Scientific journal
International Journal of Applied and fundamental research
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,578

THE SIMULATION OF NONLINEAR DEVELOPMENT OF NATURAL DISTURBANCES IN THE SUPERSONIC BOUNDARY LAYER IN THE FRAMEWORK OF THE WEAKLY NONLINEAR STABILITY THEORY

Terekhova N.M. 1
1 Khristianovichs Institute of theoretical and applied mechanics SB RAS
2171 KB
In the framework of the weakly nonlinear stability theory considers the interaction of natural disturbances in a supersonic boundary layer on an impermeable insulated surface. The first level of nonlinear interaction is investigated in three-wave resonance systems. We study group interaction (joint realization of several simple triplets). The disturbance represented a wide range of frequencies with the unknown azimuthal composition of the vortex unstable waves. The possibility of energy redistribution in such systems is realized in the course of realization of the nonlinear interaction of components, within the framework of resonance bonds. The model is designed to test the dynamics of natural unstable waves recorded on the amplitude-frequency spectra by experimental methods. It is shown that resonance interactions are adequate to real processes in the early stages of the transition, but it is required to refine the azimuthal composition of the frequency components.
supersonic boundary layer
three-wave resonant system
the vortex disturbances

Накопленный к настоящему времени экспериментальный материал по изучению ранней стадии перехода от ламинарного к турбулентному режимам обтекания стимулирует создание новых и применение уже имеющихся методов математического моделирования этого важного этапа потери устойчивости сверхзвукового потока. В последние годы проводится углубленное изучение ряда методов эволюции возмущений в сверхзвуковых пограничных слоях сжимаемого газа. Эти работы можно разделить на две группы. В первой группе развиваются методы прямого численного моделирования систем уравнений в частных производных. Во второй расчеты проводятся в рамках традиционного метода возмущений, сводящегося к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений для средних характеристик и малых возмущений. Далее применяются положения слабонелинейной теории устойчивости, и исследования проходят на основе модельного подхода изучения взаимодействия в трехволновых системах (триплетах). Физическое обоснование такого моделирования заключается в изучении эволюции одной волны в силовом поле двух других волн, проходящее в условиях синхронизации их фаз.

Амплитудные уравнения для таких трехволновых систем получены при использовании стандартной процедуры осреднения и условия разрешимости [1].

Связь теории и эксперимента проходила в тесном сотрудничестве расчетной группы с исследовательским коллективом экспериментаторов, работающих на сверхзвуковой малотурбулентной аэродинамической трубе Т-325 ИТПМ им. С.А. Христиановича СО РАН, где уже длительное время изучают состав и продольную динамику как вводимых искусственно (контролируемых), так и естественных возмущений [2].

К настоящему времени первый раздел достаточно изучен – при невысоком начальном уровне возмущений реализуется субгармоническая неустойчивость, закономерности которой качественно и количественно описываются нелинейной моделью взаимодействия в резонансных триадах [1]. В отличие от первого, раздел изучения динамики естественных возмущений значительно менее популярен и соответственно – исследован.

В настоящее время четко установлено, что динамика развития естественных возмущений отличается от динамики развития контролируемых. Для них фиксируется широкий спектр частот при полном отсутствии данных об азимутальном составе компонент спектра, а перераспределение энергии осуществляется не только в субгармоническую область, но и в область высоких частот (обертонов). В этих условиях наряду с рассмотрением синхронизованных частотных триплетов возникает необходимость удовлетворить условиям фазового синхронизма и по азимутальным волновым числам.

Работа проведена в два этапа. Предварительно была подробно изучена принципиальная возможность моделирования взаимодействия в триплетах естественных возмущений произвольного азимутального состава. На втором этапе последовательно изучены взаимодействия в так называемых групповых триплетах, составленных из нескольких простых. В окончательном варианте, который представлен в данной работе, задействовано 12 синхронизированных частот, общее число простых триплетов, входящих в групповой, равнялось 36. Моделировались два набора синхронизованных азимутальных чисел, в которых основными несущими компонентами являются трехмерные волны, имеющие максимальные инкременты внутри нейтральной кривой при начальных числах Рейнольдса Re = 300 и 600.

