Scientific journal
International Journal of Applied and fundamental research
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,564

THE HEAT CONDUCTION EQUATION CONDUCTIVITY WITH FRACTURE DERIVATIVES BY TIME WITH CONCENTRATED HEAT CAPACITY

Nakhusheva F.M. 1 Dzhankulaeva M.A. 1 Nakhusheva D.A. 1
1 Kabardino-Balkarian State University named after Kh.M. Berbekov
1776 KB
In this work the heat conduction equation with a fractional derivative with respect to time is considered, when on the boundary of the domain the concentrated heat capacity of some quantity is placed. The necessity of studying boundary value problems for differential equations with fractional derivative is connected with the fact that many problems of the theory of fluid filtration in a highly porous medium lead to differential equations with a fractional derivative. Fractional derivatives are used in describing the physical processes of stochastic transport, in studying the deformation-strength properties of polymer materials. In this connection the necessity to study boundary value problems for differential equations with fractional derivatives and to develop methods for their solutions arises. The considered conditions arise in the case when a body with a large thermal conductivity is considered when solving the problem of establishing a temperature in a restricted medium in the presence of a heater, called the concentrated heat capacity. Similar conditions also arise in the practice of regulating the salt regime of soils, when desalination of the upper layer is achieved by draining a layer of water from the surface of a flooded area for a time. An a priori estimate of the solution of the problem is obtained using the method of energy inequalities, from which the stability of the solution of the problem with respect to input data follows. The corresponding difference scheme is constructed, the stability of the difference scheme is proved by means of the maximum principle.
derivative of fractional order
stability of solution
priori estimate
stability of difference scheme
maximum principle

Теория фракталов применяется при описании структуры неупорядоченных сред, например пористых сред, и описании протекающих в таких средах процессов. Движение примеси в потоке однородной жидкости описывается с использованием дифференциального уравнения дробного порядка [7]. Язык дробных производных применен при описании физических процессов стохастического переноса [9], при изучении деформационно-прочностных свойств полимерных материалов [1]. Диффузии дробного порядка посвящена работа [3]. Методам численного решения многомерного уравнения диффузии дробного порядка посвящены работы [5, 6, 10]. Задачи с сосредоточенной теплоёмкостью определённой величины на границе изучены в [8].

В данной работе рассматривается уравнение теплопроводности с переменными коэффициентами с дробной производной по времени с сосредоточенной теплоёмкостью определённой величины.

Постановка задачи. Устойчивость

В области nah01.wmf будем рассматривать уравнение теплопроводности с дробной производной по времени с сосредоточенной теплоемкостью вида

nah02.wmf,

nah03.wmf, (1)

nah04.wmf (2)

nah05.wmf, x ≥ 0, (3)

где nah07.wmf – регуляризованная дробная производная порядка α, где nah09.wmf. Коэффициенты удовлетворяют условиям: nah10.wmf, nah11.wmf nah12.wmf. Устойчивость решения задачи (1)–(3) будем доказывать с помощью известного метода энергетических неравенств [8]. Для чего уравнение (1) умножаем на u(x, t) скалярно и получим тождество

nah13.wmf (4)

В (4) скалярное произведение определено по формуле nah14.wmf и норма через него nah15.wmf. Первое и второе слагаемые в (4) нам дадут

nah16.wmf

nah17.wmf. (5)

Для третьего слагаемого в (4) применяем интегрирование по частям:

nah19.wmf.

Принимая во внимание граничные условия (2), из последнего можем записать:

nah21.wmf

nah23.wmf. (6)

В (6) к слагаемым nah24.wmf, nah25.wmf, nah26.wmf, nah27.wmf применяется известное неравенство из [4, с. 172]. Первое и четвертое выражения в правой части (6) перепишем в виде

nah28.wmf, nah29.wmf.

Интеграл в правой части (6), четвёртый и пятый интегралы в тождестве (4) равны соответственно

nah30.wmf, nah31.wmf,

nah32.wmf. (7)

Поскольку интеграл nah33.wmf, то, пренебрегая им в левой части (4) (неравенство только усилится), с учётом (5)–(7) получаем

nah34.wmf

nah35.wmf. (8)

Полученное неравенство (8) теперь будем интегрировать по τ от 0 до t. С учетом начального значения (3) получаем для первого слагаемого:

nah36.wmf. (9)

Для третьего и четвёртого выражений получим:

nah37.wmf,

nah38.wmf. (10)

К выражениям nah39.wmf, nah40.wmf также будем применять неравенство из [4, с. 172], а с учетом условия (3) запишем: nah41.wmf, nah42.wmf. Для пятого, шестого и седьмого интегралов имеем

nah43.wmf, nah44.wmf, nah45.wmf. (11)

Учитывая (9)–(11) из (8) имеем

nah46.wmf

nah47.wmf

nah48.wmf. (12)

Сделаем обозначение в последнем неравенстве: nah49.wmf и потребуем, чтобы выполнялось неравенство nah50.wmf. Также заметим, что nah51.wmf, nah52.wmf ввиду условий nah53.wmf, nah54.wmf, nah55.wmf. С учетом этого, сократив неравенство на 1/2, из (12) будем иметь

nah56.wmf

nah57.wmf. (13)

В (13) обозначим

nah58.wmf.

