Scientific journal
International Journal of Applied and fundamental research
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,593

THE BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE EQUATION OF MOISTURE TRANSFER WITH A CONCENTRATED HEAT CAPACITY

Nakhusheva F.M. 1 Kuvazhukova R.Kh. 1 Maksidova Z.T. 1
1 Kabardino-Balkarian State University named after Kh.M. Berbekov
1726 KB
In this work the equation of moisture transfer with boundary conditions of the third kind, when the concentrated thermal capacity of a some value on the border of the area is placed, is considered. Similar conditions arise when a body with a large thermal conductivity is considered when solving the problem of establishing a temperature in a restricted medium in the presence of a heater called the concentrated heat capacity. Similar conditions also arise in the practice of regulating the salt regime of soils, when desalination of the upper layer is achieved by draining the layer of water from the surface of the flooded area for some time. It is known that the Aller’s equation and other moisture transfer equations, which are based on the diffusion model, offer an infinite velocity of disturbances spread. The Lykov’s equation takes into account its finite velocity. It is derived from thermodynamics on the basis of an analysis of relaxation processes, and not on the basis of molecular representations of capillarity. Therefore, the equation Lykov’s is characterized by a particular generality. For this problem we obtain an a priori estimation in the differential form by the method of energy inequalities, from that follows the stability of the solution of the problem with on input data, and also its uniqueness. The corresponding difference scheme of the second order of accuracy by space and time step is constructed.
equation of moisture transfer
concentrated heat capacity
priori estimate
difference scheme

Уравнение Лыкова учитывает, в отличие от уравнения Аллера, конечную скорость распространения возмущения. Оно выведено из принципов необратимой теплодинамики на основе анализа релаксационных процессов, а не исходя из молекулярных представлений капиллярности. В работе [4] для уравнения влагопереноса Лыкова с краевыми условиями первого рода получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках. Получены экономичные факторизованные схемы в многомерной области, устойчивость которых доказана с использованием общей теории устойчивости схем. В работе [6] проведено исследование локально-одномерных схем для уравнения теплопроводности с сосредоточенной теплоемкостью. В работе [3] выведена априорная оценка решения уравнения диффузии дробного порядка с сосредоточенной теплоемкостью, построена схема и получена соответствующая априорная оценка в равномерной метрике. В работе [2] был рассмотрен случай многомерной задачи для уравнения диффузии дробного порядка, когда на границе области по каждому направлению помещена сосредоточенная теплоемкость некоторой величины.

Постановка задачи. Устойчивость

В области nah01.wmf рассматривается задача для уравнения влагопереноса с переменными коэффициентами с сосредоточенной теплоемкостью вида:

nah02.wmf (1)

nah03.wmf (2)

nah04.wmf (3)

Для коэффициентов требуем выполнения условий nah05.wmf, nah06.wmf, nah07.wmf, nah08.wmf, nah09.wmf, nah10.wmf, nah11.wmf, nah12.wmf. Здесь nah13.wmf – класс функций, непрерывных вместе со своими частными производными третьего порядка по x и первого порядка по t в nah16.wmf.

Доказательство устойчивости решения задачи (1)–(3) проводим с помощью метода энергетических неравенств [5]. Для чего умножаем уравнение (1) скалярно на nah17.wmf и приходим к энергетическому тождеству:

nah18.wmf (4)

где скалярное произведение nah19.wmf, норма nah20.wmf. Для первого и второго скалярных произведений в (4) имеем:

nah21.wmf, (5)

nah22.wmf (6)

Для третьего скалярного произведения в (4) применяем интегрирование по частям. Учитывая условия (2), будем иметь:

nah23.wmf

nah24.wmf

nah26.wmf

nah28.wmf. (7)

Используя равенство nah29.wmf, можем записать nah125.wmf. Тогда для интеграла в (7) будем иметь:

nah30.wmf.

Теперь (7) с учётом последнего можем переписать:

nah31.wmf

nah32.wmf

nah34.wmf

nah36.wmf. (8)

С учётом условий на k(x, t) и kt(x, t) для интегралов в правой части (8) запишем:

nah37.wmf, nah38.wmf. (9)

Для четвёртого интеграла в (4), учитывая условие на q(x, t), можем записать:

nah39.wmf. (10)

Для последнего скалярного произведения в тождестве (4) также запишем:

nah40.wmf. (11)

С учётом (5)–(11) и условий на nah41.wmf, используя лемму ([1], стр.152), из (4) будем иметь

nah42.wmf

nah43.wmf.

