1.Рассматриваются два типа новых ненормированных негамильтоновых «исключительных» кватернионов вращения твёрдого тела (ТТ): 
, где u0= 1– l0, v0= 1+ l0; l0= cos(ϕ/2), 
; 
– орт эйлеровой оси конечного вращения (поворота) ТТ в трёхмерном векторномевклидовом пространстве [1-3]; ϕ – угол вращения. Параметр l0и координаты ln (n = 1, 2, 3) трёхмерного вектора 
(в связанном с ТТ координатном ортонормированном базисе) – это параметры Эйлера или Родрига–Гамильтона [1-4]. Они определяют классический гамильтонов кватернион вращения [1, 3] 
.
В отличие от кватернионов Λ ненормированные негамильтоновы кватернионы U, V могут быть нулевыми (при ϕ = 0и ϕ=2π соответственно) и их модули зависят от угла ϕ. Поэтому они представляют особый практический интерес для решения двух основных задач [1,2]: инерциального определения ориентации ТТ и инерциального управления ориентацией ТТ при условии обеспечения кратчайших разворотов (при углах ϕ < π и ϕ > π).
Кватернионы U, V относятся к исключительным (из множества ненормированных негамильтоновых кватернионов вращения [1, 4, 5]) в связи с тем, что эти кватернионы и соответствующие им кинематические дифференциальные уравнения, групповые формулы умножения и кватернионные алгебры вращений обладают целым рядом особых свойств.
Например, кватернионы U, V кроме свойства обращения в нулевые кватернионы имеют общий вектор, а их нормы равны удвоенным скалярным частям:
где 
.
Кроме того:
u0+ v0=2; u0v0= l2= 
; 
, 
.
2.Кинематические дифференциальные уравнения для «собственных» кватернионов U, V линейны, но неоднородны в отличие от нелинейных уравнений других многочисленных ненормированных кватернионов [4].
Эти уравнения получаются из кинематического уравнения для кватерниона Λ [1] в результате замены переменной l0на переменные u0и v0и имеют вид:
где 
– кватернион угловой скорости; 
– вектор абсолютной угловой скорости вращения.
3.Формулы (правила) умножения собственных [1, 2] ненормированных кватернионов U, V получаются из классических (групповых) формул умножения собственных нормированных кватернионов Λ путём замены кватерниона Λ на кватернионы U, V по формулам: 
, где 
– единичный кватернион.
Для двух последовательных конечных вращений (поворотов) ТТ групповые формулы умножения нормированных Λ и ненормированных U, V кватернионов записываются в виде: 
; 
, 
где Λ, U, V – кватернионы результирующего вращения; Λ’, U’, V’ – кватернионы 1-го вращения; Λ*, U*, V* – кватернионы 2-го вращения; 
– знак группового (негамильтонового) умножения [4] ненормированных кватернионов.
Именно формулы умножения кватернионов U, V определяют их название «негамильтоновы кватернионы».
Из этих формул следуют равенства: 
, где 
– нулевой кватернион; 
– нулевой вектор.
Эти равенства показывают, что единичными элементами в группах [7] кватернионов U, V являются нулевые кватернионы и обратные кватернионы
U-1,V-1равны сопряжённым 
, которые можно только «формально» рассматривать как «групповые» делители нуля.
Множества кватернионов Λ, U, V образуют группы [6, 7] кватернионов вращений ТТ или кватернионные группы трёхмерных вращений с приведенными групповыми формулами умножения. Эти формулы (как алгебраические уравнения) однозначно решаются относительно сомножителей Λ’, U’, V’ или Λ*, U*, V* по формулам «деления» кватернионов:
4.Пространства ненормированных кватернионов U, V вместе с формулами их умножения определяют новые действительные ассоциативные, некоммутативные и ненормированные групповые кватернионные алгебры вращений с делением [10].
Они существенно отличаются от алгебр других ненормированных кватернионов вращений [4,5], имеющих более сложные формулы группового умножения.
В этих алгебрах кватернионы U, V образуют четырёхмерные евклидовы пространства, тогда как гамильтоновы кватернионы вращения Λ векторного пространства не образуют, т.к. не имеют нулевых кватернионов.
5.На основе нормированных Λ и ненормированных U, V кватернионов вращения получаются пятимерные векторы вращения вида: 
, где 
– трёхмерный вектор 
в кватернионах Λ, U, V; р0, р4– два любых скалярных параметра из трёх: u0, v0, l0; 
– орты некоторого пятимерного ортонормированного координатного базиса; р0, l1, l2, l3, р4– координаты рm (m = 0, 1, 2, 3, 4) вектора 
.
Векторы 
– это элементы пятимерного векторного евклидова пространства над полем вещественных чисел [3]. Это пространство превращается в пятимерную векторную алгебру вращений после введения в нём операции (*) группового умножения двух пятимерных произвольных векторов 
, ставящей им в соответствие третий вектор 
, т.е. операции 
.
Операции умножения (и деления) в пятимерных групповых алгебрах вращений определяются сочетаниями групповых формул умножения (и деления) параметров кватернионов Λ, U, V.
В результате получаются действительные, ассоциативные и некоммутативные пятимерные групповые векторные алгебры вращений с однозначным делением и без делителя нуля [8], поскольку векторы 
не могут быть нулевыми.
Система кинематических дифференциальных уравнений для параметров u0, ln, v0, например, линейна и имеет в скалярно-векторной записи вид:
6.Из пятимерных векторов 
вращений получаются (по аналогии с кватернионами) гиперкомплексные [9] пятимерные системы – пентанионы вращений ТТ. Они записываются в виде: 
, P
, где р0– скалярная часть пентаниона; 
– векторная часть; Рm – параметры.
Норма 
пентаниона определяется скалярным произведением:
.
7.На основе пентанионов вращений осуществляется новая пятимерная параметризация трёхмерной группы вращений. Эта параметризация существенно отличается по своим свойствам от известной пятимерной параметризации Хопфа [10] прежде всего линейностью кинематических дифференциальных уравнений.