Параметры [2] являлись отправными при расчетах – рассмотрен пограничный слой на непроницаемой теплоизолированной пластине под нулевым углом атаки при числе Маха М = 2, γ = 1,4, температуре торможения 310 К, числе Прандтля s = 0,72 и единичном числе Рейнольдса Re1 = 12,5×106 m-1. Интервал продольных чисел Рейнольдса соответствовал экспериментальному, введено расчетное число Рейнольдса ter01.wmf.

Основные соотношения и методы решения

Основные положения нелинейной модели взаимодействия возмущений в трехволновых резонансных системах в пограничных слоях сжимаемого газа подробно изложены в [1]. Необходимо перечислить основные положения используемого метода возмущений. Рассматривается возмущенное поле скоростей ter02.wmf плотности ter03.wmf давления ter04.wmf = ter05.wmf и температуры ter06.wmf сжимаемого газа, tereh01.wmf в безразмерных координатах (X, Y, Z) = (x, y, z)/δ (δ = ter07.wmf – характерный линейный масштаб). Здесь ε – масштаб пульсационного поля (ε << 1); e – индекс параметров на внешней границе; величины со штрихами и без штрихов – пульсационные и средние величины). Решение строится с помощью двухмасштабного разложения продольной координаты, вводятся «быстрый» и «медленный» масштабы (X и ξ = εX), характеризующие разницу скоростей изменения фазы и амплитуды возмущений.

Решения для волн записываются в виде суперпозиции линейных компонент и составляющих более высокого порядка

ter08.wmf j = 1, 2, 3,

где ter10.wmf, A – медленно меняющаяся амплитуда; к.с. – комплексно-сопряженные величины; ter11a.wmf ter11b.wmf – инкремент; частота ter12.wmf – вещественная величина; волновые числа α, β и частота связаны дисперсионным соотношением α = α(ω, β) линейной теории.

Краевые условия для возмущений – условия прилипания {u, v, w, Θ} = 0 при Y = 0, и условия ограниченности {u, v, w, Θ} > 0 при Y > ∞. Для возмущений первого порядка из так называемой системы Дана – Линя [1] находятся собственные значения α при заданных β, ω и Re, а также собственные амплитудные функции линейных волн (1).

Во втором порядке по ε согласно слабонелинейной теории, используя высшие гармоники (1), определяют амплитуду волны A. В основе резонансной модели лежит процесс попарного взаимодействия волн в поле третьей волны в условиях синхронизации их фаз ter13.wmf. Для простой трехволновой системы j, k, l волн амплитудные уравнения имеют вид

ter14.wmf

где Δ – коэффициент фазовой синхронизации; ter15.wmf – решения сопряженных к системе Дана – Линя уравнений, Q – нелинейные члены. Начальные значения амплитуд Aj задавались через начальные интенсивности I волновых компонент. Вводились безразмерные частотный параметр F (ω = ReF) и азимутальное волновое число b = 103β/Re. Рассматривались 3D (трехмерные) волны с b ≠ 0.

Результаты исследования и их обсуждение

Приведем амплитудно-частотные спектры естественных возмущений, полученных в Т-325 экспериментальной группой (А.Д. Косинов, Н.В. Семенов, Ю.Г. Ермолаев). Спектры получены для разных диапазонов частот в широкой полосе Re. Они характеризуются отсутствием ярко выраженных преобладающих компонент, более высокими начальными амплитудами низкочастотных составляющих и преобладающим ростом высокочастотных компонент вниз по потоку. Диапазон применимости слабонелинейного приближения оценивается 600 < Re < 900. При моделировании динамики естественных возмущений были рассмотрены два частотных диапазона. Узкий диапазон частот охватывал полосу (2,5 ≤ f ≤ 30) кГц с шагом Δf = 2,5 кГц. Это соответствовало безразмерным частотным параметрам (0,048 < F < 0,576) 10–4.

