Развитие сверхкритических технологий требует знания особенностей теплопереноса вблизи критической точки и создания на этой основе новых подходов к системам управления процессами в различных СКФ устройствах. В частности, применение СКФ в ракетно-космической технике требует изучения особенностей теплопереноса в СКФ при воздействии сильных перегрузок, а также при различных условиях тяготения в перспективных разработках применения СКФ-технологий при освоении Луны и планет солнечной системы.

Численные и экспериментальные исследования теплопереноса в замкнутом объеме, наполненном сверхкритическим флюидом, особенно интенсивно развивались в последние два десятилетия, в частности благодаря международным экспериментам, проведенным на борту орбитальных станций МИР и МКС. Было обнаружено, что при нагреве или охлаждении границ объема с СКФ наблюдается существенное ускорение прогрева/охлаждения среды, когда начальная температура в объеме приближается к критической температуре [2–8]. При этом температура, давление и плотность существенно меняются вблизи стенки и практически постоянны в «толще» (англ. bulk) среды. Поскольку слой жидкости в непосредственной близости от стенки расширяется, а среда в толще сжимается, то внешне процесс нагрева выглядит как сжатие основной толщи жидкости поршнем. Поэтому такая особенность процесса нагрева получила название «пистон-эффекта» (англ. piston-effect).

Важной характеристикой является характерное время прогрева толщи жидкости (характерное время пистон-эффекта), tпе. В работе [9] получено аналитическое решение уравнения передачи тепла от мгновенно нагретой стенки к жидкости в отсутствие силы тяжести (g=0). При выводе уравнения предполагалось, что температура стенки постоянна, перенос тепла в пристеночный слой происходит за счет теплопроводности, а толщина пристеночного слоя много меньше размера всей области нагрева. При этом пристеночный слой расширяется изобарически, а толща жидкости сжимается адиабатически. из решения следует, что время пистон-эффекта определяется формулой:

(*)

где L – характерный размер области; γ = сP/сV; сP – теплоемкость при постоянном давлении, сV – теплоемкость при постоянном объеме, D_T=λ/ρс_P, λ – коэффициент теплопроводности, ρ – плотность.

При достижении времени пистон-эффекта температура в толще жидкости достигает величины 0,572 от температуры нагретой стенки.

Зная характер зависимости входящих в формулу величин от параметра e, можно оценить, как характерное время нагрева меняется при приближении к критической точке. В работе [10] использовались зависимости D_T ~ ε ^0,66 и γ ~ ε ^-1,13, что дает τ_ПЕ ~ ε ^1,6 .

Целью данной работы является исследование влияния различных значений силы гравитации на ускоренный прогрев замкнутого объема СКФ. Расчеты проводились для одномерного случая с использованием уравнений Навье-Стокса и уравнения состояния Ван-дер-Ваальса.

Математическая модель

Безразмерная система уравнений состояния, баланса энергии, движения и неразрывности имеет вид:

, (1)

, (2)

, (3)

. (4)

Здесь введены следующие безразмерные комплексы (курсивом обозначены размерные величины):

– число Струхала, L – масштаб длины, – масштаб скорости и – масштаб времени; – число Маха, – скорость звука при масштабных термодинамических параметрах , где ;

– показатель адиабаты или адиабатическая постоянная;

, – число Рейнольдса. Параметр CR позволяет сопоставить влияние трения при скоростях диффузионных процессов с влиянием трения, возникающего при движении со звуковыми скоростями в среде с масштабной плотностью в масштабном объеме.

, – число Фруда. Параметр CF соотносит потенциальную энергию пробной массы при заданном тяготении на уровне масштабной высоты с кинетической энергией, которую приобретает эта масса, двигаясь со скоростью звука. – коэффициент, характеризующий уклонение выбранного масштаба давления от давления совершенного газа при выбранных масштабах плотности и температуры.

– коэффициент, характеризующий уклонение квадрата скорости звука в совершенном газе при выбранном масштабе температуры от квадрата скорости звука исследуемого газа при масштабных термодинамических параметрах.

– число Прандтля. Формально однако на практике параметр указывает отклонение этого отношения от единицы.

Представленная модель использовалась ранее в работе [1] для расчетов распада разрывов температуры и давления в ячейке СКФ при γ=0.

Расчеты проводились для вертикальной одномерной области высотой L = 1 см в поле силы тяжести, направленной вниз. Рабочее тело – шестифтористая сера (SF6). В начальный момент времени распределение давления и плотности соответствуют заданной величине ускорения свободного падения, температура постоянна по высоте и соответствует заданной сверхкритической температуре Тнач. Температура верхней границы мгновенно возрастает на величину 1 мК и поддерживается постоянной во время расчета. Нижняя граница считается адиабатической.

Для вычисления безразмерных комплексов, входящих в уравнения (1)–(4) использовались следующие константы (для SF6): c_v = 1000 дж/кг·град, λ = 1,2 вт/м·град, μ = 40·10^–6 Па•с, R = 56,9 дж/кг·град., γ₀ = 1.0569 и масштабы переменных: L = 10^–2 м, =rкр = 744 кг/м3, , м/c, c.

