Scientific journal
International Journal of Applied and fundamental research
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,564

INEQUALITIES IN VARIOUS METRICS BETWEEN TRIGONOMETRIC BEST APPROXIMATIONS IN THE SPACE OF LORENTZ

Muratova G.K. 1 Nurpeysova A.A. 1
1 S. Seifullin Kazakh Agrotechnical University
One of the important problems of harmonic analysis is the study of the relationship between the integral properties of functions and the properties of the summability of its Fourier coefficients (Fourier transforms). The Lorentz space Lpθ is the mean interpolation space L1 аnd L∞, which is related to the Lebesgue space Lp. They are of great use in differential equations, in the theory of Fourier series, in approximation theory, in the theory of function spaces. The article is devoted to the investigation of the Lorentz space in the theory of trigonometric Fourier series, the same work is devoted to the study of the summability of the coefficients and the Fourier transform on general orthonormal systems in generalized Lorentz spaces. In this paper we consider the connection between trigonometric best approximations in the Lorentz space in different metrics and trigonometric best approximations and summability of the coefficients and the Fourier transform with respect to general orthonormal systems in generalized Lorentz spaces. Also inequalities in various metrics between trigonometric best approximations are proved. The results of the work are of a theoretical nature and it can find application in various branches of mathematics: the theory of interpolation of function spaces, operator theory, embedding theorems for function spaces.
Lorentz space
trigonometric Fourier coefficients
function theory
trigonometric best approximation
trigonometric polynomial

Статья посвящена исследованию пространства Лоренца в терминах теории тригонометрических рядов Фурье и тригонометрических наилучших приближений. В данной статье рассмотрена связь между тригонометрическими наилучшими приближениями в пространстве Лоренца в разных метриках. Связь между наилучшими приближениями в пространстве Lp[0; 2π] была установлена А.А. Конюшковым, П.Л. Ульяновым и М.Ф. Тиманом [1, c. 86–92].

Эти вопросы также доказаны Е.С. Смаиловым [2, c. 140–151].

Пусть f(x) – измеримая на [0, 2π] в смысле Лебега функция, f*(x) – невозрастающая перестановка функции murat01.wmf [3, с. 104–131]. Пусть murat02.wmf. Будем говорить, что функция f(x) принадлежит пространству Лоренца Lpθ, если

murat03.wmf

Пусть Tn(x) – тригонометрический многочлен порядка не выше, чем n∈N, f∈Lpθ[0; 2π], 1 < p < +?+∞, 1 ≤ θ ≤ +∞. Наилучшим приближением функции f в пространстве Lpθ[0; 2π] посредством тригонометрических полиномов порядка не выше, чем n, назовем величину

mur01.wmf

Пусть 1 ≤ p < ∞, 1 ≤ θ < ∞. Пространства Лоренца Lpθ определяются следующим образом

mur02.wmf

Если θ < ∞,,

mur03.wmf.

Если θ = ∞,

mur04.wmf,

где f*(t) – невозрастающая перестановка функций mur05.wmf.

Пространства Лоренца Lpθ являются более тонкой шкалой пространств, чем шкала пространств Лебега, и имеют большое применение в теории рядов Фурье, в дифференциальных уравнениях, в теории функциональных пространств.

Пусть 1 ≤ p < ?. В случае, когда p = θ, пространства Лоренца Lpθ совпадают с пространствами Лебега Lp [4, с. 4–16].

Основными свойствами пространства Лоренца являются зависимости ее параметров, т.е. имеют место следующие свойства:

1. Если 1 ≤ p < ∞, 1 ≤ θ < θ1 < ∞, тогда имеет место вложение

Lpθ↪mur06.wmfmur07.wmf.

2. Для любого ε > 0 иммет место следующее вложение пространств

Lpθ↪mur08.wmf.

Далее приведем необходимые вспомогательные предложения.

Лемма 1. Пусть mur09.wmf, mur10.wmf и Tn(x) – произвольный тригонометрический многочлен. Тогда справедливо следующее неравенство, называемое неравенством Бернштейна:

mur11.wmf,

где mur12.wmf не зависит от Tn.

