Scientific journal

International Journal of Applied and fundamental research

ISSN 1996-3955

ИФ РИНЦ = 0,593

Рассмотрим стержень ограниченной длины L, см, площадь поперечного сечения которого F, см2, постоянна по ее длине. Стержень изготовлен из жаропрочного сплава АНВ-300. Значение коэффициента теплового расширение этого материала α, 1/ºC, строго зависит от значения температуры, т.е. . Здесь – поле распределения температуры по длине стержня, которое необходимо определить с учетом существующих граничных условий. Коэффициент теплопроводности материала стержня обозначим через Kxx, Вт/(см•ºC), а модуль упругости через Е, кГ/см2. Расчетная схема рассматриваемой задачи приводится на рис. 1.

Рис. 1. Расчетная схема рассматриваемой задачи

Предположим, что левый конец стержня жестко-защемлен и совпадает с началом координат. На этом конце задана температура . Через площади боковой поверхности и поперечного сечения правого конца происходит теплообмен с окружающей средой. При этом температура окружающей среды Тос, ºC, коэффициент теплообмена h, Вт/(см•ºC) и ее значение также постоянна во всюду. Кроме того, на правом конце стержня приложена осевая растягивающая сила P, кГ. Требуется определить поле распределения температуры по длине стержня с учетом наличия источника тепла и глобального теплообмена. Также необходимо вычислить удлинение стержня от теплового расширения и растягивающей силы Р.

Для этого сначала дискретизируем рассматриваемый стержень n элементами одинаковой длины. Каждый элемент рассмотрим как квадратный конечный элемент с тремя узлами. Тогда число всех узлов будет равно ЧУЗ=2n+1. Далее для каждого элемента напишем выражение функционала, которое характеризует полную тепловую энергию с учетом имеющихся граничных условий. В частности, для первого элемента такой функционал имеет следующий вид [1–3]:

, (1)

где V1 – объем первого элемента; S1пбп – площадь боковой поверхности первого элемента. С учетом (3) для первого элемента имеем, что

, ; (2)

, ; (3)

где T1, T2 и T3 – значения температур в узлах первого элемента. При этом

; ; . (4)

Будем учитывать, что

,

где F – площадь поперечного сечения рассматриваемого элемента стержня; – длина элемента стержня;

,

где P – периметр поперечного сечения, а также интеграла по площади поперечного сечения

.

Тогда для первого элемента интегрированный вид функционала (1) имеет следующий вид:

. (5)

Начиная со второго до (n–1)-го элемента выражение соответствующего функционала для каждого элемента имеет следующий интегрированный вид

, , (6)

где – номер элемента; ; ; и

; .

Наконец, для последнего n-го элемента выражение функционала, которое характеризует полную тепловую энергию имеет следующий интегрированный вид

, (7)

где ; SLппc – площадь поперечного сечения правого конца стержня.

Тогда выражение функционала, которое характеризует полную тепловую энергию рассматриваемого стержня, в целом имеет следующий вид

, (8)

Учитывая, что значение температуры в первом узле задано, т.е. , минимизируя функционал (8) по узловым значениям температуры построим следующую разрешающую систему линейных алгебраических уравнений

, . (9)

Решая последнею систему, находим значения температур в узлах элементов. Пользуясь соотношением (3), находим закон распределения поля температур в пределах каждого элемента, а по ним по длине рассматриваемого стержня в целом.

В работе [4] для жаропрочного тугоплавкого сплава приводится результаты натурного эксперимента по определению зависимости коэффициента теплового расширения от температуры в виде графиков. Эти данные в первом разделе приведены в табличной форме, в том числе и для сплава АНВ-300.

Из результатов натурного эксперимента работы [4] видно, что меняется линейно в интервале температур

; ; ;

; ; ;

; .

Поэтому эти зависимости можно описать математически следующим образом

(10)

Кроме того, известно (раздел 1), что поле распределение коэффициента теплового расширения для r-го элемента определяется (1.35), где , и – узловые значения коэффициента теплового расширения в r-м элементе; ; ; .

