Scientific journal
International Journal of Applied and fundamental research
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,593

ANALYTICAL METHOD FOR DETERMINING THE BASIC KINEMATIC CHARACTERISTICS OF PLANE BODY MOTION USING METRIC RELATIONS IN THE PLANS OF SPEED AND ACCELERATION

Podobed S.A. 1
1 Polytechnic Institute (branch) M.K. Ammosov North-Eastern Federal University
One of the most urgent problems of pedagogical science is the encouraging of students’ learning activities, which is so far relevant today, for educational motivation is a force that drives students to study disciplines and acquire knowledge that forms competencies. In this regard, along with following the proven recommendations for increasing motivation, the teachers also offer their own approaches to this problem. One of such approaches aimed to increase students’ interest in the program disciplines, in particular, «Theoretical Mechanics» and «Applied Mechanics (theory of machines and mechanisms)», caused this article to be written. The essence of the proposed approach is that through the practical implementation of the didactic principle presented to the content of the program material of the discipline, namely the principle of accessibility, which assumes that the degree of complexity of the educational material should correspond to the level of preparedness and the available stock of knowledge of students, the content and volume of which should be understandable and feasible, respectively – exceedingly complex material lowers motivation. Analysis of the content of the topics presented in textbooks on theoretical mechanics, applied mechanics (theory of machines and mechanisms) shows some of them are difficult to perceive due to the complexity of the algorithm of the methods used, in particular, an analytical method for determining the kinematic parameters of the mechanism links plane motion, the method of closed vector paths, proposed by V.A. Zinoviev. For this reason, an analytical method is proposed for determining the kinematic characteristics of a body performing a plane motion using metric ratios in the plans of speeds and accelerations. As a result, the significance of such scientific discoveries as the plan of speeds and the plan of accelerations has increased; the method possesses visualization and accuracy of calculations, applies analytical expressions containing only algebraic and trigonometric operations, significantly simplifying its algorithm.
plane kinematics
kinematic analysis of plain mechanisms
theory of machines and mechanisms (applied mechanics)
plans of speed and acceleration
learning activity motivation
triangle metric relationships

Для определения кинематических характеристик плоского движения тела применяются как графические (метод планов), так и аналитические методы исследования. Планы скоростей и планы ускорений являются векторными решениями кинематических задач при применении теоремы о скоростях и теоремы об ускорениях плоской фигуры. Графические методы просты и наглядны, но у них невысокая точность, связанная с графическими построениями, и надо строить планы скоростей и ускорений для каждого положения механизма. В литературе, изучающей плоскопараллельное движение, отмечается, что с появлением ЭВМ техническое значение планов скоростей и ускорений утратило свой смысл. Но, с другой стороны, эти планы являются идеальным учебным материалом для изучения плоского движения. Высокоточные аналитические методы содержат сложные алгоритмы, понижающие мотивацию учебной деятельности. Эти обстоятельства определили цель данной работы.

Цель исследования – предложить аналитический метод определения основных кинематических характеристик плоского движения тела, удовлетворяющий следующим требованиям: обеспечивать высокую точность, содержать простой алгоритм, способствовать закреплению учебного материала по теме «Плоское движение твердого тела» и повышать мотивацию учебной деятельности.

Материалы и методы исследования

В учебной литературе по теоретической механике [1–3] для определения кинематических характеристик плоского движения твердого тела используются графические (метод планов и метод диаграмм) методы или вычисляются с помощью мгновенных центров скоростей и ускорений, или с помощью основной теоремы кинематики. В теории машин и механизмов (прикладная механика) эти методами также пользуются наряду с высокоточными аналитическими методами, в частности методом замкнутых векторных контуров, предложенным В.А. Зиновьевым [4]. В данной работе предлагается аналитический метод кинематического анализа плоских механизмов, звенья которого совершают плоскопараллельное движение с использованием метрических соотношений в векторных треугольниках планов скоростей и ускорений. Алгоритм этого метода заключается в том, что, используя планы положений механизма, планы скоростей и ускорений, а также свойства планов, определяются внутренние углы векторных треугольников в планах скоростей и ускорений точек звена и далее по теореме косинусов или синусов находят скорости и ускорения.

Изложение метода демонстрируется на примере кинематического анализа кривошипно-шатунного механизма, план положений которого изображен на рисунке, а, план скоростей – на рисунке, б, план ускорений – на рисунке, в.

missing image file

Метод планов: а) план положений; б) план скоростей; в) план ускорений; г) составляющие ускорения missing image file; д) направления ω2 и ε2 звена BC

Определение скоростей. Звено BC механизма совершает плоскопараллельное движение. Для построения плана скоростей решают систему векторных уравнений:

missing image file (1)

где missing image file – известная по величине и по направлению (перпендикулярно звену AB, в сторону вращения звена AB (подчеркнута двумя чертами)) скорость точки B, принимаемая за полюс; missing image file – скорость точки C при вращении ее вокруг полюса B, известная только по направлению (подчеркнута одной чертой); missing image file – известная по направлению скорость точки C (направлена параллельно направляющей x-x).