Большой диапазон (5 ≤ f ≤ 60) кГц (0,096 < F < 1,152) 10–4 пройден с шагом Δf = 5 кГц.

Второй крайне важной особенностью являлась необходимость синхронизовать в триплетах не только частоты ω, но и азимутальные волновые числа β, при полном отсутствии данных об их реальных значениях. Для синхронизации по β необходимо решать алгебраическую систему на совместность. При этом возникает один свободный азимутальный номер, через который определяются остальные.

Такой определяющей компонентой выбрана волна на частоте f = 20 кГц с азимутальным волновым числом 2b = 0,16. В процессе расчета моделировалось также несколько других вариантов. В представленной таблице показаны комбинации частот и волновых чисел, признанных оптимальными, а на рис. 2 показаны инкременты этих компонент при Re.

ter1.tif

Рис. 1. Эволюция естественных возмущений узкого диапазона частот

ter2.tif

Рис. 2. Примеры выбора несущих азимутальных волновых чисел по значениям инкрементов в широком диапазоне Re

Комбинации частот и волновых чисел, признанных оптимальными

 

104 F

b

f кГц

 

104 F

b

f кГц

 

104 F

b

f кГц

1

0,048

0,02

2,5

2

0,096

0,04

5

3

0,144

0,06

7,5

4

0,192

0,08

10

5

0,240

0,10

12,5

6

0,288

0,12

15

7

0,336

0,14

17,5

8

0,384

0,16

20

9

0,432

0,18

22,5

10

0,480

0,20

25

11

0,528

0,22

27,5

12

0,576

0,24

30

ter3.tif

Рис. 3. Результаты моделирования (левая и правая картинки) в сравнении с экспериментом (центр)

ter4a.tif ter4b.tif

Рис. 4. Расчетные амплитуд естественных возмущений в нелинейной области эволюции на М = 2 для двух диапазонов частот

ter5.tif

Рис. 5. Расчетные амплитуд естественных возмущений в нелинейной области эволюции на М = 2 при другой несущей частоте

На рис. 3 показано сравнение результатов моделирования и экспериментальных данных в слабонелинейной области для двух вариантов начальных значений интенсивности разных компонент. Результаты оказались в достаточной степени близки друг другу и экспериментальным данным (Косинов, Семенов, Ермолаев), что свидетельствует об адекватности рассматриваемой модели истинному процессу эволюции естественных вихревых возмущений при умеренном сверхзвуковом числе Маха М = 2.

Полные распределения спектров для всех чисел Рейнольдса показаны на рис. 4. Качественное сопоставление этих расчетных спектров можно сделать с данными рис. 1.

На рис. 5 показаны спектры узкого диапазона частот при другом выборе несущей частоты (не 20, а 15 кГц). Как видно из сравнения рис. 3 и 5, такая перенормировка не слишком сказывается на характере продольной динамики спектральных компонент – по-прежнему сильнее растут высокочастотные компоненты и следует ожидать, что при больших Re картины станут адекватны.

Определенные усилия были предприняты для понимания того, каким образом формируется в эксперименте начальный спектр при Re = 600, Для этого расчеты были перенесены в более устойчивую область при низком Re0 ~ 300, и изучалась продольная динамика возмущений при разных начальных интенсивностей в Re0. Было рассмотрено несколько вариантов разных комбинаций:

а. I(F, b, Re0) = const,

в. I(F, b) = exp(-αi Re0),

с. I(F1, b1) = 10k, (F12, b12) = 10k-1,

d. различные комбинации a–c.

Поставленная цель не была достигнута, и вопрос так и остается вопросом, ждущим исследования. В целом можно констатировать, что, хотя рассмотренная модель взаимодействия возмущений в рамках трехволновых резонансных систем является первым шагом в описании динамики естественных волн в слабонелинейной области развития и сильным упрощением реальных нелинейных процессов, она отражает ряд важных особенностей и адекватна истинному процессу. Конечно, в дальнейшем эксперименты должны дать ряд более точных определяющих параметров, которые позволят приблизить моделирование к реальному процессу.

Работа поддержана РФФИ (код проекта № 15-01-00866а).