Учтём условия nah44.wmf, nah45.wmf и, пренебрегая положительными слагаемыми, отчего неравенство только усилится, последнее неравенство перепишем:

nah46.wmf

nah47.wmf. (12)

где m1, m2, m3, m4 – положительные постоянные величины.

Неравенство (12) проинтегрируем теперь по τ в пределах от 0 до и, учитывая начальные условия (3), имеем интегралы:

nah49.wmf,

nah50.wmf,

nah51.wmf,

nah52.wmf, nah53.wmf, nah54.wmf, nah55.wmf.

Учитывая вышеизложенное, перепишем неравенство (12):

nah56.wmf

nah57.wmf

или с учётом того, что nah59.wmf, перепишем неравенство

nah60.wmf

nah61.wmfnah62.wmf, (13)

где M1, M2 – положительные величины. Введем далее обозначение:

nah63.wmf.

Тогда неравенство (13), пренебрегая положительными слагаемыми nah64.wmf, nah65.wmf в левой части (отчего неравенство только усилится) перепишем в виде

nah67.wmf. (14)

Введем обозначение: nah68.wmf, тогда nah69.wmf. С учетом принятых обозначений неравенство (14) можем переписать:

nah70.wmf. (15)

Применяя известную лемму [1], из неравенства (15) запишем: nah71.wmf. С учётом последнего и вышесделанных обозначений имеем:

nah72.wmf.

Из (13), учитывая последнее, получаем неравенство

nah73.wmf

nah74.wmf.

Поскольку nah75.wmf, окончательно получим неравенство

nah76.wmf

nah77.wmf. (16)

Здесь положительная величина M(t) зависит от коэффициентов уравнения и размеров области QT. Из априорной оценки (16) заключаем устойчивость решения задачи (1)–(3) по входным данным.

Разностная схема

В nah78.wmf строим сетку nah79.wmf, где nah80.wmf, h – шаг сетки, N – число разбиений; nah82.wmf, h – шаг сетки, j0 – число разбиений. Через nah83.wmf обозначается значение сеточной функции y в узле (xi, tj), определенной на сетке nah84.wmf [5]. Дифференциальному уравнению (1) ставится в соответствие параметрическое разностное уравнение вида

nah85.wmf, (17)

σ1, σ2 – вещественные параметры, nah86.wmf, nah87.wmf, nah89.wmf, nah91.wmf, nah92.wmf, nah93.wmf, nah94.wmf, nah95.wmf. Разностное уравнение (17) аппроксимирует уравнение (1) с точностью nah96.wmf. Следуя [5], получим аппроксимацию краевых условий (2) с точностью nah97.wmf. Для ku' при x = 0 запишем:

nah98.wmf.

Тогда для краевого условия (2) при x = 0 имеем

nah99.wmf (18)

Здесь nah100.wmf, nah101.wmf, nah102.wmf. Также для – ku' в (2) при x = l запишем:

nah103.wmf.

Тогда аппроксимируется второе граничное условие (2) при x = l в виде

nah104.wmf (19)

Здесь nah105.wmf, nah106.wmf.

Первому начальному условию (3) ставим в соответствие разностное условие вида

nah107.wmf. (20)

Второе начальное условие в (3) выражением nah108.wmf аппроксимируется только с точностью O(τ). Получим аппроксимацию второго порядка по τ. Используя формулу Тейлора, с учётом nah109.wmf запишем:

nah110.wmf. (21)

Выразив nah111.wmf из уравнения (1) и учитывая, nah112.wmf и перенося nah113.wmf влево и разделив на τ, из (21) получим

nah114.wmf,

откуда

nah116.wmf. (22)

Итак, получена аппроксимация начального условия nah117.wmf с точностью O(τ2).

Таким образом, разностная схема, аппроксимирующая краевую задачу (1)–(3) с точностью nah118.wmf имеет вид

nah119.wmf (23)

nah120.wmf (24)

nah121.wmf (25)

nah123.wmf (26)

где nah124.wmf.

Для реализации на ЭВМ (23)–(26) приводится к системе уравнений с трёхдиагональной матрицей, которая решается методом прогонки на каждом временном слое.