Решая систему векторных уравнений (1), используя свойство подобия планов (плоские фигуры на плане положений и на плане скоростей геометрически подобны) в произвольном масштабе строится план скоростей для точек механизма, следуя разработанным отечественными учеными методикам [4, 5]. Точкам плана положений A, B, C, D, S2, E (рисунок, а) соответствуют точки плана скоростей p (a), b, c, d, s2, e (рисунок, б). Векторы, проведенные из полюса плана скоростей P, изображают абсолютные скорости, а векторы, не проходящие через полюс, изображают относительные скорости точек звена BCдля данного положения механизма (угла поворота звена AB – φ).

Из векторного треугольника pbc плана скоростей абсолютную скорость точки C вычисляем, применяя теорему синусов: missing image file

missing image file =

= missing image file (2)

VB – абсолютная скорость точки B, изображаемая отрезком pb и вычисляемая по формуле

VB = ωAB∙lAB = ω1∙lAB, (3)

здесь ω1 = ωAB – заданная постоянная угловая скорость звена AB; lAB – длина звена AB. VC(B) – относительная скорость точки C во вращательном движении вокруг точки B, изображаемая отрезком bc и вычисляемая по формуле

VC(B) = ωBC∙lBC = ω2∙lBC, (4)

где ω2 = ωBC – угловая скорость звена BC; lBC – длина звена BC. Из геометрических соображений и свойств планов скоростей вычисляем missing image file:

missing image file missing image filemissing image file;

missing image file missing image filemissing image filemissing image file; (5)

missing image file;

missing image file.

Из векторного треугольника pbc плана скоростей также находим относительную скорость VC(B) точки C при вращении ее вокруг полюса B, применяя теорему синусов: missing image file откуда

missing image file (6)

По свойству подобия планов, составляя пропорции, находят положение точек S2, D, E звена BC на плане скоростей s2, d, e и величины их относительных скоростей. Для относительной скорости Vs2 точки S2 при вращении ее вокруг полюса B составим пропорцию:

missing image file missing image file (7)

Для относительной скорости VD(B) точки D при вращении ее вокруг полюса B составим пропорцию:

missing image file missing image file (8)

Для относительной скорости VE(C) точки E при вращении ее вокруг полюса C составим пропорцию (точка C взята за полюс вместо точки B из удобства):

missing image file, missing image file. (9)

Применяя теорему косинусов в треугольнике pbs2 плана скоростей, вычислим скорость точки S2:

missing image file. (10)

Применяя теорему косинусов в треугольнике pbd плана скоростей, вычислим скорость точки D:

missing image file (11)

Применяя теорему косинусов в треугольнике pce плана скоростей, вычислим скорость точки E:

missing image file

где

missing image filemissing image file. (12)

Здесь missing image filemissing image file, missing image filemissing image file.

Угловую скорость звена BC определим из формулы

missing image file (13)

Направление угловой скорости ω2 определится направлением вектора скорости VC(B), а для последующих значений φ также знаком VC(B) (изменение знака VC(B) на противоположный означает изменение первоначального направления ω2 на противоположное) (рисунок, д). Направление вектора скорости missing image file при последующих значениях φ определится знаком VC (изменение знака VC на противоположный означает изменение первоначального направления вектора на противоположное) (рисунок, д).

Определение ускорений. Для построения плана ускорений (рисунок, в) решают систему векторных уравнений

missing image file (14)

где missing image file – известное по величине и по направлению (направлено вдоль звена AB к центру вращения (подчеркнуто двумя чертами)) ускорение точки B, принимаемой за полюс (отрезок πв); missing image file – известное по величине и по направлению (направлено вдоль звена к точке B (подчеркнуто двумя чертами)) нормальное ускорение точки C (отрезок вn); missing image file – известное только по направлению (направлено перпендикулярно звену BC (подчеркнуто одной чертой)) тангенциальное ускорение точки C (отрезок nc); missing image file – известное по направлению (направлено параллельно направляющей x-x) ускорение точки C (отрезок πс). Решая систему векторных уравнений (14), используя свойство подобия планов (плоские фигуры на планах положений и на планах ускорений геометрически подобны) в произвольном масштабе построен план ускорений, следуя методикам, разработанным отечественными учеными [4, 5]. Точкам плана положений A, B, C, D, E (рисунок, а) соответствуют точки плана ускорений a(π), b, c, s2, d, e (рисунок, в). Векторы, проведенные из полюса плана ускорений π, изображают абсолютные ускорения, а векторы, не проходящие через полюс, изображают относительные ускорения точек B, C, S2, D, E для данного положения механизма.

