В настоящее время возросла потребность в современных информационных системах, в основе которых различные математические модели. Создание математических моделей диагностирования с применением методов принятия решений на основе нечетких множеств является перспективным направлением в медицине [1-3]. Применение достижений теории нечетких множеств является оправданной. Человек, обладая огромной функциональной энтропией, способен обрабатывать нечеткую информацию: выбирать, решать, анализировать и т.д., при этом может допустить субъективизм в своих суждениях. В этом плане создание математических моделей диагностирования и прогнозирования, повышающие объективность, является актуальной.

Применим для диагностики математический метод, на основе композиционного правила агрегирования описаний альтернатив, заданных в виде нечетких суждений и выбрать наилучший из них [4]. Пусть имеем U – множество элементов, А – его нечеткое подмножество, степень принадлежности элементов которого есть число из единичного интервала [0,1]. Подмножество А является значениями лингвистической переменной Х. Например: переменная Х – «заболеваемость» может иметь значение – «низкая», а Х – «анамнез» – значение «хорошее» и т.п. Высказывание S – «возможно», также является лингвистической переменной. В общем случае:

Di: «если Х1 = A1i и Х2 = А2i и … Хр = Арi, то S = Bi».

Обозначим переменные:

Х1 = А1 ∩ Х2 = А2 ∩ … Хn = Api через Х = Аi

Операции пересечения нечетких множеств соответствует нахождению минимума их функции принадлежности :

µАi(U) = min(µАi1(U), µАi2(U), … , µАрi(U))

µАij(Uj) – значение принадлежности элемента (Uj) нечеткому множеству Аij

Можно записать в виде:

Di: «Если Х = Аi, то S = Bi»

На основании диагностической таблицы [5] проводится дифференциация форм хронического энтерита в зависимости от локализации поражения тонкой кишки: преимущественное поражение тощей кишки (еонит) и преимущественное поражение подвздошной кишки (илент). В качестве признаков выступают симптомы: частота стула в сутки, вид кала, повышенное выделение желчных кислот с калом, тест с холестирамином, функциональный демпинг-синдром и т.д. Возьмем следующие критерии: частота стула в сутки – Х1, вид кала – Х2, повышенное выделение желчных кислот с калом – Х3, положительный тест с холестирамином – Х4, как симптомы наблюдаемые у условного пациента. Приемлемость решений – Y: «возможно», «более, чем возможно», «высокая вероятность» и т.д. задана на множестве j [0,1, 0.2, 0.3, … , 1] и определен как:

S – «возможно» – X∈j

MS – «более чем возможно» – X∈j

P – «очень высокая вероятность» – , X∈j

NS – «вполне возможно» – X∈j

US –«отрицательный» – X∈j.

Введем оценку каждого состояния:

А = «частота стула в сутки 6-8 раз» = 0.7/u1; 0.5/u2; 0.5/u3; 0.6/u4; 0.3/u5

B = «вид кала водянисто-пенистый» = 0.8/u1; 0.9/u2; 0.3/u3; 0.7/u4; 0.9/u5;

C = «повышенное выделение желчных кислот с калом» = 0.5/u1; 0.7/u2; 0.5/u3; 0.8/u4; 0.3/u5;

D = «явно повышенное выделение желчных кислот с калом» = 0.4/u1; 0.5/u2; 0.3/u3; 0.5/u4; 0.6/u5;

Е = «Положительный тест с холестирамином» = 0.5/u1; 0.6/u2; 0.7/u3; 0.7/u4; 0.5/u5.

Тогда:

D1: если Х = А и В, то Y = S то есть «Если частота стула в сутки 6-8 раз и вид кала водянисто-пенистый, то Y = возможно у него «иленет»».

Аналогично:

D2: если Х = А и В и С , то Y = MS

D3: если Х = А и В и С и Е, то Y = P

D4: если Х = А и В и Д, то Y = NS

D5: если Х = не А или не В или не Е, то Y = US

Используем правило минимизации:

где

значения принадлежности элемента (Uj) нечеткому множеству Aij,

для:

D1:

М1 = {0.7/u1; 05/u2 ; 0.3/ u3 ; 0.6/ u4 ; 0.3/ u5 }

D2:

М2 = {0.5/u1; 05/u2; 0.3/ u3 ; 0.6/ u4 ; 0.3/ u5 }

D3:

М3 = {0.5/u1; 05/u2 ; 0.3/ u3 ; 0.6/ u4 ; 0.3/ u5}

D4:

М4 = {0.4/u1; 05/u2 ; 0.3/ u3 ; 0.5/ u4 ; 0.3/ u5}

D5:

М5 =

М5 = {0.5/u1; 05/u2 ; 0.7/u3 ; 0.4/u4 ; 0.7/u5}

D1: если х = М1 , то Y = S (возможно «илинет»). Переменная Y задано: j (0,0.1, …, 1), определено как x∈j

D2: если х = М2, то Y = МS (более чем возможно) x∈j

D3: если х = М3, то Y = Р (очень высокая вероятность)

D4: если х = М4 , то Y = NS (вполне возможно) x∈j

D5: если х = М5, то Y = US (невозможно, отсутствует) x∈j

М1 = {0.7/u1; 05/u2 ; 0.3/ u3 ; 0.6/ u4 ; 0.3/ u5}

М2 = {0.5/u1; 05/u2 ; 0.3/ u3 ; 0.6/ u4 ; 0.3/ u5}

М3 = {0.5/u1; 05/u2 ; 0.3/ u3 ; 0.6/ u4 ; 0.3/ u5}

М4 = {0.4/u1; 05/u2 ; 0.3/ u3 ; 0.5/ u4 ; 0.3/ u5}

М5 = {0.5/u1; 05/u2 ; 0.7/u3 ; 0.4/u4 ; 0.7/u5}

Используя правило преобразования: «Если х = М1, то Y = Q» в выражении: для каждой пары , получаем следующее нечеткое подмножество:

В результате получаем общее функциональное решение:

т.е.

Находим: ,  – мощность, где ,

, = 0.5

,

, = 0.55

,

, = 0.6

Найдем точечную оценку E1 :

Аналогично для второй альтернативы:

Для третьей альтернативы:

Для четвертой альтернативы:

Для пятой альтернативы:

Итак, точечная оценка, найденная с учетом наличия симптомов и их заданных состояний, в качестве приемлемого вывода выбираем высказывание «возможно «иленет»», поскольку имеет наибольшее значение – 5.3. Данная математическая модель позволила из нечетких выводов, какими являются высказывания: «возможно», «более чем возможно», «очень высокая вероятность», «вполне возможно», «отрицательный» выбрать наилучший. Данная математическая модель диагностирования с использованием правила нечеткого вывода, наряду с другими моделями, основывающихся на достижениях теории нечетких множеств позволит, при соответствующей технической реализации, повысить объективность при принятий решений. Применение математического подхода к решению различных задач в медицинских исследованиях позволят более широко использовать современные автоматизированные информационные технологии в здравоохранении.