Scientific journal
International Journal of Applied and fundamental research
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,514

OSCILLATIONS OF THE PLATE PIVOTALLY FASTENED AND ELASTIC SUSPENDED ON VINKLEROV BASE

Agalarov Dzh.G. 1 Mamedova G.A. 1
1 Institute of Mathematics and Mechanics of the National Academy of Sciences of Azerbaijan
In practice the plates suspended in various ways often meet. Obviously expressed decisions as a rule are defined at balance of plates. At fluctuation of a plate frequency obviously analytically isn’t represented. In this work fluctuation of circular elastic plates on Vinklerov the basis is considered at difficult by fortified. On a contour fixing takes place pivotally. In the same time the hinge leans is elastic. It is explained by the fact that at fluctuations of a plate the support gives in that can have places at insufficient rigidity of a support. Here the rigidity of a support as function of frequency of t pays off. е the return problem is solved. The solution of a task is presented in the form of functions of Calvin or Bessel. Results of calculation are presented in the form of schedules. Depending on frequency the decision in the form of Bessel functions with big frequencies can take place or in the form of Calvin’s functions with smaller frequencies. Here the frequency of fluctuations qualitatively influences a picture of the movement. At excess by the frequency of a certain value to a picture of the movement determined by Bessel functions takes the form determined by Calvin’s functions. It is connected with a prevalence of efforts. At certain ratios of cylindrical rigidity of a plate and frequency of free fluctuations the border of a qualitative picture of fluctuations takes place: on one side of this border of fluctuation are defined by Bessel functions, on another – Calvin’s functions.
oscillations
frequency
radius
stiffness
plates

Круговые пластины широко применяются в различных отраслях техники в качестве рабочих элементов в нефтеперерабатывающей промышленности, авиастроении, в гражданском строительстве и др.

Определению собственных частот колебаний круговых пластин, как свободных так и покоящихся на упругом основании типа Винклера, посвящён ряд работ [1–4]. Только для статических задач об изгибе прямоугольных пластинок, лежащих на упругом основании с переменным коэффициентом постели, известны решения. В статье [5] расчёт таких пластинок ведется методом конечных элементов, а в [6] – методом Галёркина.

В данной работе рассматриваются свободные колебания круглой пластины, подвешенной различными способами с Винклеровым основанием. Очевидно, вид подвески будет сказываться на частоте колебаний. На практике опора пластины может оказаться отличной от планируемой, и поэтому необходимо знание, как она влияет на частоту колебаний. В работе [7–10] исследованы симметричные поперечные колебания металлополимерной трехслойной круговой пластины, связанной с упругим основанием, при тепловом ударе. Для внешних слоев принимаются гипотезы Кирхгофа, в легком заполнителе деформированная нормаль прямолинейна и несжимаема по толщине. Получены аналитические решения, проведен их численный анализ.

В работе [11] представлено решение уравнения собственных колебаний лежащей на деформируемом основании трансверсально-изотропной пластины, один край которой жестко закреплен, а три других шарнирно оперты. Задача решается методом декомпозиций, получено частотное уравнение для определения собственных поперечных колебаний пластины.

В работе [12] рассматриваются задачи свободных колебаний круглых пластин при различных вариантах подвески.

При колебаниях пластины на его опоры действуют значительные усилия, в результате в которых они деформируются, и естественно, это влияет на частоту колебания пластины.

Цель работы: исследование колебаний пластины в случае податливости опоры. Выяснить особенности колебаний при наличии основания Винклера, а именно в одном случае решение представляется при помощи функций Бесселя, в другом – при помощи функций Кельвина.

Уравнение колебаний пластины имеет вид [13, с. 678]:

agal01.wmf

здесь подставляя agal02.wmf, тогда получим

agal03.wmf (1)

где agal04.wmf, β – функции частоты; agal05.wmf – цилиндрическая жёсткость пластины, Е – модуль упругости материала пластинки; agal06.wmf – масса пластины, h – толщина пластинки, ρ – плотность материала; k – сопротивление грунта оседанию, когда оседание, отнесённое к единице поверхности, равно единице; r0 – радиус пластины, ω – частота колебаний, ν – коэффициент Пуассона, Δ – оператор Лапласа.

Решение уравнения (1) имеет вид:

agal07.wmf, (1/)

где agal08.wmf.

Если agal09.wmf. (2)

Если agal10.wmf. (2/)

В дальнейшем понадобятся производные agal11.wmf, agal12.wmf Бесселевых и agal13.wmf, agal14.wmf Кельвин функций.

Пластина шарнирно закреплена по контуру и упруго опирается (рис. 1).

agal1.wmf

Рис. 1. Пластина шарнирно закреплена по контуру и упруго опирается

Условие шарнирного закрепления имеет вид

agal15.wmf (3)

Условие упругого опирания при r = ξ

agal16.wmf (4)

здесь λ – жесткость постели Винклера.

Подставляя (2) в (3) и (4), получаем, учитывая

agal17.wmf agal18.wmf;

agal19.wmf

agal20.wmf

agal21.wmf

agal22.wmf

agal23.wmf (5)

agal24.wmf (6)

Получим из (5)

agal25.wmf (7)

agal2.tif

Рис. 2. График I функции жесткости постели Винклера в зависимости от частоты (то есть обратное решение)

Подставляя (7) в (6), имеем

agal26.wmf (8)

На рис. 2 представлен график функции λ(β)

Если agal27.wmf.

Подставляя (2/) в (3) и (4), получаем, учитывая

agal28.wmf

agal29.wmf

agal30.wmf

agal31.wmf

agal32.wmf

agal33.wmf

agal34.wmf (9)

agal35.wmf (10)

Получим из (9)

agal36.wmf (11)

Подставляя (11) в (10), имеем

agal37.wmf (12)

На рис. 3 представлен график функции λ(β).

agal3.tif

Рис. 3. График II функции жесткости постели Винклера в зависимости от частоты (то есть обратное решение)

Представлены свободные колебания для различных возможных случаев закрепления круглых пластин.

Заключение

Впервые изучается влияние податливости опоры на колебания упругих систем, в частности, на свободные колебания пластины. Притом при наличии упругих оснований выявлено интересное явление: характер колебаний качественно зависит от соотношения параметров постели Винклера и упругости опоры. Учёт изученных явлений представляет интерес для применения на практике.

Следует учитывать, что постель Винклера ведёт к качественно изменяющемуся состоянию колебаний, характеризующемуся выражению решений различными классами функции, а именно Бесселевыми и функцией Кельвина.