Из векторного треугольника πbc плана ускорений (рисунок, в) абсолютное ускорение точки C вычислим из пропорций (теорема синусов) missing image file

missing image file, (15)

где aB – абсолютное ускорение точки В, равное нормальному ускорению missing image file (касательное ускорение точки missing image file так как угловая скорость звена AB ω1 = const) вычисляется по формуле

missing image file (16)

Здесь ω1 = ωAB – заданная постоянная угловая скорость звена AB; lAB – длина звена AB. aC(B) – полное относительное ускорение точки C (отрезок вс) во вращательном движении вокруг точки B, вычисляемое по формуле

missing image file (17)

Здесь missing image file – нормальное ускорение точки C во вращательном движении вокруг точки В, равное missing image file; missing image file – касательное ускорение точки C во вращательном движении ее вокруг точки B, равное missing image file (ω2 и ε2 угловая скорость и угловое ускорение звена ВС соответственно).

sin θ1 – синус ∠ πbc плана ускорений (рисунок, в); missing image file.

Тогда

missing image file. (18)

Здесь

missing image file missing image file, missing image file

missing image file missing image file missing image file missing image file

missing image file (19)

Здесь missing image file

Угловое ускорение ε2 звена BC вычисляется проецированием векторного уравнения missing image file на ось y-y, перпендикулярную известному направлению искомого ускорения missing image file (рисунок, г)

missing image file, missing image file,

missing image file, missing image file,

откуда

missing image file. (20)

Направление ускорения звена ε2 определяется направлением вектора missing image file (риcунок, г).

Относительные ускорения точек S2, D, E находятся из пропорций по свойству подобия планов.

Относительное ускорение точки S2 находится из пропорции

missing image file missing image file (21)

Абсолютное ускорение точки S2 (отрезок πs2) находится по теореме косинусов

missing image file. (22)

Относительное ускорение точки D находится из пропорции

missing image file missing image file (23)

Абсолютное ускорение точки D (отрезок πd) находится по теореме косинусов

missing image file (24)

Относительное ускорение точки Е находится из пропорции

missing image file, missing image file, (25)

где lBE – расстояние между точками B и E звена BC, равное missing image file.

Абсолютное ускорение точки Е (отрезок πе) находится по теореме косинусов из ∆ πbe (рисунок, в):

missing image file. (26)

Здесь missing image file, missing image file missing image file.

Результаты исследования и их обсуждение

Результаты кинематического анализа кривошипно-ползунного механизма аналитическим методом с использованием метрических соотношений сведены в таблицу. Исходные данные: угловая скорость ω1 = 215 c–1; длины звеньев: lAB = 0,08 м; lBC = 0,3 м; lCD = lS2E = 0,05 м; координаты точек lBS2 = 0,09 м; угловая координата φ = 300.

Сравнительный анализ кинематических характеристик механизма

Результаты вычислений

Скорости

VB

17,2

(17,2)

VC

10,79

(10,4)

VS2

14,09

(13,8)

VD

11,4

(11,2)

VE

11,04

(12,0)

VC(B)

14,94

(15,0)

ω2

49,8

(50,0)

Ускорения

aB

3698

(3698)

aC

3880

(3700)

aS2

3649

(3650)

aD

4000

(3850)

aE

3969

(3950)

aC(B)

1917,79

(1900)

ε2

5892

(5833,3)

Примечание. Размерность линейной скорости м/с; размерность угловой скорости рад/с; размерность линейного ускорения м/с2; размерность углового ускорения рад/с2.

Сравнительный анализ кинематических характеристик механизма, полученных методом планов (скорости, ускорения в таблице даны в скобках) [4], показывает, что представленным в работе методом можно вычислять скорости и ускорения с любой заданной точностью.

Заключение

Предложен аналитический метод определения основных кинематических характеристик плоского движения твердого тела с использованием метрических соотношений в планах скоростей и ускорений на примере кинематического анализа кривошипно-ползунного механизма, облегчающий освоение студентами учебного материала по кинематике плоского движения твердых тел (теоретическая механика), повышающий мотивацию учебной деятельности. Простой алгоритм метода, высокая точность, наглядность позволит студентам решать не только учебные задачи, но и применять его в проектной деятельности.