Dim Gen F(K) = ln(Da)/lnb,
где D – мерность пространства, в котором существует фрактал.
В частности, имеем:
в 1D пространстве – Dim Gen F(K) = lna/lnb,
в 2D пространстве – Dim Gen F(K) = ln(2a)/lnb,
в 3D пространстве – Dim Gen F(K) = ln(3a)/lnb.
Таким образом, предложено символьное описание точечных и некоторых производных от них мономодулярных фрактальных структур в 3D пространстве, проведена их первичная классификация и определены основополагающие соотношения между их фрактальными размерностями.
Гибридные мономодулярные фрактальные структуры
В соответствии с [3, 6, 11, 22] для заданного множества любых структурно совместимых 1D генераторов {Gen(i)} реализуется три локальных транзитивных 2D области:
Tr[Gen(a),Gen(b)], Tr[Gen(a),Gen(c)] или Tr[Gen(b),Gen(c)]
и одна и только одна локальная транзитивная 3D область, а ее формирование не зависит от последовательности реализации трех возможных транзитивных 2D областей, т.е.
Tr[Gen(a),Gen(b), Gen(c)] = = Tr[Tr[Gen(a),Gen(b)], Gen(c)] = = Tr[Tr[Gen(a),Gen(c)], Gen(b)] = =Tr[Tr[Gen(b),Gen(c)], Gen(a)].
В общем случае гибридные фрактальные структуры, вложенные в единичный объем 3D пространства, могут быть образованы тремя разными генераторами [3, 6, 11]. Для символьного описания возможных классов мономодулярных гибридных фрактальных структур с тремя генераторами будем использовать следующие обозначения:
F(Gx, Gy, Gz){dsp, (dfrag, yz ,dfrag, xz ,dfrag, xy), (dgen, x ,dgen, y ,dgen, z )},
где F(Gx, Gy, Gz) – обозначение гибридного фрактала с указанием всех его генераторов; dsp , dfrag, yz , dfrag, xz и dfrag, xy – топологические размерности пространства существования фрактала и структурных фрагментов в соответствующих взаимно ортогональных 2D подпространствах; dgen, x , dgen, y и dgen,z – топологические размерности соответствующих генераторов. Области возможных значений: dfrag, yz (xz, xy) [0,1,2], dgen, x (y, z) [0,1,2].
Тогда в 3D пространстве могут быть 4 варианта точечных гибридных фрактальных структур с тремя разными генераторами Gx, Gy и Gz:
F(Gx, Gy, Gz){3, (0,0,0), (0,0,0)},
F(Gx, Gy, Gz){3, (0,0,0), (0,0,1)},
F(Gx, Gy, Gz){3, (0,0,0), (0,1,1)},
F(Gx, Gy, Gz){3, (0,0,0), (1,1,1)},
Формально возможные 3 варианта линейчатых гибридных фрактальных структур с двумя генераторами, например, Gx, и Gy, следующие:
F(Gx, Gy, Z){3, (0,1,1), (0,0, -)},
F(Gx, Gy, Z){3, (0,1,1), (0,1, -)},
F(Gx, Gy, Z){3, (0,1,1), (1,1, -)}.
Фрактальные структуры из упорядоченных по фрактальному закону фрагментов плоскости F(Gx,Y,Z){3,(1,2,2),(0,-,-)} и F(Gx,Y,Z){3,(1,2,2),(1,-,-)} не являются гибридными.
Три гибридные линейчатые структуры с тремя генераторами Gx, Gy и G*z, где G*z – генератор фрактальной линии, совместимый по свойствам с генератором Gx (Gy), могут быть следующие:
F(Gx, Gy, G*z){3,(0,1,1),(0,0,1)},
F(Gx, Gy, G*z){3,(0,1,1),(0,1,1)},
F(Gx, Gy, G*z){3,(0,1,1),(1,1,1)}.
