Уравнение Лыкова учитывает, в отличие от уравнения Аллера, конечную скорость распространения возмущения. Оно выведено из принципов необратимой теплодинамики на основе анализа релаксационных процессов, а не исходя из молекулярных представлений капиллярности. В работе [4] для уравнения влагопереноса Лыкова с краевыми условиями первого рода получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках. Получены экономичные факторизованные схемы в многомерной области, устойчивость которых доказана с использованием общей теории устойчивости схем. В работе [6] проведено исследование локально-одномерных схем для уравнения теплопроводности с сосредоточенной теплоемкостью. В работе [3] выведена априорная оценка решения уравнения диффузии дробного порядка с сосредоточенной теплоемкостью, построена схема и получена соответствующая априорная оценка в равномерной метрике. В работе [2] был рассмотрен случай многомерной задачи для уравнения диффузии дробного порядка, когда на границе области по каждому направлению помещена сосредоточенная теплоемкость некоторой величины.
Постановка задачи. Устойчивость
В области 
рассматривается задача для уравнения влагопереноса с переменными коэффициентами с сосредоточенной теплоемкостью вида:
(1)
(2)
(3)
Для коэффициентов требуем выполнения условий 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
. Здесь 
– класс функций, непрерывных вместе со своими частными производными третьего порядка по x и первого порядка по t в 
.
Доказательство устойчивости решения задачи (1)–(3) проводим с помощью метода энергетических неравенств [5]. Для чего умножаем уравнение (1) скалярно на 
и приходим к энергетическому тождеству:
(4)
где скалярное произведение 
, норма 
. Для первого и второго скалярных произведений в (4) имеем:
, (5)
(6)
Для третьего скалярного произведения в (4) применяем интегрирование по частям. Учитывая условия (2), будем иметь:
. (7)
Используя равенство 
, можем записать 
. Тогда для интеграла в (7) будем иметь:
.
Теперь (7) с учётом последнего можем переписать:
. (8)
С учётом условий на k(x, t) и kt(x, t) для интегралов в правой части (8) запишем:
, 
. (9)
Для четвёртого интеграла в (4), учитывая условие на q(x, t), можем записать:
. (10)
Для последнего скалярного произведения в тождестве (4) также запишем:
. (11)
С учётом (5)–(11) и условий на 
, используя лемму ([1], стр.152), из (4) будем иметь
.
Учтём условия 
, 
и, пренебрегая положительными слагаемыми, отчего неравенство только усилится, последнее неравенство перепишем:
. (12)
где m1, m2, m3, m4 – положительные постоянные величины.
Неравенство (12) проинтегрируем теперь по τ в пределах от 0 до и, учитывая начальные условия (3), имеем интегралы:
,
,
,
, 
, 
, 
.
Учитывая вышеизложенное, перепишем неравенство (12):
или с учётом того, что 
, перепишем неравенство
, (13)
где M1, M2 – положительные величины. Введем далее обозначение:
.
Тогда неравенство (13), пренебрегая положительными слагаемыми 
, 
в левой части (отчего неравенство только усилится) перепишем в виде
. (14)
Введем обозначение: 
, тогда 
. С учетом принятых обозначений неравенство (14) можем переписать:
. (15)
Применяя известную лемму [1], из неравенства (15) запишем: 
. С учётом последнего и вышесделанных обозначений имеем:
.
Из (13), учитывая последнее, получаем неравенство
.
Поскольку 
, окончательно получим неравенство
. (16)
Здесь положительная величина M(t) зависит от коэффициентов уравнения и размеров области QT. Из априорной оценки (16) заключаем устойчивость решения задачи (1)–(3) по входным данным.
Разностная схема
В 
строим сетку 
, где 
, h – шаг сетки, N – число разбиений; 
, h – шаг сетки, j0 – число разбиений. Через 
обозначается значение сеточной функции y в узле (xi, tj), определенной на сетке 
[5]. Дифференциальному уравнению (1) ставится в соответствие параметрическое разностное уравнение вида
, (17)
σ1, σ2 – вещественные параметры, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
. Разностное уравнение (17) аппроксимирует уравнение (1) с точностью 
. Следуя [5], получим аппроксимацию краевых условий (2) с точностью 
. Для ku' при x = 0 запишем:
.
Тогда для краевого условия (2) при x = 0 имеем
(18)
Здесь 
, 
, 
. Также для – ku' в (2) при x = l запишем:
.
Тогда аппроксимируется второе граничное условие (2) при x = l в виде
(19)
Здесь 
, 
.
Первому начальному условию (3) ставим в соответствие разностное условие вида
. (20)
Второе начальное условие в (3) выражением 
аппроксимируется только с точностью O(τ). Получим аппроксимацию второго порядка по τ. Используя формулу Тейлора, с учётом 
запишем:
. (21)
Выразив 
из уравнения (1) и учитывая, 
и перенося 
влево и разделив на τ, из (21) получим
,
откуда
. (22)
Итак, получена аппроксимация начального условия 
с точностью O(τ2).
Таким образом, разностная схема, аппроксимирующая краевую задачу (1)–(3) с точностью 
имеет вид
(23)
(24)
(25)
(26)
где 
.
Для реализации на ЭВМ (23)–(26) приводится к системе уравнений с трёхдиагональной матрицей, которая решается методом прогонки на каждом временном слое.