Тогда узловые значения α определяются исходя из закона распределения температуры в каждом элементе и с помощью соотношения (10). А величина удлинение r-того элемента определяется с помощью соотношения

, (11)

где – функция формы для r-го квадратичного элемента; , Ti – узловые значения коэффициента теплового расширения и температуры r-го квадратичного элемента.

Тогда общее удлинение рассматриваемого стержня в целом от теплового расширения определяется следующим образом

. (12)

На основе закона Гука удлинение рассматриваемого стержня от осевой растягивающей силы Р определяется следующим образом

. (13)

Тогда величина общего удлинения рассматриваемого стержня будет

. (14)

Для реализации вышеизложенного алгоритма примем за исходные данные следующее

Kxx=72 Вт/(см2•ºС); h=10 Вт/(см2•ºС);

;

;

кГ/см2; см; ;

см.

Форма поперечного сечения рассматриваемого стержня является круг радиусом см. Площадь поперечного сечения (см2), а периметр (см).

На рис. 2 приводится поле распределения температур по длине стержня при разных значениях T0, а в таблице приводятся значения при разных значениях T0, т.е. зависимость между T0 и , R, . Из рис. 2 видно, что поле распределения температуры по длине стержня будет гладкой кривой. Графическая зависимость между величинами источника температуры T0 и соответствующего удлинение стержня от теплового расширения приводится на рис. 3.

При T0 =100ºС, начиная с x=15,5 см, т.е. на участке см наблюдается постоянная температура, значения, которого равна . В этом случае из за теплового расширения стержень удлиняется на см. Для сравнения, следует сказать, что это удлинение эквивалентно к удлинению стержня, если его растягивать силой кГ. Естественно, на основе закона Гука в этом случае в сечении стержня возникало бы растягивающее напряжение величиной кГ/см2.

При увеличении значения заданной температуры в два раза, т.е. при на участке , см, наблюдается 40°С поле температуры. В этом случае величина удлинение стержня составляет см и будет больше на 17,657 % чем в случае T0 =100ºС. Эта величина удлинение эквивалентно к удлинению стержня находящейся по растягивающей нагрузкой R=3454 кГ. При этом растягивающее напряжение было бы =1100 кГ/см2. Если увеличить значение точечной температуры в три раза, т.е. при T0 =300ºС величина см, что превышает на 37,857 % чем в случае T0 =100ºС. Также следует отметить, что в этом случае на участке см стержня наблюдается постоянная температура близко к температуре окружающей стержня среды. В этом случае величина эквивалентно к растяжению рассматриваемого стержня с силой R=4040 кГ. При этом значение растягивающего напряжения возникающих в сечениях составляло бы =1286 (кГ/см2). Следует отметить, что для обычных сталей это напряжение уже превышает предел пропорциональности.

Рис. 2. Поле распределение температуры по длине стержня при разных значениях T0

Зависимость между T0 и , R, σ

Рис. 3. Графическая зависимость между T0 и

Теперь увеличивая значение T0 в четыре раза, т.е. при T0 =400 °C имеем, что см. Это эквивалентно к удлинению стержня при ее растяжении силой, величина которого R=4703,72 кГ. В этом случае в сечениях стержня возникало бы растягивающее напряжение величиной ?=1498 (кГ/см2). Естественно для обычных сталей это напряжение считается разрушающей. При T0 =500°C значение см. Это на 85 % больше чем аналогичное значение при T0 =100°C. Здесь следует отметить, для того чтобы получить удлинение стержня в размере см при ее растяжении необходимо было бы растянуть с силой R=5432,1 кГ. При этом в сечениях стержня появилось бы растягивающее напряжение =1730 (кГ/см2), которое является большим для обычных стальных конструкции. Необходимо отметить, что при T0 =600°C величина см и она будет на 112,14 % больше чем при T0 =100°C. Эквивалентная растягивающая сила было бы равно R=6217,2 кГ и соответствующее растягивающее напряжение будет равно =1980 кГ/см2. Интересно отметить, что при увеличение значение температуры T0 от T0 =100°C до T0 =600°C, значения , R и σ увеличиваются одинаково на 112,14 %.