Отметим, что под совместимостью линейного генератора G*z с одним из точечных Gx (или Gy) понимается изоморфизм его сечения плоскостью ZX (или ZY) с ним [24], т.е.
G*z|ZX(ZY) > G*x(y) - Gx(y).
Две гибридные структуры из фрактальных поверхностей, упорядоченных а единичном объеме 3D пространства по фрактальному закону Gx и совместимых с ним:
F(Gx, G*yz){3,(1,2,2),(0,2)},
F(Gx, G*yz){3,(1,2,2),(1,2)}.
Условие совместимости:
G*zy|ZX(ZY) > G*z - Gx.
В 2D пространстве имеем следующие возможные варианты точечных гибридных фрактальных структур с двумя генераторами, например, Gx, и Gy:
F(Gx,Gy){2,(0,1),(0,0)},
F(Gx,Gy){2,(0,1),(0,1)},
F(Gx,Gy){2,(0,0),(1,1)}.
Возможные линейчатые гибридные фрактальные структуры в 2D пространстве с двумя генераторами Gx, и G*z, где G*z – генератор фрактальной линии, совместимый по свойствам с генератором Gx:
F(Gx, G*z){2,(0,1),(0,1)}
Между точечными структурами 2D пространства и линейчатыми структурами 3D пространства существуют очевидные связи:
SvZ F(Gx, Gy, Z){3, (0,1,1), (0,0,-)} = =F(Gx, Gy){2, (0,0), (0,0)},
SvZ F(Gx, Gy, Z){3, (0,1,1), (0,1,-)} = F(Gx, Gy){2, (0,0), (0,1)},
SvZ F(Gx, Gy, Z){3, (0,1,1), (1,1,-)} = =F(Gx, Gy){2, (0,0), (1,1)}.
Между точечными структурами 1D пространства, линейчатыми структурами и структурами 3D пространства из фрагментов поверхности также существуют очевидные связи:
SvYZ F(Gx, Y, Z){3, (1,2,2), (0,-,-)} = =F(Gx){1, (0), (0)},
SvYZ F(Gx, Y, Z){3, (1,2,2), (1,-,-)} = =F(Gx){1, (0), (1)}.
Определим фрактальные размерности выведенных структур через размерности их генераторов. Тогда фрактальные размерности точечных, линейчатых структур и структур из фрагментов поверхности могут быть соответственно представлены следующим образом:
Dim F(Gx, Gy, Gz) = =Dim F1(Gx) + Dim F2(Gx) + Dim F3(Gx),
Dim F(Gx, Gy, Z) = 1 + Dim F(Gx, Gy) = =1 + Dim F1(Gx) + Dim F2(Gx).
Dim F(Gx, Y, Z) = 2 + Dim F(Gx).
Dim F(Gx, Gy, G*z) = =Dim F1(Gx) + Dim F2(Gx) + Dim F3(G*x),
Dim F(Gx, G*yz) = =Dim F(Gx) + Dim F(G*yz).
Таким образом, проанализирована возможность существования и определены размерности вероятных гибридных мономодулярных (точечных, линейчатых и из фрагментов поверхности) фрактальных структур в 3D пространстве.
Отметим, что детерминистические модулярные структуры, в том числе и фрактальные, могут быть охарактеризованы с помощью определенных модулярных структурных состояний на поверхности или в объеме различных функциональных материалов [14 – 16, 28]. В связи с этим детерминистические модулярные фрактальные структуры могут рассматриваться как абстракции для вероятных сайт- или сайз-распределений фаз или как возможные аппроксиманты для конфигураций межфазных границ на поверхности композиционных материалов [27].
Выводы
Проанализированы возможности формирования детерминистических фрактальных структур на основе канторова множества и итерационной последовательности точек в 1D и 2D пространстве. Предложены варианты символьного описания мономодулярных фрактальных структур в 3D пространстве. Проведена первичная классификация и определены фрактальные размерности и топологические характеристики вероятных гибридных мономодулярных фрактальных структур с тремя разными генераторами в 3D пространстве.