Для функции отклика системы частиц на разрушающее поле нами получено:
(1)
где А – работа (энергия) разрушения; Т – температура; G0 – потенциал Гиббса; С1 – постоянная. По гипотезе Бонда полная работа разрушения пропорциональна среднему геометрическому между объемом и площадью вновь образуемой поверхности образца:
(2)
Для малых частиц основную роль играет поверхность, так что G0 = σ⋅S = σ×pd2, σ – поверхностное натяжение. В качестве функции отклика системы на приложенное разрушающее напряжение возьмем функцию 1/(σТ – σМ). Тогда уравнение (1) примет вид:
(3)
Уравнение (3) по форме совпадает с уравнением Холла-Петча. Однако коэффициенты пропорциональности в обоих формулах различаются. В нашем случае поведение предела текучести малых частиц определяется также величиной их поверхностного натяжения σ. Для малых d А.И. Русанов получил асимптотическую линейную зависимость:
σ = Kd. (4)
Здесь К – коэффициент пропорциональности. Формула (4) получена на основе термодинамического рассмотрения и должна быть применима к малым объектам различной природы. В этом случае, уравнение (3) принимает вид:
(5)
Уравнение (5) показывает обратный эффект по отношению к уравнению Холла-Петча. Экспериментально этот эффект обнаружен для многих металлических частиц с размером менее 10 нм.