В работе для линейных гиперболических уравнений в области с отходом от характеристики доказаны корректности задач Дирихле и Пуанкаре.
В теории уравнений частных производных гиперболического типа краевые задачи с данными на всей границе области служат примером некорректно поставленных задач [1]. В данной работе для линейных гиперболических уравнений в области с отходом от характеристики доказаны корректности задач Дирихле и Пуанкаре.
п.1. Постановка задач и результаты. Пусть D ⊂ R2 – конечная область, ограниченная отрезком АВ: 0 ≤ x ≤ 1 оси y = 0, а при y > 0 – гладкой кривой АС: y = γ(x) < x, вдоль которой 0 < γ′(x) < 1 и прямой ВС: y = 1 – x.
В области D рассмотрим уравнение
(1)
В качестве задачи Дирихле и Пуанкаре рассмотрим следующие задачи
Задача 1. Найти в области D решение уравнения (1) из класса 
удовлетворяющее краевым условиям
(2)
или
(3)
где
В характеристических координатах ξ = x + y, η = x – y уравнение (1) записывается следующим образом
(4)
При этом краевые условия (2) и (3) соответственно имеют вид
(5)
или
(6)
,
где 
, а функция ξ = α(η) является решением уравнения 
при этом 
, 0 < η < 1, а также 
Пусть, в случае задачи (4), (5), выполняется условие
(7)
а в случае задачи (4), (6) имеет место
(8)
Тогда справедлива
Теорема 1. Задача 1 однозначно разрешима.
п. 2. Доказательство теоремы 1. Сначала рассмотрим задачу (4), (5). Используя общее решение уравнения (4) [2], нетрудно показать, что решение задачи Коши для уравнения (4) представимо в виде
(9)
где R(ξ1, η1, ξ, η) – функция Римана уравнения (6), а
Из (8), при 
и ξ = α(η), используя краевое условие (5), получим интегральные уравнения первого рода
0 ≤ η ≤ η0,
где
которые дифференцированием сводятся, соответственно, к следующему интегральному уравнению Вольтерра второго рода
(10)
и функционально-интегральному уравнению
(11)
В [3] показано, что, если
(12)
то функциональное уравнение (11) имеет единственное решение вида
(13)
Из определения функции Римана R [2,4], формула (12) записывается в виде (7), а (13) – в следующем виде
(14)
Известно, что функция Римана R по переменным ξ1, η1 и ξ, η имеет такую же гладкость, что и коэффициенты уравнения (4) [4], поэтому ядро G(ξ, ξ1) допускает оценку
(15)
Решение интегрального уравнения (15) будем искать в виде ряда
(16)
ν0(η) = g(η);
k = 1, 2, ... .
Из (15) получим следующие оценки
и вообще 
.
Тогда, для ряда (16) будем иметь
Таким образом, интегральное уравнение (14), (а также (11)), при выполнении условия (7), однозначно разрешимо.
Следовательно, задача (4), (5) имеет единственное решение вида (8), в котором ν(η) находятся из уравнений (10) и (14).
Теорема 1 для задачи (1), (2) доказана.
Теперь рассмотрим задачу (1), (3), которая переходит к задаче (4), (6). В этом случае, из (8), при 
и ξ = α(η), с учетом (6), получим следующее интегральное уравнение Вольтерра второго рода
(17)
и функционально – интегральное уравнение
0 ≤ η ≤ η0, (18)
где
Если выполняется условие
или, это тоже самое, условие (8), то функциональное уравнение (18) имеет единственное решение вида
0 ≤ η ≤ η0, (19)
при этом
Решение интегрального уравнения (19) будем искать в виде ряда 
для которого имеет место неравенство 
Таким образом, интегральное уравнение (19) (а также (18)), при выполнении условия (8), однозначно разрешимо.
Следовательно, задача (4), (6) имеет единственное решение вида (9), в котором τ(ξ) определяются из уравнений (17) и (19).
Отметим, что, если A(x, y) = B(x, y) ≡ 0, то условие (8) не выполняется. В этом случае уравнение (18) имеет вид
(20)
Так как интегральный оператор, стоящий в правой части равенства (20), вполне непрерывен, то, как показано в [3], функциональное уравнение (20) имеет единственное решение.
Таким образом, и в этом случае задача (4), (6) однозначно разрешима.
Теорема 1 для задачи (1), (3) доказана.
Отметим, что краевые задачи с отходом от характеристики для уравнения (1) изучены в [5].