Scientific journal
International Journal of Applied and fundamental research
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,564

USING THE INVERSE KINEMATICS AND THE MATLAB SYSTEM FOR CONTROLLING THE STEWART PLATFORM

Seydakhmet A.Zh. 1 Abduraimov A.E. 1 Kamal A.N. 1
1 Al-Farabi Kazakh National University
1537 KB
The model of the Stewart platform is created. When developing the control system, used the inverse kinematics equations programmed in the Matlab system. To establish the connection of the program written in the Matlab system, the microcontroller Arduino was used in the control system. Servo drives were controlled by moving sliders configured for three movements and three rotations of the center of gravity of the platform in a special window. This window also controls the sliders of each of the six engines and the animation of the platform motion, depending on the movement of the sliders. The dynamic model of the Stewart platform was obtained using the SimMechanics embedded library in the Matlab Simulink system and the three-dimensional model of the Stewart platform.
Stewart platform
kinematics
dynamics
model

Исследование кинематики, динамики и управление платформой Стюарта (ПС) имеется во многих публикациях, в частности [1–3]. Была выбрана конструкция рычажной ПС с шестью степенями свободы и управляемой шестью сервоприводами.

Целью настоящей работы является проектирование, изготовление макета, создание системы управления ПС, имеющей простую конструкцию и низкую стоимость.

Материалы и методы исследования

На рис. 1 показана трехмерная модель ПС, созданная в компьютерной системе Inventor.

Как видно из рисунка, размеры ПС проектировались с учетом размеров сервопривода марки SM-S8330M. На двигатель надевается рычаг. Стержень с двумя сферическими шарнирами на концах соединяется снизу с рычагом, сверху с платформой. Основные детали ПС были изготовлены из пластмассы на лазерном станке с использованием компьютерных моделей.

Результаты исследования и их обсуждение

Для управления сервоприводами ПС была рассмотрена обратная кинематика ПС, поскольку прямая кинематика дает 40 возможных решений [1]. Сама платформа Стюарта состоит из подвижной платформы и основания, соединенных шестью стержнями со сферическими шарнирами на концах с шестью рычагами.

seyd1.tif

Рис. 1. Трехмерная модель ПС, созданная в компьютерной системе Inventor

Основание имеет систему координат с осями х, у, z. Платформа имеет свою подвижную систему координат х’, у’, z’. Начало координат платформы определяется с помощью 3 поступательных перемещений вдоль осей х, у, z относительно основания. Три угла поворота вокруг осей определяют ориентацию платформы по отношению к основанию: поворот на угол ψ вокруг оси z, поворот на угол q вокруг оси у, поворот на угол j вокруг оси х.

Рассмотрим поворот относительно оси z на угол ψ. Тогда матрица вращения Rz(y) имеет вид

sejd01.wmf

и sejd02.wmf

Аналогично, имеем матрицу вращения для поворота вокруг оси у на угол q

sejd03.wmf

Для третьего поворота на угол j вокруг оси х имеем

sejd04.wmf

Полная матрица вращения платформы по отношению к основанию затем определяется по формуле

sejd05.wmf

Теперь рассмотрим i-ый стержень платформы Стюарта.

Координаты qi точки cсоединения верхней точки Pi относительно системы координат основания задаются уравнением

sejd06.wmf

Здесь вектор T описывает линейное перемещение начала координат платформы по отношению к системе координат основания, pi – является вектором, определяющим координаты точки соединения Pi относительно системы координат платформы.

Аналогичным образом длина i-ого стержня задается в виде

sejd07.wmf

где bi – вектор, определяющий координаты нижней точки Bi соединения стержня. С помощью 6 уравнений определяют длины 6 стержней, таким образом определяется положение и ориентация платформы.