Лемма 2. Пусть 1 < p < q < +∞, 0 < ? < +∞ и murat04.wmf – произвольная последовательность тригонометрических многочленов. Тогда murat05.wmf справедливо следующее неравенство:

murat06.wmf,

где murat07.wmf не зависит от murat08.wmf и murat09.wmf

Лемма 3. Пусть mur14.wmf, mur15.wmf и f∈Lpθ[0; 2π].

murat10.wmf – последовательность ее тригонометрических многочленов наилучшего приближения. Тогда murat11.wmf справедливо неравенство

murat12.wmf,

где murat13.wmf не зависит от f и n, m.

Применяя методику, предложенную в [5, с. 305–309], доработанную с учетом особенности пространства Лоренца, доказывается следующая вспомогательная теорема, которая сама по себе является важным утверждением. Для тригонометрических рядов также рассмотрено в [6, с. 213–223].

Теорема 1. Пусть 1 < p < q < +∞, 1 < θ < +∞ и

mur16.wmf, mur17.wmf,

тогда имеет место следующее неравенство:

mur18.wmfmur19.wmf

Теорема 2. Пусть mur20.wmf

Если для некоторого q: mur22.wmf ряд

mur23.wmf

сходится, то mur24.wmf и справедливы неравенства:

mur25.wmf,

mur26.wmf

гдеmur27.wmf – наилучшее приближение функций f∈Lpθ[0; 2π].

Доказательство. Пусть f∈Lpθ[0; 2π]. Tn(x) тригонометрический многочлен наилучшего приближения функций f

mur28.wmf

mur29.wmf при mur30.wmf, mur31.wmf

Пусть mur32.wmf.

mur33.wmf,

где Tn(x) – многочлен наилучшего приближения функций f∈Lpθ[0; 2π].

Тогда согласно теореме 1 при m < n имеем

mur34.wmfmur35.wmf

mur36.wmfmur37.wmf (1)

Так как ряды

mur38.wmf

сходятся или расходятся вместе, то в силу условия теоремы правая сторона последнего неравенства стремится к нулю при (m, n) > +∞.

mur39.wmf при min(m, n) > +∞.

Следовательно, последовательность mur40.wmf фундаментальна в метрике пространства Lpθ[0; 2π]. Так как пространство Lpθ[0; 2π] полно, то существует φ∈Lqθ[0; 2π] такая, что

mur41.wmf при v > +∞.

Следовательно, φ(x) симметрично к f(x) на [0; 2π]. Таким образом, f∈Lqθ[0; 2π].

Если же в (1) положим m = 2, n > +∞, тогда

mur43.wmfmur44.wmf

Теперь докажем второе неравенство.

mur45.wmf

mur46.wmf, (2)

mur47.wmf. (3)

Теперь рассмотрим, когда ∀k > n:

mur48.wmf. (4)

(3), (4) подставляем в (2):

mur49.wmf

mur50.wmf

Таким образом, мы получили неравенство

mur51.wmf, mur52.wmf

Теорема 3. Пусть 1 ≤ p < q < +∞, 1 ≤ θ < +∞ и f∈Lpθ[0; 2π]. Если для некоторого r∈N и murat15.wmf ряд

murat16.wmf

сходится, то существует производная murat17.wmf и имеют место неравенства

murat18.wmf

mur53.wmf murat19.wmf

Здесь константы murat20.wmf не зависят от f и murat21.wmf

Доказательство. По условию теоремы ряд

murat22.wmf

сходится. Поэтому

murat23.wmf

при murat24.wmf Тогда, согласно лемме 3, последовательность murat25.wmf фундаментальна в пространстве Lpθ[0; 2π]. Поэтому, в силу полноты пространства Lpθ[0; 2π], существует

murat26.wmf

при n > +∞ Так как из условий теоремы также следует, что murat27.wmf и

murat28.wmf при n > +∞,

то mur54.wmf – в смысле С.М. Никольского. В лемме 3 положим m = 1 и n > +∞ Тогда

murat29.wmf

murat30.wmfmurat31.wmf

≤ (лемма 1) murat33.wmf

Так как

murat34.wmf murat35.wmf

то

murat36.wmf

Теперь докажем второе неравенство:

mur55.wmf

mur56.wmf. (1)

murat37.wmf murat38.wmf (2)

Пусть k > n:

murat39.wmf (3)

Далее (2), (3) подставляем в (1):

murat40.wmf murat41.wmf

murat42.wmf

murat43.wmf

murat44.wmf

Таким образом, мы получили неравенство

mur57.wmf murat45.wmf

Теорема доказана.