Тогда из (13) можем записать

nah59.wmf. (14)

Введем в (14) обозначение: nah60.wmf, с учетом которого неравенство (14) перепишется в виде nah61.wmf. Далее, применяя лемму 1.1 для нестационарных задач ([4], стр.152), из последнего неравенства можем иметь неравенство: nah62.wmf. Теперь, учитывая последнее неравенство и введённые выше обозначения, записываем:

nah63.wmf. (15)

Учитывая (15), из неравенства (13) получаем неравенство:

nah64.wmf, (16)

здесь M(t) – величина положительная, которая зависит от коэффициентов уравнения (1) и размеров области QT. Из полученной априорной оценки (16) можем сделать вывод, что решение задачи (1)–(3) устойчиво по начальному значению, граничным данным и правой части.

Разностная схема

Будем предполагать в дальнейшем, что решение задачи обладает требуемой по ходу изложения гладкостью. В замкнутой области nah65.wmf строится сетка

nah66.wmf,

где nah67.wmf, nah68.wmf, nah69.wmf – шаг сетки nah70.wmf по переменной x, N – число разбиений по x, nah71.wmf – шаг сетки nah72.wmf по переменной t, j0 – число разбиений по t. Для уравнения (1) запишем разностное уравнение с параметром в виде

nah73.wmf (17)

где σ – параметр, nah74.wmf, nah75.wmf, nah76.wmf, nah77.wmf, nah78.wmf, nah79.wmf – дискретный аналог дробной производной, nah80.wmf. В классе достаточно гладких функций u(x, t) справедливо равенство: nah81.wmf (Шхануков М.Х. Доклады РАН. – 1996. – Т. 348. С. 746–748). Разностное уравнение (17) аппроксимирует уравнение (1) с точностью O(h2 + τ).

Аппроксимацию при x = 0 краевого условия (2) nah82.wmf, дающую точность O(h + τ), повышаем, следуя [8], до порядка O(h2 + τ). Получаем

nah83.wmf,

где nah84.wmf, nah85.wmf. Аналогично, для (2) при x = l получаем

nah86.wmf,

где nah87.wmf, nah88.wmf.

Итак, разностный аналог задачи (1)–(3), дающий точность O(h2 + τ), запишется в виде

nah89.wmf, (18)

nah90.wmf, (19)

nah91.wmf, (20)

nah92.wmf, nah93.wmf, (21)

где nah94.wmf, nah95.wmf, nah96.wmf, nah97.wmf, nah98.wmf.

Для достижения порядка аппроксимации nah99.wmf при построении разностной схемы потребовалась достаточно высокая гладкость решения nah100.wmf, для чего необходимо nah101.wmf.

Устойчивость разностной схемы

Для доказательства устойчивости построенной разностной схемы будем пользоваться принципом максимума. Для этого разностную схему (18)–(21) приведем к каноническому виду [8, с. 228]:

nah102.wmf (22)

где ω – сетка связная; Ш′(Р) – окрестность узла P, не содержащая сам узел P, F(P) – известная правая часть. Для коэффициентов (22) должны выполняться условия: A(P) > 0 для всех P∈ω; B(P, Q) > 0 для всех P, Q∈ω; nah103.wmf Р∈ω. Рассмотрим случай σ = 1. Тогда (22) имеет вид: nah104.wmf. Расписав в индексной форме с учётом того, что nah105.wmf, nah106.wmf, имеем

nah107.wmf

nah109.wmf.

Здесь коэффициенты:

nah110.wmf,

nah111.wmf, nah112.wmf.

Выполняются условия:

A(P) > 0, B(P, Q) > 0, nah113.wmf. (23)

В точке nah114.wmf для (23) будем иметь

nah115.wmf

nah116.wmf.

Здесь коэффициенты равны

nah117.wmf,

nah118.wmf, nah119.wmf.

С учетом неравенств nah120.wmf, nah121.wmf имеем выполнение условий на коэффициенты:

A(P) > 0, B(P, Q) > 0, nah122.wmf. (24)

Аналогично, в точке nah123.wmf для граничного условия (20) имеем

nah124.wmf

nah125.wmf.

Здесь коэффициенты имеют вид

nah126.wmf,

nah127.wmf, nah128.wmf.

С учетом условий nah129.wmf, nah130.wmf имеем выполнение условий:

A(P) > 0, B(P, Q) > 0, nah131.wmf. (25)

Из неравенств (23)–(25) на основании теоремы 3 [8, с. 228], для разностной задачи (18)–(21) следует справедливость оценки в норме пространства С: nah132.wmf, откуда следует устойчивость решения разностной схемы в равномерной метрике.