Электронная эмиссия начинается, если энергия электронов превышает работу выхода для данного материала, для чего электронам необходимо получить добавочную энергию. Одним из методов увеличения кинетической энергии электронов является нагрев тел, что позволяет им преодолевать потенциальный порог, т.е. совершить работу выхода и оторваться от поверхности тела. Вылетающие с поверхности тела электроны формируют термоэлектронный ток [1–3]. Упрощенную схему источника термоэмиссионного тока можно рассматривать как систему из двух электродов, находящихся в вакууме, один из которых, называемый эмиттером, или катодом, при нагреве испускает электроны, второй электрод, называемый коллектором, или анодом, притягивает электроны к себе. Данный электрод обычно имеет более низкую температуру, по сравнению с температурой катода. На практике в качестве эмиттера используются металлический вольфрам, торированный или барированный вольфрам, оксиды и др. Рабочая температура этих материалов для обеспечения максимального тока эмиссии находится в диапазоне от 1000 К до 2700 К. Например [2, 3], для нагрева вольфрамового эмиттера (катода) до температуры 2300–2700 К, при которых он дает плотность тока эмиссии 0,1–0,8 
, требуется источник энергии с удельной мощностью 50–60 
. Самой низкой рабочей температурой среди упомянутых выше эмиттеров обладают оксидные эмиттеры. Для данного эмиттера рабочая температура расположена в диапазоне 1000–1200 К, и для его нагревания необходима удельная мощность 2–3 
, что обеспечивает плотность тока эмиссии 10–70 
.
Следует отметить, что в зависимости от способа нагрева эмиттера термоэмиссионный метод преобразования тепловой энергии находит разные применения. Например, эмиссия электронов за счет нагрева катода находит широкое применение как во многих отраслях техники, так и в научных исследованиях [2]. Устройства, основанные на термоэмиссионной технологии, в которых для нагрева эмиттера задействована ядерная энергия, широко используются в космосе. Подобные устройства покрывают практически весь энергетический диапазон, используемый в космических исследованиях, что позволяет решить комплекс космических и наземных задач с жесткими требованиями по ядерной и радиационной безопасностям [4, 5].
Поскольку в настоящее время энергия Солнца считается перспективной для создания экологически чистых источников электрической и тепловой энергии [6], то конвертирование энергии Солнца в электрическую методом термоэлектронной эмиссии становится актуальной задачей [7]. Этот метод можно рассматривать как альтернативу другим методам, таким как термо- и фотовольтаика. Преимущество этого метода заключается в том, что, во-первых, при нагреве эмиттера термоэмиссионного устройства работает весь спектр солнечного излучения, во-вторых, устройства на его основе малогабаритны. Особенно привлекательным данный метод становится в связи с созданием микро- и наноструктурированной эмиссионных поверхностей [8–10]. Основным моментом, выступающим в пользу использования углеродных нанотрубок в качестве эмиттеров при нагреве с помощью достаточно концентрированной солнечной энергии, является тот экспериментальный факт, что ток 0,1 А достигается в этом случае при температуре эмиттера менее 300 °C [11]. Таким образом, появление низкотемпературных термоэмиссионных материалов позволяет увеличить шанс применения метода термоэлектронной эмиссии в солнечной энергетике. Из вышесказанного следует, что рабочие температуры эмиттеров различаются и лежат в диапазоне температур от 600 К до 2700 К. Отсюда следует, что при использовании солнечной энергии для нагрева эмиттеров необходимо знать плотности светового потока, которые следует использовать для получения требуемого значения температуры эмиссии. Решению этой задачи посвящена настоящая работа.
Нагрев эмиттера
При нагревании эмиттера электроны приобретают энергию, достаточную для преодоления барьера, соответствующего работе выхода эмиттера φэ, и дальнейшего перемещения к коллектору. Там электроны соприкасаются с более холодным материалом, и их энергия падает до значения уровня Ферми коллектора, а избыточная энергия, соответствующая работе выхода коллектора φк, рассеивается посредством излучения. Если φк меньше φэ, то разности энергий электронов на коллекторе и эмиттере оказывается достаточно, чтобы в нагрузке возник ток и генератор мог совершать полезную работу. Для нормальной работы такой системы помимо условия φк < φэ еще требуется, чтобы температура коллектора была намного ниже, чем температура эмиттера. Это условие приводит к тому, что количество эмитируемых из коллектора электронов, движущихся в сторону эмиттера, будет намного ниже, чем от эмиттера к коллектору, и разность потенциалов φэ – φк, необходимая для совершения полезной работы, будет больше.
Очевидно, что при использовании энергии Солнца для нагрева эмиттера до температуры, необходимой для эффективного протекания термоэлектронной эмиссии, требуется применять концентраторы. Концентратор энергии Солнца [12, 13] повышает интенсивность излучения Солнца до значений, которые позволяют эффективно и экономически целесообразно преобразовывать его в заданный вид энергии. Важнейшей интегральной характеристикой концентратора является среднее значение коэффициента концентрации Kc [12], которое задается в виде отношения усредненного значения интенсивности сконцентрированной энергии Солнца, падающего на поверхность приемника Ic к интенсивности энергии Солнца у поверхности Земли P0 в плоскости, нормальной направлению ее распространения, т.е. 
[12–14]. Интенсивность (мощность) излучения Солнца у поверхности Земли P0 называют инсоляцией (insolation) или солнечной постоянной [15].