В расчетах определялись зависимости от времени распределений температуры, давления, плотности и скорости по высоте при различных начальных значениях температуры и ускорения свободного падения.

Методика и результаты расчетов

Для расчетов была применена вычислительная схема, основанная на явном методе конечных разностей. Шаг по пространству h=10^–3, шаг по времени h(h)^0.5.

Для определения начального равновесного распределения давления и плотности, соответствующего заданному значению ускорения свободного падения, применялись два способа: расчет с помощью численной реализации описанной выше математической модели и расчет по формуле

. (**)

Формула получена путем интегрирования уравнения движения (3) при условии равенства скоростей нулю, постоянства температуры вдоль вертикальной оси и выполнении уравнения состояния Ван-дер-Ваальса (1).

Предварительные расчеты показали, что распределения, полученные этими двумя способами, практически совпадают. С целью экономии машинного времени в дальнейших расчетах использовались начальные распределения плотности и давления, полученные с помощью формулы (**).

Расчеты были проведены для g=0, g=g0=9.81 м/с2 и для перегрузки g=5g0 и g= 10g0.

На рис. 1 представлены распределения плотности для этих значений ускорения свободного падения при двух значениях разности начальной и критической температуры, ΔТ = Тнач–Ткр = 10 мК и 500 мК. При ΔТ = 10 мК наблюдается характерный перегиб при z=0,5 и ρ=1, в то время как даже на небольшом удалении от критической точки (ΔТ=500 мК) профили плотности практически линейны для всех значений g.

На рис. 2 приведены зависимости приращения безразмерной температуры δТ = Т–Тнач в центре расчетной области (z = 0,5) от времени для различных значений ускорения свободного падения. Разница между начальной и критической температурой составляет ΔТ = 10 мК, количество узлов расчетной сетки n=1003. При отработке методики расчетов были проведены вычисления для различного количества узлов: n=403, 1003 и 10003. Результаты этих расчетов для g=0 приведены на вставке рис. 2. Оказалось, что кривые для 1003 и 10003 узлов практически совпадают, поэтому в дальнейшем все расчеты проводились для 1003 узлов.

Величина характерного времени пистон-эффекта τ_ПЕ определялась по зависимостям температуры в центре расчетной области от времени. Следуя работе [8] предполагалось, что τ_ПЕ соответствует времени, за которое температура в толще среды достигла величины 0,572 от разницы между начальной и конечной температурой. В нашем случае эта разница составляет Ткон.–Тнач = 1 мК, а безразмерная величина приращения температуры в толще, соответствующая величине 0,572(Ткон.–Тнач.), составляет δТ_ПЕ = 1,7910^–6. Тогда, например для ΔТ = 10 мК и g = g₀ (см. рис. 2), τ_ПЕ = 0,25 с

Рис. 1. Распределения плотности для различных значений ускорения свободного падения при ΔТ = Тнач–Ткр = 10 мК и 500 мК

Рис. 2. Зависимости приращения безразмерной температуры δТ = Т–Тнач в центре расчетной области (z = 0,5) от времени для различных значений ускорения свободного падения

Рис. 3. Зависимости τ_ПЕ от величины e для различных значений g

Разность между начальной и критической температурой ΔТ = Тнач–Ткр менялась от 10 мК до 1000 мК, что соответствует изменению e в пределах 3·10^–5 < e < 3·10^–3 . На рис. 3 представлен график зависимости τ_ПЕ от величины e для различных значений g. из графика видно, что при ε > 10^–3 зависимости τ_ПЕ от e для всех значений ускорения свободного падения и для невесомости (g=0) практически совпадают. При этом величина наклона графика близка к единице, т.е. τ_ПЕ ~ e.

Такой наклон соответствует представленной выше формуле (*), поскольку при с_V = const, λ = const (что принято в нашей модели) и при

g >> 1 ,

а в соответствии с принятым в модели уравнением Ван-дер-Ваальса , т.е. .

При ε < 10^–3 наклон графика для g=0 практически не меняется, в то время как при наличии гравитации время пистон-эффекта значительно увеличивается. для наибольшей величины ускорения свободного падения это отличие максимально. Например, для ε ≈10^–4 время пистон-эффекта при g= 10g₀ на порядок меньше чем при невесомости. При приближении к критической точке, чем больше g, тем раньше характерное время пистон-эффекта начинает отличаться от его значения в невесомости.

Заключение

На основе уравнений Навье-Стокса и уравнения состояния газа Ван-дер-Ваальса проведено численное исследование особенностей процесса ускоренного прогрева сверхкритической шестифтористой серы для одномерного случая в диапазоне 3·10^–5 < e < 3·10^–3 при различных условиях гравитации. Получено, что при приближении к критической точке начиная со значения ε ≈10^–3 характерное время ускоренного прогрева (время пистон-эффекта τ_ПЕ) существенно увеличивается по сравнению с условиями невесомости. Причем, чем больше ускорение свободного падения, тем раньше при приближении к критической точке эта разница начинает проявляться и тем больше она по величине.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 15–01–02012).