Scientific journal

International Journal of Applied and fundamental research

ISSN 1996-3955

ИФ РИНЦ = 0,593

Структура ферритов–шпинелей составляет кубическую гранецентрированную решетку, которая относится к пространственной группе (Fd3m). Обозначение химической формулы MeFe2O4 происходит от минерала Mg Al2 O4.

Кубическая элементарная ячейка образуется при присоединении восьми кубов (октантов) А и В, которые содержат 8 молекул MeFe2O4. Согласно [1] элементарная трансляция выбрана по направлению а1, а2, а3 которые направлены вдоль

а1 = {1, 1, 0}; а2 = {0, 1, 1};

а3 = {1, 0, 1},

то окта и тетра узлы описываются координатами

= (0,0,0), = (0,1,0), = (1,0,0),

= (0,0,1), = (1,1,0), = (0,1,1),

= (1,0,1), = (1,1,1), = (1/2,1/2,0),

= (0,1/2,1/2), = (1,1/2,1/2),

= (1/2,0,1/2), = (1/2,1/2,1),

= (1/2,1,1/2).

Для описания положения ионов кислорода вводят гранецентрированную кубическую (ГЦК) решетку с началом в узле (1, 1, 1). Поэтому, для нахождения истинного положения ионов кислорода вводят параметр u, геометрический смысл которого – смещение тетраузла от местоположения на расстояние при .

Таким образом, для описания кристаллической структуры ферритов-шпинелей вводятся два вектора элементарной трансляции и координаты анионов и катионов определяются отдельно. Данный метод дает описание элементарной ячейки с выбранной элементарной трансляцией, расстоянием от начального узла с координатами (0, 0, 0) до узла с координатами (1, 1, 1) вдоль направления {111}. Элементарная трансляция – вектор ρ направлен вдоль направления {111}. Тогда от точки с координатами (0, 0, 0) до точки (1,1,1) координаты атомов ГЦК решетки определяются:

= (0,0,0), ,

, ,

, ,

, = (1,1,1).

ГЦК решетку составляет часть тетраэдрических атомов, и эта элементарная ячейка полностью удовлетворяет трансляционной симметрии ферритов-шпинелей. Октаионы, остальная часть тетраионов и ионы кислорода находятся внутри данной ГЦК решетки. Чтобы описать координаты внутренних узлов элементарной ячейки кристаллической структуры был предложен метод деления вектора трансляции [2, 3].

В элементарной ячейке диагональ описывается координатами (1,1,1), координаты сторон куба определяются как а(1, 0, 0), а(0, 1, 0), и а(0, 0, 1). Если поделим вектор трансляции на восемь частей, то стороны куба также делятся на восемь частей. И внутри ГЦК решетки появляются восемь плоскостей вдоль направления {0,0,1}, {0,1,1} а также вдоль {1,1,1}.

Как известно, элементарная ячейка ферритов–шпинелей состоит из 56 атомов, из них ячейкообразующие атомы , а оставшиеся 52 атома располагаются внутри элементарной ячейки с координатами:

Зная координаты атомов, несложно найти плоскости, в которых располагаются эти атомы. Основными в кубической решетке являются направления {100}, {110} и {111}. Вдоль направления {100} расположены 8 параллельных плоскостей, уравнение плоскости

где х – координаты атомов, d – межплоскостное расстояние равное . Также определяется уравнения плоскостей по направлению [110], всего 8 плоскости которые описываются в следующем виде:

– 1(x + z – d) = 0,

где d – межплоскостное расстояние равное , n – номер плоскости [2], [3].

Как видно, в плоскости вдоль направления [100] тетраэдрические атомы составляют отдельную плоскость, а октаионы и ионы кислорода занимают смешанные положения. В семействе плоскостей {110} одну плоскость могут составлять атомы разного сорта.

Наибольший интерес представляют плоскости вдоль направления {111}. В семействе плоскостей {111} в каждой плоскости лежат атомы одного сорта. Количество плоскостей – 8, одна из них пустая плоскость, т.е. в этой плоскости в узлах атомов нет. Можно показать уравнения плоскостей слоев:

Межплоскостные расстояния:

d 1,2 = 0.2165

d 2,3 = 0.1443

d 3,4 = 0.1443

d4,5 = 0.0722

d5,6 = 0.0722

d 6,7 = 0.0722

d7,8 = 0.0722

d 8,9 = 0.1443

d 9,10 = 0.1443

d 10,11 = 0.0722

d 11,12 = 0.0722

d 12,13 = 0.0722

d 13,14 = 0.0722

Расстояние от 14-плоскости до узла (1,1,1) 0,3608.

(1.3712 + 0,3608)× 8.398 А0 = 14.545 А0

Rдиагональ {111} = а = 14.546 А0.

Для построения рисунка расположения атомов в этих плоскостях используем модель твердых шаров. Модельная элементарная ячейка состоит из целочисленных координат, тогда радиус плотноупакованного шара равен 1, а радиусы ионов металла меньше чем 1. Для нахождения истинного положения атомов необходима калибровка элементарной ячейки. Нам известны экспериментальные значения постоянной решетки из рентгеноструктурного анализа [4]. Например, для ионов значение постоянной решетки а = 8,398 А0. Тогда радиус плотноупакованного иона равен а/8 =1,049 А0. Это же является межплоскостным расстоянием d.

Узловой тетраэдрический атом металла с координатой (0,0,0) берем как 0-слой, тогда первый слой образуют атомы кислорода в центре с координатой (1,1,1), вокруг которой во втором круге лежат шесть атомов кислорода с координатами (-1,3,1), (-1,1,3), (1,-1,3), (3,-1,1), (3,1,-1), (3,1,-1) и (1,3,-1). В этой плоскости следующие 12 атомов кислорода занимают два круга, т.е. третий круг с радиусом r < 2r0, и четвертый круг с радиусом r = 2r0, где r0 – радиус атома кислорода (рисунок).

Второй слой образуют атомы октаэдрических ионов металла. Центр не занят, первый круг образован тремя атомами металла, второй круг не занят и т.д. Строение тетраэдрической плоскости напоминает круг из шести атомов с вакантным местом в центре.

Третий слой образованный атомами кислорода является плотноупакованным, атомы этого слоя расположены над лунками атомов 1-го кислородного слоя.

Четвертый слой образован тетраэдрическими атомами металла, в центре тетраэдрический атом с координатой (3,3,3). Пятый слой образуют октаэдрические атомы металлов, шестой слой образован тетраэдрическими атомами. Межплоскостные расстояния этих слоев d4-5 = 0.0722a, d5-6 = 0.0722a, d6-7 = 0.0722a в три раза меньше по сравнению с межплоскостным расстоянием кислорода d2-4 = 0.2165a. Седьмой слой образован плотноупакованными атомами кислорода, координаты атома в центре (5,5,5), и повторяет расположение атомов кислорода третьего слоя. Восьмой слой образован октаэдрическими атомами металлов, а следующий девятый слой плотноупакованными атомами кислорода. После девятого слоя опять идут три слоя образованные октаэдрическими и тетраэдрическими ионами металлов. Но расположение атомов металлов в 10-,11-,12-слоях не совпадают с расположением атомов металлов в 4-,5-,6- слоях. В 12-слое расположены тетраэдрические атомы металлов, координаты атома в центре (6,6,6). Очередной В-слой образован плотноупакованными атомами кислорода. Последний 15-слой не занят атомами, т.е. пустой слой. Дальнейшее движение вдоль направления {111} приводит к повторению этих 15-ти слоев в обратном порядке.