На рис. 2 также показан сервопривод с центром вращения в точке Вi. Необходимо определить угол поворота вала сервопривода. При нахождении формулы использовались следующие обозначения: а – длина рычага сервопривода, Аi – точки соединения рычага с нижней точкой стержня i-го сервопривода с координатами а = [xa, ya, za] в системе координат основания, Вi – точки вращения центра рычага сервопривода с координатами b = [xb, yb, zb] в системе основания, Pi – точки соединения верхнего шарнира стержня с платформой, с координатами р = [xр, yр, zр] в системе координат платформы, S – длина стержня, li = длина i-ого стержня, α – угол между рычагом сервопривода и горизонталью, β – угол между рычагом сервопривода и осью х.

seyd2.tif

Рис. 2. Системы координат основания и платформы

Для четных и нечетных стержней можно записать

sejd08.wmf

Рассмотрение геометрии рис. 2 приводит к уравнению:

sejd09.wmf

где

sejd10.wmf

sejd11.wmf

sejd12.wmf

sejd13.wmf

Для определения положения, с которого начинается движение, выберем положение, когда платформа находится на высоте h0 над основанием и нет поступательного или вращательного движений (рычаг и стержни находятся под прямым углом друг к другу). Тогда

sejd14.wmf

В этом случае

sejd15.wmf

sejd16.wmf

sejd17.wmf

sejd18.wmf

sejd19.wmf

Для спроектированной трехмерной модели был изготовлен макет ПС из пластика и металлических деталей. Для управления сервоприводами использовался микроконтроллер Arduino. Размеры деталей: а = 58 мм, S = 184 мм, bi = 600, 00, 1800, 1200, –600, –1200, углы точек закрепления шарниров на платформе с осью х – gр = 334,20, 85,80, 94,30, 205,80, 214,20, 325,80, углы точек закрепления сервопривода на основании с осью х – gb = 7,60, 52,40, 127,60, 172,40, 247,60, 292,40.

seyd3.tif

Рис. 3. Макет платформы Стюарта

seyd4.tif

Рис. 4. Окно с ползунками управления и анимацией движения ПС

seyd5.tif

Рис. 5. Модель ПС в системе Matlab Simulink

Для проверки работоспособности изготовленного макета ПС, создания анимации движения и для управления сервоприводами была разработана программа в системе Matlab. Управление сервоприводами осуществлялось путем перемещения ползунков, настроенных на три перемещения и три вращения центра тяжести платформы в специальном окне (рис. 3). Это окно имеет также управление ползунками каждого из шести двигателей и анимацию движения платформы, зависящую от перемещения ползунков. Кроме того, в окне имеется кнопка для установки начального положения ПС. Для установления связи программы написанной в системе Matlab к системе были подключены модули управления микроконтроллером Arduino. Таким образом, перемещение ползунка соответствующей координаты дает нам перемещение как на трехмерной анимации в окне, так и в самом макете ПС.

Диапазон движения платформы вдоль х, у и z осей составляет примерно ± 18, ± 19 и ± 16 мм, повороты вокруг осей х, у и z составляют около ± 60, ± 60 а также ± 70 соответственно.

Точность платформы ограничена в основном разрешающей способностью сервоприводов. Скорость работы сервоприводов составляет 0,22 сек 60 °, крутящий момент двигателя – 30 кг/cм.

С помощью встраиваемой библиотеки SimMechanics в систему Matlab Simulink и трехмерной модели платформы Стюарта получили блоки, которые с высокой точностью описывают твердые тела с учетом их массово-инерционных характеристик, расположения, степеней свободы и связей между ними, а также измерять параметры их движения под действием сил и моментов в различных системах координат.

С помощью этих блоков смоделировали механическую модель платформы Стюарта в системе Matlab Simulink.

Также была написана программа в системе Matlab для управления моделью платформы Стюарта. Каждый ползунок в программе отвечает за один из шести двигателей. Кнопка DEFAULT отвечает за сброс значений ползунков, а кнопка Scope выводит графики изменения положения и скорости каждой ноги платформы Стюарта.

Выводы

Создан макет платформы Стюарта. С использованием уравнений обратной кинематики, системы Matlab и микроконтроллера Arduino разработана система управления платформой Стюарта. Динамическую модель платформы Стюарта получили с помощью встраиваемой библиотеки SimMechanics в системе Matlab Simulink и трехмерной модели платформы Стюарта.