Пусть 
- вероятностное
пространство. X,Y - банаховы пространства. Символом L(Х,Y) будем обозначать
пространство линейных ограниченных операторов, отображающих Х в Y.
Определение. Вероятностную меру v на
измеримом пространстве 
назовем взвешенной
гауссовской мерой (ВГМ), если существует отображение 
такое, что
функция 
измерима для
всех 
и характеристический функционал этой меры имеет вид
Ясно, что одной измеримости для всех недостаточно для существования меры с характеристическим
функционалом 
. С другой стороны, некоторые естественные ограничения на отображение
R уже достаточны для того, чтобы определяла ВГМ.
Нами доказана
Теорема. Пусть X - сепарабельное банахово пространство и
отображение удовлетворяет
условиям:
а) для всех 
- измеримая
функция по ω;
б) для почти всех
- гауссовские
ковариационные операторы.
Тогда существует ВГМ ν с характеристическим функционалом