Scientific journal
International Journal of Applied and fundamental research
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,578

MOTION OF A HYDROMECHANICAL SYSTEM UNDER NON-MONO-PERIODIC INFLUENCES

Sennitskiy V.L. 1, 2
1 Lavrentiev Institute of Hydrodynamics SB RAS
2 Novosibursk State University
The fulfilled earlier investigations of the dynamics of hydro-mechanical systems under periodic in time (oscillatory, vibratory) influences allowed to obtain a series of new, non-trivial results. In particular it was revealed theoretically and experimentally the existence of the phenomenon of the predominantly unidirectional motion of compressible inclusions in an oscillating liquid (V.L. Sennitskiy, 1988, 1991, 1993, 2001). It was found out that oscillatory influences were able to generate the hydro-mechanical effect – an analog of “the pendulum of Kapitsa”(P.L. Kapitsa, 1951), which consists in that under the presence of a gravity field a solid body being in a liquid performs“turned upside-down”oscillations (V.L. Sennitskiy, 2009). The effect of “levitation”of a liquid was discovered (V.L. Sennitskiy, 2021, 2022). In the problems which were under consideration before the present time all components of periodic influences to a hydro-mechanical system had a same period, the influences were mono-periodic. The problem is formulated and solved in this work in which the influences to the system are characterized by the presence of more than one period, the influences are non-mono-periodic. There is a solid inclusion (a ball) in an ideal incompressible unbounded from outside liquid. The liquid velocity at infinity and the radius of the inclusion change in time periodically (with a same period or with different periods). The hydro-mechanical system fulfils a motion which has to be determined. It is of principle importance that the influences to the system, the prescribed periodic changes in the system (the oscillations of the liquid velocity far from the inclusion, the pulsations of the inclusion) have no predominant direction in space. It is found out in particular that for mono-periodic influences the inclusion (the inclusion center) under a background of oscillations fulfils a unidirectional motion; for non-mono-periodic influences with close periods the inclusion (the inclusion center) under a background of “fast” oscillations fulfils “slow” oscillations along a straight line with the period which is inversely proportional to the difference of the periods of the oscillations of the liquid velocity at infinity and the inclusion radius.
liquid
inclusion
absence of a predominant direction in space
mono-periodic and non-mono-periodic influences
unidirectional motion
slow oscillations

Состояние современной гидромеханики в значительной мере характеризуется работами, нашедшими отражение в изданиях [1–3]. Часть данной научной области составлена исследованиями динамики гидромеханических систем при периодических по времени (колебательных, вибрационных) воздействиях, не имеющих выделенного направления в пространстве [4, 5]. В настоящей работе рассматривается новая задача о движении гидромеханической системы при воздействиях, не имеющих выделенного направления в пространстве. Система состоит из идеальной несжимаемой не ограниченной извне жидкости и находящегося в ней твердого тела Ξ (включения, шара) радиуса A. В начальный момент времени t, при t = 0 жидкость и тело Ξ покоятся относительно инерциальной прямоугольной системы координат X, Y, Z. В последующие моменты времени при t > 0 на гидромеханическую систему оказываются воздействия, наличие которых проявляется в том, что скорость жидкости на бесконечности V∞ = {V∞, 0, 0} и радиус включения периодически соответственно с периодами T и τ изменяются со временем. Центр инерции включения совпадает с центром включения. Течение жидкости является потенциальным [6]. Периоды T, τ могут совпадать друг с другом или быть различными.

Целью работы является определение движения гидромеханической системы (жидкости и включения).

Постановка и решение задачи

Пусть S – радиус-вектор центра тела Ξ (центра инерции тела Ξ); Φ – потенциал скорости жидкости; m – масса тела Ξ; ρ – плотность жидкости; Г – граница тела Ξ (сфера радиуса А с центром в центре тела Ξ); n – единичный вектор внешней нормали к Γ; P – давление в жидкости; I – функция t;

missing image file,

– сила, действующая со стороны жидкости на тело Ξ.

Уравнение движения тела Ξ (центра инерции тела Ξ), уравнение неразрывности, интеграл Коши–Лагранжа, граничные и начальные условия имеют следующий вид:

missing image file (1)

ΔФ = 0; (2)

missing image file (3)

missing image file на Г; (4)

∇Ф →V∞ при X2 + Y2 + Z2 → ∞ (5)

Ф = 0, S = 0, dS / dt = 0 при t = 0 (6)

(функции A = A(t), V∞ = V∞(t) являются заданными; A = Â, dA / dt = 0, V∞ = 0 при t = 0 (Â > 0 – постоянная)).

Предположим, что

missing image file для t > 0 (7)

то есть при всех t > 0 центр тела Ξ находится на оси X (S = 0, dS / dt = 0 при t = 0). Отметим, что для выполнения (7) необходимо и достаточно, чтобы были удовлетворены условия

FY = 0, FZ = 0 для t > 0. (8)

Зафиксируем (произвольный) момент времени t > 0. Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат X1, X2, X3, неподвижную относительно системы X, Y, Z, такую что начало координат X1, X2, X3 совпадает с центром тела Ξ , ось X1 лежит на оси X, и направления осей X2, X3 совпадают соответственно с направлениями осей Y, Z. Будем использовать сферические координаты R, θ, φ, связанные с координатами X1, X2, X3 соотношениями

missing image file missing image file

missing image file

Преобразуем задачу (2), (4), (5) к виду

missing image file (9)

missing image file (10)

missing image file (11)

Задача (9)–(11) имеет решение

missing image file (12)

Отметим, что согласно (3), (12)

missing image file

то есть условия (8) являются выполненными.

Используя (1), (3), (6), (12), получим

missing image file (13)

Формулами (3), (12), (13) определяется точное решение задачи (1)–(6).

Пусть

missing image file (14)

(ε ≥ 0 – параметр; missing image file – постоянная).

Отметим, что согласно (14)

missing image file (14)

Остановимся на вопросе о движении тела Ξ (центра тела Ξ) при малых по сравнению с единицей значениях ε.

Пусть

τ = T. (15)

Используя (12)–(15), получим

missing image file, при ε → 0, (16)

где

missing image file

Согласно (16) тело Ξ на фоне колебаний совершает однонаправленное движение со скоростью

missing image file (17)

Пусть

τ ≠ T. (18)

Подчиним периоды τ, T условию

missing image file (19)

где missing image file – постоянная.

Используя (13), (14), (18), (19), получим

missing image file (20)

Согласно (20) тело Ξ совершает колебания. В частности, при периодах τ, T, близких друг к другу, тело Ξ на фоне «быстрых» колебаний совершает «медленные» колебания со скоростью

missing image file (21)

Амплитуда «медленных» колебаний тела Ξ (центра тела Ξ) составляет

missing image file (22)

Отметим, что согласно (16), (20) предел U2 при стремлении к нулю τ – T равен U1.

Заключение

Проведенное рассмотрение позволило обнаружить, что монопериодические и немонопериодические воздействия на гидромеханическую систему, не имеющие выделенного направления в пространстве, могут приводить к качественно различной динамике системы ((16), (17), (20)–(22)). В частности, в настоящей работе найдено, что при монопериодических воздействиях включение в жидкости на фоне колебаний совершает однонаправленное движение; при немонопериодических воздействиях с близкими периодами включение в жидкости на фоне «быстрых» колебаний совершает «медленные» колебания вдоль прямой линии с периодом, обратно пропорциональным разности периодов, и амплитудой, обратно пропорциональной квадрату разности периодов происходящих в гидромеханической системе заданных периодических изменений – колебаний скорости жидкости на бесконечности и радиуса включения.