Рассмотрим простейший термоэмиссионный генератор, состоящий из двух (эмиттер и коллектор) пластинчатых поверхностей, находящихся в вакууме. Предположим, что перпендикулярно поверхности эмиттера падает и затем поглощается, в соответствии с поглощательной способностью его материала α, концентрированный поток энергии Солнца с коэффициентом усиления Kc. Поскольку в вакууме отсутствует теплообмен с окружающей средой, а потери энергии посредством теплопроводности через держатели электродов ничтожно малы, то за время dt количество тепла, соответствующее концентрированному солнечному излучению, поглощенному поверхностью эмиттера S, определяется выражением
(1)
Это количество тепла расходуется на следующие три процесса:
– Поглощение тепла dqT материалом эмиттера:
(2)
где m – масса эмиттера, c – теплоемкость эмиттера.
– Если плотность тока обозначить через jэ, то энергия, необходимая для вылета электронов с поверхности эмиттера, равна φэjэ. Однако большинство электронов при вылете с поверхности металла имеют избыточное значение энергии, которое учитывается в виде средней добавки 2kT. Эта часть затрат тепловой энергии определяется соотношением
(3)
– Теплообмен излучением
(4)
где σ – постоянная Стефана – Больцман, ε – относительная испускательная способность поверхности.
Следовательно, уравнение, описывающее тепловое равновесие, имеет вид
Подставляя значения 
, получим следующее дифференциальное уравнение:
(5)
Здесь использовано соотношение 
для плотности материала эмиттера, h – его толщина.
Полученное дифференциальное уравнение (5) позволяет исследовать нагрев анода до его рабочей температуры, при которой эффективно и стабильно осуществляется термоэлектронная эмиссия. Как видно из (5), процесс нагрева определяется количеством входной энергии, величина которого зависит от коэффициента усиления используемого концентрирующего устройства, от величины инсоляции энергии Солнца и от энергетических потерь в виде излучения. Излучательные потери энергии пропорциональны T4 и также частично энергия уходит на поддержание процесса термоэмиссии. Как следствие, температура анода растет до момента наступления термодинамического равновесия, определяемого температурой равновесия Tp. В этом состоянии мощность поглощенного излучения уравновешивается мощностью потерь на излучение и на термоэмиссию. Как следствие, в уравнении (5) производная 
, и, следовательно, 
. В этом случае уравнение теплового равновесия (5), с учетом уравнения Ричардсона – Дешмана для плотности тока термоэмиссии [1]
, (6)
принимает вид
(7)
Здесь А – некоторая универсальная постоянная приблизительно равная
Уравнение (7) устанавливает связь между входной 
и выходной мощностями термоэмиссионного генератора и температурой равновесия. Как видно из этого выражения, температура равновесия зависит от величины коэффициента усиления концентрирующего устройства. Каждое значение Kc определяется своим значением температуры равновесия Tp. Поэтому при выборе значения Kc в зависимости от материала эмиттера необходимо, чтобы при фиксированном значении инсоляции обеспечивалась стабильная рабочая температура, попадающая в указанный ранее диапазон 600–2700 К.
Ход изменения температуры эмиттера до момента наступления равновесного состояния можно определить, проинтегрировав уравнение (5):
(8)
где tp – время, в течение которого устанавливается равновесное значение температуры на поверхности эмиттера при воздействии концентрированной солнечной энергии.
Используя соотношение для теплового равновесия (7), построим график зависимости Tp от широты земной поверхности, или, точнее, от значения инсоляции солнечного излучения P0, для различных значений Kc (рис. 1).
Рис. 1. Зависимости равновесной температуры эмиттера от значений инсоляции солнечной энергии для различных значений усиления концентрирующего устройства
Рис. 2. Зависимости выходной мощности эмиттера от значений инсоляции солнечной энергии для различных значений усиления концентрирующего устройства и равновесной температуры эмиттера 1500 К
Рис. 3. Зависимости выходной мощности эмиттера от значений инсоляции солнечной энергии для различных значений усиления концентрирующего устройства и равновесной температуры эмиттера 2000 К
Рис. 4. Зависимости выходной мощности эмиттера от значений инсоляции солнечной энергии для различных значений усиления концентрирующего устройства и равновесной температуры эмиттера 2700 К
Поскольку выходная мощность термоэмиссионного генератора определяется выражением
(9)
то, согласно (7) и используя (6) и (9), получаем соотношение, связывающее выходную мощность эмиттера и значение инсоляции солнечного излучения P0
(10)
Из соотношения (10) видно, что кпд эмиттера определяется отношением
(11)
На рис. 2–4 представлены графики зависимости выходной мощности эмиттера от значений инсоляции солнечного излучения для различных коэффициентов усиления концентратора и различных значений равновесной температуры эмиттера.
Выводы
Получено уравнение теплового баланса, которое позволяет исследовать нагрев анода до его рабочей температуры, при которой эффективно и стабильно осуществляется термоэлектронная эмиссия. Из этого уравнения видно, что процесс нагрева определяется количеством входной энергии, величина которого зависит от коэффициента усиления используемого концентрирующего устройства, от величины инсоляции энергии Солнца и от энергетических потерь в виде излучения. Излучательные потери энергии пропорциональны T4 и, также, частично энергия уходит на поддержание процесса термоэмиссии. Как следствие, температура анода растет до момента наступления термодинамического равновесия, определяемого температурой равновесия Tp. В этом состоянии мощность поглощенного излучения уравновешивается мощностью потерь на излучение и на термоэмиссию.
Также показано, что температура равновесия зависит от величины коэффициента усиления концентрирующего устройства. Каждое значение Kc определяется своим значением температуры равновесия Tp. Поэтому при выборе значения Kc в зависимости от материала эмиттера необходимо, чтобы при фиксированном значении инсоляции обеспечивалась стабильная рабочая температура, попадающая в диапазон 600–2700 К.